专练13解三角形大题-“爪型”三角形讲义（一）-新高考高三一轮专题复习

专题1.3—解三角形大题—“爪型”三角形（一）解三角形中的“爪型”三角形模型在高考中多次考查，这类问题会涉及到三角形的中线、角平分线、高线等，这些都是学生的薄弱点，其实在做题时，大家注意三角形中所加的线是分角的线（用面积和），还是分边成比例的线（用向量共线定理或两次余弦定理），就能解决大部分题，如果这些方法解决不了，我们还可以用正弦定理或者做辅助线。典型例题在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为．2．记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．（1）若，求；（2）若，求，．3．已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且边上的中线，求的面积．4．已知在中，，．（1）求；（2）设，求边上的高．5．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角、、所对的边分别是、、，的面积为，____．（1）求角；（2）若，点在线段上，且与的面积比为，求的长．6．在中，设角，，的对边长分别为，，．（1）若，，，求的周长；（2）若点是边上一点，且，，，求的长．7．在中，内角，，的对边分别为，，，若．（1）求角的大小；（2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．8．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：（1）求角的大小；（2）如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围．专题1.3—解三角形大题—“爪型”三角形（一）答案1．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为．【解答】解：由题意得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故答案为：9．2．记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．（1）若，求；（2）若，求，．【解答】解：（1）为中点，，则，过作，垂足为，如图所示：中，，，，解得，，，故；（2），，，，则，①，，即②，由①②解得，，，又，．3．已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且边上的中线，求的面积．【解答】解：（1）因为，由正弦定理，得，所以．所以．又因为，所以．因为，所以．（2）因为，所以，得；又因为，所以，所以．4．已知在中，，．（1）求；（2）设，求边上的高．【解答】解：（1），，，，，，，，，，即，又，，解得，又，，；（2）由（1）可知，，，，，，设边上的高为，则，，解得，即边上的高为6．5．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角、、所对的边分别是、、，的面积为，____．（1）求角；（2）若，点在线段上，且与的面积比为，求的长．【解答】解：（1）若选①，因为，由余弦定理及，得，所以，因为，所以，因为，所以．若选②，因为及正弦定理，所以可得，因为，所以，即，而，可得，所以，即．若选③，因为，及正弦定理，所以，即，因为，所以，又，所以．（2）在中，由余弦定理得，因为，，，所以，解得或（舍，因为与面积比为，所以，即，所以，在中，由余弦定理得：，即．6．在中，设角，，的对边长分别为，，．（1）若，，，求的周长；（2）若点是边上一点，且，，，求的长．【解答】解：（1）因为，，所以．由正弦定理，得，所以．（2）设，在三角形与三角形中，由余弦定理得：，，所以①，②，①②得，因为，所以，解得，即的长为1．7．在中，内角，，的对边分别为，，，若．（1）求角的大小；（2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．【解答】解：（1）因为，所以，即，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以．（2）因为，，所以由余弦定理得，即，所以，即（当且仅当时，等号成立），因为，所以，解得，因为（当且仅当时，等号成立），所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为．8．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：（1）求角的大小；（2）如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围．【解答】解：（1）若选①，因为，由正弦定理可得，，化简可得，又因为，则，故．若选②，因为，由正弦定理可得，，且，则，且，所以，其中，所以，则．（2）由题意可得，所以，因为、、三点共线，故设，同理、、三点共线，故设，则，解得，所以，则，因为，所以