角平分线 同步练习题 北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．1 B． C．2 D．无法确定2．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝4，则△BCE的面积等于（）A．16 B．20 C．28 D．403．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．45．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③7．如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：48．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二．填空题9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝6，则△BDC的面积是．10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为．11．如图所示，∠AOB＝45°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC＝6，那么PD＝．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BD平分∠ABC，交AC于点D，若CD＝3cm，则S△ABD＝cm2．13．将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是．14．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝8，则PQ的最小值为．15．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则S△BDC＝，AF＝．16．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是．三．解答题17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长．18．如图，△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．（1）线段AD与CE是否垂直？说明理由．（2）求△BDE的周长；（3）求四边形AEDC的面积．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．20．如图，OP平分∠AOB，∠AOB＝40°，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PC∥OB，交边OA于点C，E为边OB上的一点，且满足PC＝PE．求∠EPN的度数？21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．（1）求证：BF平分∠DBC；（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．22．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．23．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．

参考答案一．选择题1．解：如图，过点G作GH⊥AB于H．∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，∴GH＝GC＝1，根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，故选：A．2．解：过E作EM⊥BC于M，∵CD⊥AB，EM⊥BC，BE平分∠ABC，DE＝4，∴EM＝DE＝4，∵BC＝10，∴△BCE的面积是＝＝20，故选：B．3．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°，∴∠DEA＝∠AGH，故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝∠BAC，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），＝（∠ABD﹣∠ACE），故②正确；③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确；④∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故③正确；故选：D．4．解：∵BD⊥CD，∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP＝AD＝3．故选：C．5．解：∵BC＝7，BD＝4，∴CD＝7﹣4＝3，由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝3，故选：B．6．解：∵BE是AC边的中线，∴AE＝CE，∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．7．解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵△ABC的三条角平分线交于点O，∴OD＝OE＝OF，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，∴AC＝，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝，故选：C．8．解：（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．二．填空题9．解：过D作DE⊥BC于E，∵∠ABC的平分线是BD，∠A＝90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，∴AD＝DE，∵AD＝2，∴DE＝2，∵BC＝6，∴S△BDC＝＝＝6，故答案为：6．10．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，设DE＝DF＝a，∵△ABD的面积为16，AB＝8，∴＝16，∵AB＝8，∴DE＝4，∴DF＝4，∵BC＝12，∴＝＝24，故答案为：24．11．解：如图，过点P作PE⊥AO于E，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，∴PD＝PE，∵PC∥OB，∴∠ECP＝∠AOB＝45°，在Rt△ECP中，PE＝PC＝×6＝3，所以，PD＝3．故答案为：3．12．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面积＝•AB•DE＝×10×3＝15．故答案为：1513．解：∵将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，∴CE＝CF，∠CEO＝∠CFO＝90°，即CE⊥OA，CF⊥OB，∴射线OC为∠AOB的平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．14．解：过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝8，∴PE＝PA＝8，即PQ的最小值是8，故答案为：8．15．解：过D作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DH＝DE＝3，∵BC＝10，∴S△BDC＝BC•DH＝×10×3＝15；∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴AF•BC＝AB•DE+15，∴×10AF＝×8×3+15，∴AF＝，故答案为：15，．16．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝3，∴DE＝DF＝3，∵S△ABC＝15，∴S△ADB+S△ADC＝15，∴×AB×DE+×AC×DF＝15，∴×5×3+AB×3＝15，解得：AB＝5，故答案为：5．三．解答题17．解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，S△ABC＝×16•DE+×12•DF＝70，所以，14DE＝70，解得DE＝5．18．解：（1）在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC＝6，DE＝DC，∴AD是CE的垂直平分线，∴线段AD与CE垂直；（2）∵∠ACD＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，BE＝AB﹣AE＝4，△BDE的周长＝BD+BE+DE＝BC+BE＝12cm；（3）△ABC的面积＝×BC×AC＝24cm2，∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，∴△BED∽△BCA，又＝，∴△BDE的面积＝6cm2，∴四边形AEDC的面积为＝18cm2．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．20．解：∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM＝PN，在Rt△PMC和Rt△PNE中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNE（HL），∴∠EPN＝∠CPM，∵PC∥OB，∴∠PCM＝∠AOB＝40°，∵PM⊥AO，∴∠CPM＝90°﹣40°＝50°，∴∠EPN＝50°．21．（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，∴∠BGE＝∠BEG，∴BG＝BE，∵BF⊥EG，∴BF平分∠DBC．（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，∴5∠C＝90°，∴∠C＝18°．22．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）连接OC，∴AE、BF