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文档简介

北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习题(附答案)一.选择题1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BG平分∠ABC,交AC于点G,若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为()A.1 B. C.2 D.无法确定2.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=10,DE=4,则△BCE的面积等于()A.16 B.20 C.28 D.403.如图,△ABC中,AD⊥BC交BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,F为BC的延长线上一点,FG⊥AE交AD的延长线于G,AC的延长线交FG于H,连接BG,下列结论:①∠DEA=∠AGH;②∠DAE=(∠ABD﹣∠ACE);③∠AGH=∠BAE+∠ACB;④S△AEB:S△AEC=AB:AC,其中正确的结论有()个.A.1 B.2 C.3 D.44.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,连接BD,BD⊥CD,垂足是D且∠ADB=∠C,点P是边BC上的一动点,则DP的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.45.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,BC=7,BD=4,则点D到AB的距离是()A.2 B.3 C.4 D.56.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,BE是AC边的中线,CF是∠ACB的角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,下面说法正确的是()①△ABE的面积=△BCE的面积;②∠FAG=∠FCB;③AF=AG;④BH=CH.A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.①③7.如图,Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12.其三条角平分线交于点O,将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于()A.1:1:1 B.1:2:3 C.3:4:5 D.2:3:48.如图,△AOB的外角∠CAB,∠DBA的平分线AP,BP相交于点P,PE⊥OC于E,PF⊥OD于F,下列结论:(1)PE=PF;(2)点P在∠COD的平分线上;(3)∠APB=90°﹣∠O,其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二.填空题9.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=2,BC=6,则△BDC的面积是.10.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,如果AB=8,BC=12,△ABD的面积为16,则△CBD的面积为.11.如图所示,∠AOB=45°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD=.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BD平分∠ABC,交AC于点D,若CD=3cm,则S△ABD=cm2.13.将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放,两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合,且含30°角的顶点恰好也重合于点C,则射线OC即为∠AOB的平分线,理由是.14.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=8,则PQ的最小值为.15.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB,AF⊥BC,垂足分别为点E、F,若DE=3,则S△BDC=,AF=.16.如图,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若S△ABC=15,DF=3,AC=5,则AB的长是.三.解答题17.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.△ABC的面积为70,AB=16,BC=12.求DE的长.18.如图,△ABC中,∠ACD=90°,AB=10,AC=6,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.(1)线段AD与CE是否垂直?说明理由.(2)求△BDE的周长;(3)求四边形AEDC的面积.19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠DCB交AB于点E.(1)求证:∠AEC=∠ACE;(2)若∠AEC=2∠B,AD=2,求AB的长.20.如图,OP平分∠AOB,∠AOB=40°,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,PC∥OB,交边OA于点C,E为边OB上的一点,且满足PC=PE.求∠EPN的度数?21.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD是AC边上的高,AE是∠BAC的角平分线,分别交BD、BC于点G、E,过点B作AE的垂线BF,分别交AE、AC于点H、F.(1)求证:BF平分∠DBC;(2)若∠ABF=3∠C,求∠C的度数.22.在△ABC中,AE、BF是角平分线,交于O点.(1)如图1,AD是高,∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC和∠BOA的度数.(2)如图2,若OE=OF,AC≠BC,求∠C的度数.(3)如图3,若∠C=90°,BC=8,AC=6,AB=10,求S△AOB.23.如图①,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∠A=α.(1)如图①,若∠A=50°,求∠BOC的度数.(2)如图②,连接OA,求证:OA平分∠BAC.(3)如图③,若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P,求证OC⊥PC.

参考答案一.选择题1.解:如图,过点G作GH⊥AB于H.∵GB平分∠ABC,∠C=90°,即GC⊥BC,∴GH=GC=1,根据垂线段最短可知,GP的最小值为1,故选:A.2.解:过E作EM⊥BC于M,∵CD⊥AB,EM⊥BC,BE平分∠ABC,DE=4,∴EM=DE=4,∵BC=10,∴△BCE的面积是==20,故选:B.3.解:如图,AE交GF于M,①∵AD⊥BC,FG⊥AE,∴∠ADE=∠AMF=90°,∴∠DEA+∠DAE=∠AGH+∠GAM=90°,∴∠DEA=∠AGH,故①正确;②∵AE平分∠BAC交BC于E,∴∠EAC=∠BAC,∠DAE=90°﹣∠AED,=90°﹣(∠ACE+∠EAC),=90°﹣(∠ACE+∠BAC),=(180°﹣2∠ACE﹣∠BAC),=(∠ABD﹣∠ACE),故②正确;③∵∠DAE=∠F,∠FDG=∠FME=90°,∴∠AGH=∠MEF,∵∠MEF=∠CAE+∠ACB,∴∠AGH=∠CAE+∠ACB,∴∠AGH=∠BAE+∠ACB,故④正确;④∵AE平分∠BAC交BC于E,∴点E到AB和AC的距离相等,∴S△AEB:S△AEC=AB:AC,故③正确;故选:D.4.解:∵BD⊥CD,∠A=90°∴∠ABD+∠ADB=90°,∠CBD+∠C=90°,∴∠ABD=∠CBD,由垂线段最短得,DP⊥BC时DP最小,此时,DP=AD=3.故选:C.5.解:∵BC=7,BD=4,∴CD=7﹣4=3,由角平分线的性质,得点D到AB的距离=CD=3,故选:B.6.解:∵BE是AC边的中线,∴AE=CE,∵△ABE的面积=,△BCE的面积=AB,∴△ABE的面积=△BCE的面积,故①正确;∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°,∵∠BAC=90°,∴∠DAC+∠ACB=90°,∠FAG+∠DAC=90°,∴∠FAG=∠ACB,∵CF是∠ACB的角平分线,∴∠ACF=∠FCB,∠ACB=2∠FCB,∴∠FAG=2∠FCB,故②错误;∵在△ACF和△DGC中,∠BAC=∠ADC=90°,∠ACF=∠FCB,∴∠AFG=180°﹣∠BAC﹣∠ACF,∠AGF=∠DGC=180°﹣∠ADC﹣∠FCB,∴∠AFG=∠AGF,∴AF=AG,故③正确;根据已知不能推出∠HBC=∠HCB,即不能推出HB=HC,故④错误;即正确的为①③,故选:D.7.解:过O点作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,∵△ABC的三条角平分线交于点O,∴OD=OE=OF,在Rt△ABC中,AB=9,BC=12,∴AC=,∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=,故选:C.8.解:(1)证明:作PH⊥AB于H,∵AP是∠CAB的平分线,∴∠PAE=∠PAH,在△PEA和△PHA中,,∴△PEA≌△PHA(AAS),∴PE=PH,∵BP平分∠ABD,且PH⊥BA,PF⊥BD,∴PF=PH,∴PE=PF,∴(1)正确;(2)与(1)可知:PE=PF,又∵PE⊥OC于E,PF⊥OD于F,∴点P在∠COD的平分线上,∴(2)正确;(3)∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP=360°,又∵∠OEP+∠OFP=90°+90°=180°,∴∠O+∠EPF=180°,即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB=180°,由(1)知:△PEA≌△PHA,∴∠EPA=∠HPA,同理:∠FPB=∠HPB,∴∠O+2(∠HPA+∠HPB)=180°,即∠O+2∠APB=180°,∴∠APB=90°﹣,∴(3)错误;故选:C.二.填空题9.解:过D作DE⊥BC于E,∵∠ABC的平分线是BD,∠A=90°(即DA⊥AB),DE⊥BC,∴AD=DE,∵AD=2,∴DE=2,∵BC=6,∴S△BDC===6,故答案为:6.10.解:过D作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF,设DE=DF=a,∵△ABD的面积为16,AB=8,∴=16,∵AB=8,∴DE=4,∴DF=4,∵BC=12,∴==24,故答案为:24.11.解:如图,过点P作PE⊥AO于E,∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,∴PD=PE,∵PC∥OB,∴∠ECP=∠AOB=45°,在Rt△ECP中,PE=PC=×6=3,所以,PD=3.故答案为:3.12.解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵BD平分∠ABC,又∵DE⊥AB,DC⊥BC,∴DE=DC=3,∴△ABD的面积=•AB•DE=×10×3=15.故答案为:1513.解:∵将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放,∴CE=CF,∠CEO=∠CFO=90°,即CE⊥OA,CF⊥OB,∴射线OC为∠AOB的平分线(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上),故答案为:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.14.解:过P作PE⊥OM于E,当Q和E重合时,PQ的值最小,∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PA=8,∴PE=PA=8,即PQ的最小值是8,故答案为:8.15.解:过D作DH⊥BC于H,∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,∴DH=DE=3,∵BC=10,∴S△BDC=BC•DH=×10×3=15;∵S△ABC=S△ABD+S△CBD,∴AF•BC=AB•DE+15,∴×10AF=×8×3+15,∴AF=,故答案为:15,.16.解:∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DF=3,∴DE=DF=3,∵S△ABC=15,∴S△ADB+S△ADC=15,∴×AB×DE+×AC×DF=15,∴×5×3+AB×3=15,解得:AB=5,故答案为:5.三.解答题17.解:如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,S△ABC=×16•DE+×12•DF=70,所以,14DE=70,解得DE=5.18.解:(1)在△AED和△ACD中,,∴△AED≌△ACD,∴AE=AC=6,DE=DC,∴AD是CE的垂直平分线,∴线段AD与CE垂直;(2)∵∠ACD=90°,AB=10,AC=6,∴BC==8,BE=AB﹣AE=4,△BDE的周长=BD+BE+DE=BC+BE=12cm;(3)△ABC的面积=×BC×AC=24cm2,∵∠B=∠B,∠BED=∠BCA=90°,∴△BED∽△BCA,又=,∴△BDE的面积=6cm2,∴四边形AEDC的面积为=18cm2.19.解:(1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°,∴∠ACD=∠B,∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE,∴∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE,即∠AEC=∠ACE;(2)∵∠AEC=∠B+∠BCE,∠AEC=2∠B,∴∠B=∠BCE,又∵∠ACD=∠B,∠BCE=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE=∠DCE,又∵∠ACB=90°,∴∠ACD=30°,∠B=30°,∴Rt△ACD中,AC=2AD=4,∴Rt△ABC中,AB=2AC=8.20.解:∵OP平分∠AOB,PM⊥OA,PN⊥OB,∴PM=PN,在Rt△PMC和Rt△PNE中,,∴Rt△PMC≌Rt△PNE(HL),∴∠EPN=∠CPM,∵PC∥OB,∴∠PCM=∠AOB=40°,∵PM⊥AO,∴∠CPM=90°﹣40°=50°,∴∠EPN=50°.21.(1)证明:∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°,∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠DBC=90°,∠DBC+∠C=90°,∴∠ABD=∠C,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,∵∠BGE=∠ABD+∠BAE,∠BEG=∠C+∠EAC,∴∠BGE=∠BEG,∴BG=BE,∵BF⊥EG,∴BF平分∠DBC.(2)解:∵∠ABF=3∠C,∠ABD=∠C,BF平分∠DBC,∴∠FBD=∠FBC=2∠C,∴5∠C=90°,∴∠C=18°.22.解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵∠C=70°,∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°;∵∠BAC=50°,∠C=70°,∴∠BAO=25°,∠ABC=60°,∵BF是∠ABC的角平分线,∴∠ABO=30°,∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°;(2)连接OC,∴AE、BF

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