求离心率范围的六种方法

求离心率范围的六种方法求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此，求解离心率的取值范围是解析几何复习的一个难点。本文将介绍六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c的不等式以一个例题来说明：若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$上存在一点P，使$\anglePA=90^\circ$，其中A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。解：设P$(x,y)$为椭圆上一点，则$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。因为$\anglePA=90^\circ$，所以以OA为直径的圆经过点P，所以$x-a\pmy=0$。联立以上两式，消去y并整理得$\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{(a-x)^2}=1$。注意到当$x=a$时，P与A重合，不合题意，舍去。因此，$\frac{b^2}{a^2}\leqe^2<1$，即$0<e<\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$。二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c的不等式以一个例题来说明：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，左准线为$x=-c$，$P(x,y)$是双曲线左支上一点，并且$PF_1=d=PF_2$，求双曲线离心率e的取值范围。解：由双曲线的定义得$PF_2-PF_1=2a$。因为$PF_1=d$，所以$PF_2=ed$，从而$ed-d=2a$。因此，$e=\frac{d+2a}{d}$。由于$e>1$，所以$d>2a$。又因为$PF_1+PF_2\geq2c$，所以$2a\frac{e^2-1}{e}\geq2c$。联立以上两式，整理得$e\geq\frac{c}{a}$，即$1+\frac{2c}{d}\leqe<\infty$。注意到当$c\geqa$时，双曲线退化为两条直线，不合题意，舍去。因此，$1<e<1+\frac{2c}{d}$。三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式以一个例题来说明：设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$的两焦点为$F_1$、$F_2$，问当离心率e在$\left(\sqrt{\frac{1}{2}},1\right]$范围内取值时，椭圆上存在点P，使$\angleF_1PF_2=12^\circ$。解：设椭圆的焦距为$2c$，由椭圆的定义得$PF_1+PF_2=2a$。在$\triangleF_1PF_2$中，由余弦定理得$\cos12^\circ=\frac{PF_1^2+PF_2^2-F_1F_2^2}{2PF_1\cdotPF_2}$。注意到$PF_1\cdotPF_2=b^2$，$F_1F_2=2c$，所以$\cos12^\circ=\frac{PF_1^2+PF_2^2-4c^2}{2b^2}$。由离心率定义得$PF_1^2=PE^2+EF_1^2=e^2a^2+(-c)^2$，同理可得$PF_2^2=e^2a^2+c^2$。代入上式，整理得$e^2\geq\frac{a^2}{b^2}(2\cos12^\circ+\frac{c^2}{a^2})-1$。注意到$\cos12^\circ>\cos0^\circ=\frac{1}{2}$，所以$e^2>\frac{a^2}{b^2}$。又由于$\frac{c^2}{a^2}+1>e^2$，所以$\frac{c}{a}>\sqrt{\frac{1}{2}}$。因此，$\sqrt{\frac{a^2}{b^2}(2\cos12^\circ+\frac{c^2}{a^2})-1}<e\leq1$。2根据椭圆的定义，有$\frac{PF_1}{a}+\frac{PF_2}{b}=1$，其中$PF_1,PF_2$分别表示焦点$F_1,F_2$到椭圆上某点$P$的距离，$a,b$分别表示椭圆的长短轴。由此得到$4a^2-4c^2=PF_1^2+PF_2^2\leq2(a^2+b^2)$，又根据完全平方数的性质，$PF_1^2+PF_2^2\geq\frac{1}{2}(PF_1+PF_2)^2=\frac{1}{2}(2a)^2=2a^2$，因此$2a^2\leq4a^2-4c^2\leq2(a^2+b^2)$，化简得$3a^2\leq4c^2$，即$\frac{c}{a}\geq\frac{\sqrt{3}}{2}$。又因为$\pie\leq1$，所以$0\leqe\leq\frac{1}{\pi}$，综合得到椭圆离心率$e$的取值范围为$\frac{\sqrt{3}}{2}\leq\frac{c}{a}\leq1$。对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，设其左顶点为$A(-a,0)$，中心为$O(0,0)$，则右顶点为$A'(a,0)$。由于左顶点在抛物线$y^2=x-1$上，因此$a^2=b^2+1$。设椭圆的焦距为$2c$，则$c^2=a^2-b^2=1$，即$c=1$。根据离心率的定义$e=\frac{c}{a}$，得到$\frac{1}{a}\leqe\leq1$。又因为$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，所以椭圆离心率$e$的取值范围为$\frac{1}{2}\leqe\leq1$。对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，设其两焦点为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，则有$\frac{PF_1}{a}+\frac{PF_2}{b}=1$，其中$P(x,y)$是椭圆上的任意一点。设直线$\ell:y=k(x-c)$，则$\ell$经过点$F_2$，与椭圆交于点$A,B$，与$y$轴交于点$C$。由于$B$是线段$CF_2$的中点，因此$BC=\frac{c}{k}$，$AB=\frac{2c}{\sqrt{1+k^2}}$。又因为$\ell$与椭圆有交点，因此存在$k$使得$AB$不为零。根据余弦定理，得到$\cos\angleBAF_2=\frac{c^2+AB^2-4c^2}{2c\cdotAB}=\frac{1}{2}\left(\frac{c}{AB}\right)^2-\frac{3}{4}$。由于$\cos\angleBAF_2\leq1$，因此$\frac{c}{AB}\leq\sqrt{\frac{5}{2}}$，即$\frac{2c}{\sqrt{1+k^2}}\leq\sqrt{\frac{5}{2}}\cdot\frac{c}{k}$，化简得$k^2\leq\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{e^2}-1$。又因为$k\leq\frac{5}{2}$，因此$\frac{25}{4}\leq\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{e^2}-1$，解得$e^2\leq\frac{25}{44}$，即$0\leqe\leq\frac{5}{2\sqrt{11}}$。对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，设其右顶点为$A(a,0)$，中心为$O(0,0)$，则左顶点为$A'(-a,0)$。设椭圆上存在一点$P(x,y)$，使得$\anglePAF_1=90^\circ$，其中$F_1(-c,0)$是椭圆的左焦点。则有$\frac{(x+c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{2cx}{a^2}-\frac{c^2}{a^2}$。由于$\anglePAF_1=90^\circ$，因此$PF_1\perpAF_1$，即$\frac{y}{x+c}=-\frac{x+c}{y}\cdot\frac{x}{c}$。将$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{2cx}{a^2}-\frac{c^2}{a^2}$代入上式，整理得到$x^2+y^2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2-2ac}$。根据离心率的定义$e=\frac{c}{a}$，得到$a^2=b^2+c^2$，因此$x^2+y^2=\frac{b^2c^2}{b^2-c^2}$。设$t=\frac{y}{c}$，则$x^2=c^2\left(\frac{b^2}{b^2-c^2}-t^2\right)$。代入椭圆的参数方程$x=a\cos\theta,y=b\sin\theta$，得到$\cos^2\theta=\frac{b^2}{b^2-c^2}-\frac{t^2}{1-e^2}$。由于$\cos\theta$有界，因此$\frac{b^2}{b^2-c^2}-\frac{t^2}{1-e^2}\leq1$，即