【一元函数积分的常见方法6500字（论文）】

一元函数积分的常见方法TOC\o"1-3"\h\u61761引言 3169742积分概念 3138902.1不定积分 3134052.2定积分 3224852.3不定积分与定积分的联系 3207353、不定积分的求法 4174093.1直接积分法 5296803.2换元积分法 571563.2.1第一换元法（凑微法） 6175073.2.2第二换元法 7209453.3分部积分法 873654定积分的求法 930394.1定积分的计算方法 945154.1.1奇偶性法 9323314.1.2几何意义法 1063754.1.3直接积分法 10225364.1.4换元法 1071014.1.5分部积分法 109024.2定积分的计算策略 10271755总结 149005参考文献 15

1引言在数学微分理论中,积分是微积分当中的一个最核心的研究范畴,而不定积分与定微分则是高等数学研究的主要部分,定微分既是对不定积分内容的扩展,也是求得平面图形体积、曲线弧长、旋转体体积等几何物理量的主要方式,它也是研究复变函数、概率统计学等有关课题的重要知识工具。抑或是只存在定积分,而不存在不定积分。定积分与不定积分,作为积分学中的二主要部分。定积分是为了求得一个极限,是一种具体的数值；而不定积分法则作为逆运算的求导方式,作为一个函数表示而存在。元函数积分的计算方法有很多,除了要掌握这些基本的求解方法外,还要讲究一定的策略,以便方便快速地求解。这个策略指的是解决问题时应考虑求解方法的顺序,这个顺序决定了解题的难易、耗时的多少。以下将给出一元函数积分的各种计算方法及策略,即各种计算方法及考虑使用这些方法的顺序,并通过各种题型、各种计算方法的比较来具体阐释。2积分概念2.1不定积分在一六七七年的牛顿-布莱尼茨公式中指出,如果某个连续函数在区域[a,b]上的定面积大于它的任何某个原函数在区域[a,b]上的增量。这样在计算函数定微分的时候运算就能够利用无定积分法来简便的运算。计算原函式f(x)的不定积分,其意义在于求出f(x)所有的原函式。求出某个原函式,乘以C(任意常数)就能够得出满足原函数性质的不定积分。2.2定积分∫baf(X)dx=根据定积分的概念,曲边阶梯式的面积为A=∫baf(X)dx,而变速直线运动的路径S=∫T1T2v(t)dt。2.3不定积分与定积分的联系不定积分法计算的仍然是原函数(得出的结果是一个式子)；定微分所计算的值是具体的数字(得出的借给是一一个具体的数字)；而无定分数则是微分的逆计算,而定微分是成立在无定分数的基石上,把值代进去数相减。如果定积分和不定积分看上去风马牛不相和,只是因为一种计算数学上更重大的基础理论的支持,就让它有了更根本的联系。将一张图像无限地细化后再相加,这显然是不可能的事,不过基于这个理论知识,可转换为算术分数。而这个重要理论便是大名鼎鼎的牛顿-菜布尼茨公式,它的具体内容为:但是在这里x出现了二个含义,一是指示分数.上限,二是指示被积函数的自变数,在定积分式中对被积函数的自变数取一定数值,是没有含义的。尽管这个方法是可能的,但由于惯例上常将被积函数的自变量换成了别的数字如t,因此含义也就十分明确了:密苏里州-莱布尼茨公式可以用文字表达,也就是说某个定积分函数式的数值,是最大值在原函式的值和下界在原函式的值的差。由于这些理论阐述了常微分和黎曼积分之间本质的联系,也表明了它在微积分学以及整个高等数学研究上的重要地位,所以,牛顿-莱布尼茨公式又被誉为微分数的基础定理公式。不定积分的求法一元函数的不定积分奖励方式,在大的基本技术方面上包括了直接分数法、换元分数法以及分部积分法,其中换元分数法又包含了第一种换元分数法和第二种换元分数法.由于各种分数方式都具有各自的本质特性及适用范围,因此理解不同分数方式的实质特性及精神实质,是进一步了解一元函数面积奖励方式的前提条件。一元函数与不定积分都有它自身固定的客观规律,按此规律性求得不定积分就可以少走弯路,此规律性反映在求得分数的基本过程上。首先,通过考察被积函式的构造特性,并根据本质性或结构性特征确定了与之相应的积分方式,可以求出分数。只要被积函式在形态上与基本分数公式相同,或经化简、变换就能化成基本分数公式的形态,就可以利用直接积分法,求出所求的分数；只要经过凑微分函数,能化成基本分数公式的形态,就可以利用第1类换元积分方式求出分数；只要被积函式中存在根号,而根号又只能利用换元的方式才能脱除,则就利用第二种换元积分法求得分数；只要被积函式是二种不同特性的函式的相乘形态,则就利用分部积分法求得之；假设被积函数是有理分式函数或有理式三角函数,则就根据与之相应的积分方式得出所需要的分数。然后,要检查所求结果的准确性。最后,要反省,总结经验教训,不断完善分数方案,以有利于学生复习兴趣的培养。3.1直接积分法通常又叫做公式法,利用不定积分公式方法和不定积分的计算性质求出不定积分的方式。,如何求分数∫,∫等就是直接利用基本积分公式。∫xndx=xc+1n+1+c,∫axdx=x=ax∫x=1x2还有的不定积分解题方法需要先把被积函数变换为代数和的形式,期间运用到了李代数或三角恒等式等的内容,而在此基础上,再利用基本微分公式和基本微分性质等,也就能够求出更具体的分数。直接积分法,更多的时候考查的是学生对不定积分定义和基本微分公式的熟悉程度。所以,一般要求老师在讲解过程中,必须强调对不定积分的定义和推理过程,以使得学生更加熟悉直接微分方法。直观积分法的重要,是对未确定分数的定义以及最基本的分数公式方法的熟练掌握程度,所以,老师在讲解时应该通过灵活多样的教学方式和手法,明确了不定分数的定义、以及基本分数公式方法的正确推导,并指导学生做相应的训练,让学生更全面地了解直观分数方式。3.2换元积分法换元积分法主要有二种情形,一种是第一类的换元积分法；一种方法是第二类的换元积分法。3.2.1第一换元法（凑微法）第一换元积分法也称为凑微分法，其本质是把被积函数的一部分通过微分的性质凑到微分符号的里面，转化成基本的积分公式的形式，再利用基本积分公式求出所求的积分,例如求积分分析：cosx与dx结合，凑成d(sinx),换元结合基本的积分公式求出所求的结果，如:上述求解的实质用定理表示就是:设∫f(u)du=F(u)+c,且助u=m(x)可导,则有∫f[m(x)]m'(x)dx=∫f[m(x)]d[m(x)]令m（x）=u=∫f(u)du=F(u)+c=m(x)c=F[m(x)]+c凑微分法是计算不定积分的主要方式之一,是把分数凑成一种函数的微分方式。通过微分被积分函数的特性,实现了"凑微分"的目的,从而使解题过程显得更加简单。第一换元法比较不易把握,其方式灵活多样,但必须进行相应题量的训练,在积累了一定技巧之后获得最高效的解题效果。当出现这样的不定积分法时,也包括了第三种情形。(1)当△>0时，化原式为(x-x1)(x-x2),ax2+bx+c的解.为x1,x2,原不定积分为:（2）当Δ等于0时，利用完平方公式，将原式化为（3）)当Δ＜0时，当被积分函数为三角函数的积时,取奇次项凑分数。当被积分函数是三角函数的偶次幂时,可用零点五角公式降幂；如果是奇次数则拆开再一次凑分数,剩下的偶次项用半角公式降幂。教师在一元函数的第一类换元积分法的教学中，务必事先要强调微分的公式与性质，使学生熟练掌握微分的公式与法则，这是学习第一类换元积分法的基石。3.2.2第二换元法第二种换元积分法也称去根号法,去根号的常见方式有简单根式替换、三角代式、倒替换、双曲代式、欧拉代换等.不管什么代式,其本质都是通过使用适当的能脱除工艺根号的工具脱除根号,再经化简变形,然后根据基本分数公式与分数性质,求出所求的分数.如所求积分,采用直接积分法和第一种换元积分法均无法求出相同结果,因此需要采用第二种换元积分法才能求出所求分数.详细的分析流程如下:令x=t,则x=t2,两边微分,则dx=2tdt,上述求解的过程，其本质用数学公式来表示就是：质用数学公式来表示就是:设x=m(t)是单调可导函数，且m(t)≠0,如果则有如下等式成立：，其中t=m-1（x）是x=m(t)的反函数。第二类换元积分法的三角形代替式、倒代换等代换和简单根式替换实质上一样,是用相关的三角形恒等式除去根号,化简变换,从而求出计算结果的步骤。（1）三角代换使用三角代换的被微分函数式中产生的或者。当被积分函数包含有时，x=asint或x=acost，，而当被积分函数包含x=Tant，，当被积分函数含有x=±asect，（2）无理代换若被积函数含有表达式或，可通过无理代换为：；若有两个以上的同根式或时，则通过无理代换为：。（3）倒代换倒代换是被积函数中因子次数较高时，经常使用的方法。被积函数是分式的形式且分母次数与分子次数是，做倒代换x=3.3分部积分法分部积分法是利用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu求出积分的方法，其中∫udv不方便直接求出结论，但∫udv却相对方便地求出了积分。利用分部积分法的本质特征是:被积函数是两类不同性质的函数的乘积形式，如求积分∫xexdr,∫xInxdx,∫x1ndx，∫xarctanxdx等，都需要利用分部积分法才可以求出结论.在使用分部积分公式的时候,u、v的选择至关重要.在这里，们可以将幂函数、指标、函数、对数函数、正三角函数、反三角函数,分别简写为"幂"、"指"、"对"、"三""反"当被积函数是以上二类各种特性的函数的乘积时,则根据"反、对、幂、三、指"由左至右的次序,将排在前边的视为u,再将排在后边的与dx组合,结合后视为多元化移民签证,进而通过分部的计算公式求出分数.比如求积分∫xexdx,可以明确发现,当被积函数是幂函数和指数函数的乘积,则幂函数排在前边,而指数函数排在后边,再根据上述法则,将x视为u,把ex与dx结合后的结果d(ex)看作dx，故∫xexdx=∫xd(ex)=xex-fexdx=.xex-ex+c.必须说明的是,若要符合分部积分公式的基本要求,即如果被积函数是二种不同特性的函数的内积,就应该运用分部积分公式,根据积分的特性、微分的基本公式,求出所求的不定积分。但需要说明的是,有时分部积分法和换元积分法组合使用,也可以求出所求的不定分数值,如求积分其求解步骤如下:2.4有理函数的积分对应有理函数分式的形式是:对应有理函数分式的形式是:除上述多种形式以外的所有有理函数,均使用固定结构形状。部分分式项数与原来理函式的分母整体的次数之和。当分式分母数量为一的式子拆开时,将分母中所设的x次数对应减一。当分式分母x的频次为一时,将分母定义为A；当分式的分母频次为二时,将分母定义为Ax+B,当使用以上三种方式代换时使用待定系数法确定未知量。不定分数成为高中数学微面积中的基础概念,而运用不定性分数运算也是学习者必须具备的必备才能。因为微积分运算的形式灵活多样,每个学生能够采用不同的运算形式得出相同的结论,所以这些形式多样的运算对培养学习者开放的发散性思想有着很重要的帮助,也提高了学习者的科研探究能力和创业精神。4定积分的求法4.1定积分的计算方法4.1.1奇偶性法奇函式在对称区域上的定分数小于零,而偶函式在对称区域上的定分数则小于正数区域的二倍。用奇偶性法应看面积区域是不是为对称区域,然后再看被积函数的奇偶性。4.1.2几何意义法根据定积分的几何含义,当被积函数f(x)≥0时,定积分∫baf(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0及曲线y=f(x)所围成的双曲边梯形面积。4.1.3直接积分法按照Newton—Leibniz公式方法,可以使用基本不定积分公式方法求得某个原函数,所计算出的原函数与在积分奖励上下限函数值之差即为所需要的定积分。4.1.4换元法换元法是通过引入一个新变量来简化积分运算。在定积分求解过程中，可以根据所设变量与原变量的关系相应变换积分的上下限。4.1.5分部积分法若定积分可以写成∫bau(x)v'(x)dx或∫bau(x)dv(x)，尤其当被积函数是两个基本初等函数乘积时，经常化为这种形式，则可直接利用以下分部积分公式来计算:若定积分,可写成∫(x)v'(x)dx或∫bau(x)dv(x),尤其当被积函数为二基本初等函数的乘积时,经4.2定积分的计算策略定积分的计算方法共五个,定积分的基本运算策略是按照一定的次序分别采用上述方式,方法的次序是奇偶性法、几何意义法、直线积分法、换元分数法、分部面积法。下面将举例阐释定积分的计算方法及策略。根据本研究给出的解法顺序去计算定积分，发现这个策略对于求解定积分是行之有效的，会大大简化运算过程。例1计算下列定积分解析:根据计算策略,需要首先考虑奇偶性法,计算范围为对称区间,然后再看被积函数的奇函数,最后根据奇偶性法则,此积分结果应等于0。解：由于是奇函数故备注:如果此题不按顺序考虑求解方法，就容易漏掉奇偶性法而选用第二换元法，大大增加了题目求解难度。（2）解析:按照计算策略，应该先考虑奇偶性法，但积分区间不对称，所以不能用奇偶性法，考虑使用第二种几何意义法，定积分等于上半圆（x-1)2+y2=1轴所围成图形的面积。解:由定积分几何意义知，等于上半圆(x－1)2+y2=1(y≥0)，与x轴所围图形的面积，因此备注:如果此题不按顺序考虑求解方法，就容易忽略几何意义法而选用第二换元法，大大增加了题目求解难度。（3）解析:被积函数可以裂项写成，按照计算策略，先考虑奇偶性法，由于积分区间不对称，故不符合，再考虑几何意义法，不是常见图形，不易画出，只能考虑第三种直接积分法，对照基本积分表，易得结果。备注:如果被积函数是分式形式且分子分母都是多项式，通常把被积函数裂项成两项之和再求积分。解析:按照计算策略，先考虑奇偶性法，由于积分区间不对称，故不符合，再考虑几何意义法，不是常见图形，不易画出，然后考虑第三种直接积分法，但被积函数不是基本初等函数，不能直接用基本积分公式积出，接着考虑换元积分法，引入中间变量u=cosx，则du=－sinxdx，这样就可以算出积分。解:令u=cosx，则du=－sinxdx，且当x=0时，u=1；当x=π2（5）解析:根据计算策略,首先考虑奇偶性法,但因为计算区间不正确,故不适合,然后考虑几何意义法,由于没有常见图形,故无法直接绘制出来,接着考虑第三种直接计算法,但由于被积函数是非基本初等函数,故无法直接用基本分数公式积出来,接着应该考虑换元计算法,但由于无法找到中间变量,故又看到被积函数是二种基本初等函数的积,故又不得不用分部积分法,根据反对幂三指的顺序确定u和v。备注:假设被积变量为二个基本初等函数的内积,则采用分部积分法,根据反对幂三指的顺序,两个函数哪个在前哪个看成u。例2求定积分解析:根据此计算策略,首先考虑奇偶性法,因为计算范围都是均匀区间,再看被积函数不存在奇偶性,而该被积函数又可裂成二项之和,每一项均存在奇偶性,奇函数部分结果为0,偶函数部分求积分有根式先根式有理化,化解被积函数,最后用几何意义法即可求出结果。由于是奇函数，故积分等于0，而是偶函数，故有下式:原式由定积分的几何意义可知，故备注:此题在求解过程综合运用了奇偶性法、直接积分法及几何意义法，整个求解过程难度都很小。如果不按给出的解题策略，则容易从开始就直接用第二换元法，或者计算时直接用第二换元法求解，大大增加了计算难度。通过例1各题详细演示了用本研究提到的方法及策略计算定积分可以简化运算，降低计算难度，而且也不易忽略最简单的计算方法。例2是个综合题，用到了三种计算方法，根据本研究提到的计算策略能方便快