中等数学奥林匹克问题

2007年第2 初195如图1,过⊙O外一点P作⊙O的两条切,切点分别为A、B,过点A作PB的平行线交⊙O于 C,PCOD,ADPB于点E.求证:BC2=2AC·BE.(吕建恒 陕西省兴平市教研室,初 试求出所有的整数k,使得关xx2-2(3k-1)x+9k-1=4的有理数根(其分母与分子不必是互质的). ,510006)高195ABCD,EGFH是夹于对边之间的两条线段其交点O不是的,且满足∠AEG=∠AHF.则ACEF、HG三线共点的充分必要条件是:EGFHABCD的EFGH四点共圆 省县第一中学,

数 问数 问初 在△ABC外部有两点D、E,且满∠ADE=2,EX⊥DAX,⊥DB于点Y作CM⊥DA点M,CN⊥DB于 N,MN,CH⊥ABHEXDYCMDN分别四点共圆∠ADE=∠EDX=∠EYX∠BDC=∠CDN=∠CMN BEEX EY=ACBE=ACsin∠EAB BCAE BCsin =ACsin AC 高 设正数xyz满

=CNx2+y2+z2 -=x2z2x2

y2zx2+y2z3

z2y2的最小值z2

∠EYX=∠CMNADE=∠EYX=∠CMN=求z4+x4+y4的最小值 学初194如图3,P是 ≥s=a+b+c≥1+2abc=

D且PA=PB+PC.

对于(a,b,c) 7,1, 7 1 1 证:PB+PC=PD m =564:BAC于点E,使∠PBE=

s=4

+1+2474

=23BEBF=BP

n=1+2m3下面简证a3+b3+c3≥3≥a+b+c≥1+2首先证明a3+b3+c3≥3.= 所以,点F在AP上 4=a2+b2= BAP=

ABPC四点共圆.∠APB=∠ACB∠APC=∠ABC=S△PBD+S△PCD=S△PBC,

4=a2+b2+c2+abc≤a2+b2+c2+1a2+b2+c2a2+b2+c2)2≥3(a2+b2+c2) ≥(a+b+c)2 a2+b2+c2≥a+b+=2PB·PCsin

a3+b3+c3

≥(a2+b2+c2)2≥(a2+b2+c2)(a+b+故PB+PC=PD a+b+ a+b+(吕建恒陕西省兴平市教研室 193abc∈R+,a2+b2+c2+abc=m=a3+b3+c3n1+2abcs=a+b+mns,mns的最值(1,a=b=c1a2+b2+c2+abc4m=n=s

其次证明:3≥a+b+4=a2+b2+c2+abc≥a2+2bc+=a2+bc(2+a)即4-a2≥bc(2+a≥所以,2- 可以求出(a,b,c) 4a2+b2+c2+abc=

,1 2≥a+ 2注意到abc1,22,b=c=2

数不大于1),或两个都不大于1(此时,第三个数4=a2+4

+1+1a

bcb-1)(c-1)即4a2+a-14a1=7a2=-2(舍去

0bc-b-c1≥0≥ bc+ b+ 猜测:m=a3+b3+c3 ①+②得(bc+1)+2≥(b+c)+(a+bc),3≥a+b+最后证明a+b+c≥122≥a+bc,2a≥a2+

,2b≥b2+abc,2c≥c2+

cosθ2(a+b+c)≥(a2+b2+c2)+3

cos(θ- =GC a2+b23a+b+c≥12

a=b=c=1m=a3+b3+c3

cos,CQ cos

3s=a+b+与=n12abc

(福建省永春县科委高 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=aCA=b,CDAB,DG(PTQ若PG=TQ,试求CT的长度用关于a的式子表示),b的取值范围a:4M∠BCD=

··=CT(cosα+sin= 3=a+b3.CP=a+.3≤aa+≤a =∠ACM

a+3

2ab

CM=

×1AB=

,CT1

,

∠CGT

2,2.

广州大学数学与信息科学学院

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