第十章 第三节 三重积分

第十章第三节三重积分一、三重积分的概念

二、三重积分的计算三重积分

第十章第十章第三节三重积分一、三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想,采用

引例:设在空间有限闭区域

内分布着某种不均匀的物质,求分布在

内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为第十章第三节三重积分定义.

设存在,称为体积元素,

若对

作任意分割:任意取点则称此极限为函数在

上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域

上连续,则存在使得V为

的体积,

积和式”极限记作第十章第三节三重积分二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:第十章第三节三重积分方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作第十章第三节三重积分方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作第十章第三节三重积分投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:第十章第三节三重积分当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.第十章第三节三重积分小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.第十章第三节三重积分其中

为三个坐标例1.

计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面第十章第三节三重积分例2.计算三重积分解:

用“先二后一”第十章第三节三重积分2.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第十章第三节三重积分如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.第十章第三节三重积分其中

为例3.计算三重积分所解:

在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.第十章第三节三重积分例4.

计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=第十章第三节三重积分3.利用球坐标计算三重积分

就称为点M

的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第十章第三节三重积分如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.第十章第三节三重积分例5.计算三重积分解:

在球面坐标系下所围立体.其中

与球面第十章第三节三重积分例6.求曲面所围立体体积.解:

由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于

xOz

第十章第三节三重积分内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;第十章第三节三重积分1.

将用三次积分表示,其中

由所提示:思考与练习六个平面围成,第十章第三节三重积分2.设计算提示:利用对称性原式=奇函数第十章第三节三重积分3.

设

由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标第十章第三节三重积分作业P1621(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);*10

(2);11(1),*(4)第四节第十章第三节三重积分备用题

1.

计算所围成.其中

由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“