【解析】江西省宜春市丰城中学2022-2023学年下学期数学八年级期末考试试卷

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江西省宜春市丰城中学2022-2023学年下学期数学八年级期末考试试卷

一、单选题

1．下列图形中，是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．下列成语所描述的事件是随机事件的是（）

A．旭日东升B．不期而遇C．海枯石烂D．水中捞月

3．已知m为方程的根，那么的值为（）

A．B．0C．2022D．4044

4．如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边的延长线上，则()

A．B．C．D．

5．如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、，分别将线段、绕点A顺时针旋转到、，连接、、、，下列结论：①点在上；②；③；④当时，与相切．正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

6．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论的个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

二、填空题

7．抛物线的顶点坐标为．

8．如图，在半径为3的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，则的长度是．

9．如图，在矩形中，，将矩形绕点B旋转一定角度后得矩形，交于点E，且，则的长为．

10．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F．以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为．

11．如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，则的顶点坐标为．

12．如图，点A，B在圆O上，且，点P是射线上一动点（不与点O重合），连接，将沿折叠得到，当的边所在的直线与圆O相切时，的度数为．

三、解答题

13．解下列一元二次方程：

（1）

（2）

14．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求是的值．

15．如图，四边形内接于，为的直径，．

（1）试判断的形状，并给出证明；

（2）若，，求的长度．

16．如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

（1）在图①中，若，作一个的角；

（2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．

17．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”．

18．（2023九上·中卫期末）小莉的爸爸有一张电影票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去.

（1）请用树状图或列表的方法求小莉去看电影的概率；

（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则.

19．已知抛物线L：（）与y轴交于点A，抛物线的顶点为P．

（1）下列结论正确的有（填序号）．

①抛物线一定经过点；

②抛物线的对称轴是直线；

③抛物线的顶点坐标为．

（2）将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线

①若抛物线L与抛物线关于y轴对称，求抛物线的解析式．

②若抛物线的顶点的纵坐标y与横坐标x之间满足一个函数关系式，则这个函数关系式为▲．

（3）将抛物线向右平移个单位长度得抛物线，抛物线的顶点为Q，若为直角三角形，求m的值．

20．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC；

21．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．

（1）求证：为的切线；

（2）求和的数量关系；

（3）若，的直径为20，求的长度．

22．如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；

（2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值．

23．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为的动圆经过点且与x轴相切于点B．

（1）当时，求的半径；

（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）当的半径为1时，若与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点在点C的右侧，连接交与E，请利用图②，求的值．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

【知识点】事件发生的可能性

【解析】【解答】解：A：旭日东升是必然事件，不符合题意

B：不期而遇是随机事件，符合题意

C：海枯石烂是不可能事件，不符合题意

D：水中捞月是不可能事件，不符合题意

故答案为B

【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下可能会发生，也可能不会发生的事件。

3．【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：由题意可得：m+3m-2022=0

所以

原式=

=

=

=0

故答案为B

【分析】将方程的根带入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可求出答案。

4．【答案】D

5．【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】

【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质

【解析】【解答】解：原式

对称轴

当x=2时，y=2

即抛物线的顶点坐标为（2,2）

故答案为（2,2）

【分析】抛物线的顶点坐标在抛物线的对称轴上取。

8．【答案】

9．【答案】3

10．【答案】

11．【答案】

12．【答案】或或

13．【答案】（1）解：∵，，，

∴，

∴，

∴，；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴或，

∴，．

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式即可得出答案。

（2）移项，提公因式，化简为多项相乘形式即可取出答案。

14．【答案】（1）证明：（x－1）（x－2k）+k（k－1）＝0，

整理得：x2－（2k+1）x+k2+k＝0，

∵a＝1，b＝－（2k+1），c＝k2+k，

∴Δ＝b2－4ac＝（2k+1）2－4×1×（k2+k）＝1＞0；

∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：x2－（2k+1）x+k2+k＝0，∴x1＝k，x2＝k+1，

∵x2＝k+1>k＝x1

∴x2＝k+1为对角线，

由勾股定理可得，（k+1）2＝k2+52，解得：k＝12．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的应用

【解析】【分析】（1）先化简成的形式，有两个不相等的实数根，则Δ＝b2－4ac＞0即可求出答案。

（2）解一元二次方程，再利用勾股定理即可求出答案。

15．【答案】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，

∴∠ACB=∠CAB，

∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BC=AB=，

∴AC=，

Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，

∴CD=．

16．【答案】（1）解：在上找一点D，连接，如图，

则是直径，

∴，

∵，

∴，

∴即为所求；

（2）解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点，根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心；

17．【答案】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得：

，

即，

∴，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”．

【知识点】一元二次方程的其他应用

【解析】【分析】根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，舍掉不符合题意的数即可求出答案。

18．【答案】（1）解：由题意可得，

根据上图可得，总共有：5、7、8、9、6、8、9、、7、9、、、9、、、，共有16种情况，其中偶数有6种，奇数10种，

∴，

∴小莉去看电影的概率为；

（2）解：由（1）可得，

∴，

∴该游戏规则不公平，

游戏设置：拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去；

根据上图可得，总共有：6、7、8、9、7、8、9、、8、9、、、9、、、，共有种情况，其中偶数有8种，奇数8种，

.

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【分析】（1）利用已知条件，列出树状图，根据树状图可得到所有的可能的结果数及两数之和为偶数的情况数，利用概率公式进行计算即可.

（2）利用概率公式求出哥哥去看电影的概率，比较大小，可作出判断；再设计游戏规则，使和为偶数、和为奇数的概率相等即可.

19．【答案】（1）③

（2）解：①∵将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线，

∴抛物线的解析式为

对称轴为，

∵抛物线L与抛物线关于y轴对称

∴

解得

∴抛物线的解析式为

②

（3）解：把代入函数，得

∴点A的坐标为

∵抛物线向右平移个单位长度得抛物线，且抛物线的顶点P坐标为

∴抛物线的顶点Q坐标为

∵轴，且点A在y轴上，

∴若为直角三角形，则有三种情况：

①，即点P在y轴上，则

，解得

∵

∴点P不在y轴上，即不存在

②，即点Q在y轴上，则

∵

∴点Q不在y轴上，即不存在

③

此时点P与点Q关于y轴对称，是等腰直角三角形

∴

解得或（舍去）

综上所述，

【知识点】图形的平移；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】（1）解：①当x=-1时，

所以抛物线一定经过（-1,3），①正确

②抛物线的对称轴是直线,②错误

③当x=-m时，，③正确

故答案为①③

【分析】（1）利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可求出答案。

（2）①利用平移的性质表示出平移的抛物线的顶点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标的性质列出关于m的方程，解方程即可求出答案。

②将纵坐标利用配方法变形后即可求出答案。

（3）利用平移的性质表示出平移后的抛物线的顶点坐标，利用横坐标的性质可得点P与点Q关于y轴对称，则AP=AQ，利用三角形APQ为直角三角形，则三角形APQ为等腰直角三角形且，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到PQ=2AB，进而得出关于M的方程，解方程即可求出答案。

20．【答案】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，

由抛物线y=得C（2，0），

∴对称轴为直线x=2，

设B（m，n），

∴CP=m-2，

∵AB∥x轴，

∴AB=2m-4，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，

∴PB=PC=（m-2），

∵PB=n=，

∴（m-2）=，

解得m=，m=2（不合题意，舍去），

∴AB=，BP=，

∴S△ABC=．

21．【答案】（1）证明：证明：如图所示，连接，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵为的半径，

∴为的切线；

（2）解：如图所示，连接，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴

（3）解：如图所示，过O作，垂足为F，

∴，

∴四边形为矩形，

∴．

∵，

∴可设，则，

∵O的直径为20，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得．

∴，

解得或（舍去），

∴．

∵，

∴由垂径定理知，．

22．【答案】（1）；

（2）解：是等腰直角三角形，理由如下．

由旋转可知，，

∵，，

∴，

∴，，

由三角形的中位线定理得，，，

∴，

∴是等腰三角形，

同（1）的方法可得，，，

，，

∵，

∴，

，

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形．

（3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，，

∴当最大时，面积最大，

∴点D在的延长线上，

∴，

∴，

∴．

23．【答案】（1）解：由，得到，连接，，如图：

圆P与x轴相切，

轴，即，由，得到，

解得：，则圆P的半径为；

（2）解：同(1)，由，得到

整理得：，

故图象为开口向上的抛物线，

画出函数图象，如图所示；

（3）解：如图：连接，并延长，交x轴于点F，

设，则有，，

坐标为，

代入抛物线解析式得：，

解得：或(舍去)，

即，

在中，，，

则．

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江西省宜春市丰城中学2022-2023学年下学期数学八年级期末考试试卷

一、单选题

1．下列图形中，是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

2．下列成语所描述的事件是随机事件的是（）

A．旭日东升B．不期而遇C．海枯石烂D．水中捞月

【答案】B

【知识点】事件发生的可能性

【解析】【解答】解：A：旭日东升是必然事件，不符合题意

B：不期而遇是随机事件，符合题意

C：海枯石烂是不可能事件，不符合题意

D：水中捞月是不可能事件，不符合题意

故答案为B

【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下可能会发生，也可能不会发生的事件。

3．已知m为方程的根，那么的值为（）

A．B．0C．2022D．4044

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：由题意可得：m+3m-2022=0

所以

原式=

=

=

=0

故答案为B

【分析】将方程的根带入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可求出答案。

4．如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边的延长线上，则()

A．B．C．D．

【答案】D

5．如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、，分别将线段、绕点A顺时针旋转到、，连接、、、，下列结论：①点在上；②；③；④当时，与相切．正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】A

6．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论的个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】B

二、填空题

7．抛物线的顶点坐标为．

【答案】

【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质

【解析】【解答】解：原式

对称轴

当x=2时，y=2

即抛物线的顶点坐标为（2,2）

故答案为（2,2）

【分析】抛物线的顶点坐标在抛物线的对称轴上取。

8．如图，在半径为3的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，则的长度是．

【答案】

9．如图，在矩形中，，将矩形绕点B旋转一定角度后得矩形，交于点E，且，则的长为．

【答案】3

10．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F．以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为．

【答案】

11．如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，则的顶点坐标为．

【答案】

12．如图，点A，B在圆O上，且，点P是射线上一动点（不与点O重合），连接，将沿折叠得到，当的边所在的直线与圆O相切时，的度数为．

【答案】或或

三、解答题

13．解下列一元二次方程：

（1）

（2）

【答案】（1）解：∵，，，

∴，

∴，

∴，；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴或，

∴，．

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式即可得出答案。

（2）移项，提公因式，化简为多项相乘形式即可取出答案。

14．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求是的值．

【答案】（1）证明：（x－1）（x－2k）+k（k－1）＝0，

整理得：x2－（2k+1）x+k2+k＝0，

∵a＝1，b＝－（2k+1），c＝k2+k，

∴Δ＝b2－4ac＝（2k+1）2－4×1×（k2+k）＝1＞0；

∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：x2－（2k+1）x+k2+k＝0，∴x1＝k，x2＝k+1，

∵x2＝k+1>k＝x1

∴x2＝k+1为对角线，

由勾股定理可得，（k+1）2＝k2+52，解得：k＝12．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的应用

【解析】【分析】（1）先化简成的形式，有两个不相等的实数根，则Δ＝b2－4ac＞0即可求出答案。

（2）解一元二次方程，再利用勾股定理即可求出答案。

15．如图，四边形内接于，为的直径，．

（1）试判断的形状，并给出证明；

（2）若，，求的长度．

【答案】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，

∴∠ACB=∠CAB，

∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BC=AB=，

∴AC=，

Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，

∴CD=．

16．如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

（1）在图①中，若，作一个的角；

（2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．

【答案】（1）解：在上找一点D，连接，如图，

则是直径，

∴，

∵，

∴，

∴即为所求；

（2）解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点，根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心；

17．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”．

【答案】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得：

，

即，

∴，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”．

【知识点】一元二次方程的其他应用

【解析】【分析】根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，舍掉不符合题意的数即可求出答案。

18．（2023九上·中卫期末）小莉的爸爸有一张电影票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去.

（1）请用树状图或列表的方法求小莉去看电影的概率；

（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则.

【答案】（1）解：由题意可得，

根据上图可得，总共有：5、7、8、9、6、8、9、、7、9、、、9、、、，共有16种情况，其中偶数有6种，奇数10种，

∴，

∴小莉去看电影的概率为；

（2）解：由（1）可得，

∴，

∴该游戏规则不公平，

游戏设置：拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去；

根据上图可得，总共有：6、7、8、9、7、8、9、、8、9、、、9、、、，共有种情况，其中偶数有8种，奇数8种，

.

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【分析】（1）利用已知条件，列出树状图，根据树状图可得到所有的可能的结果数及两数之和为偶数的情况数，利用概率公式进行计算即可.

（2）利用概率公式求出哥哥去看电影的概率，比较大小，可作出判断；再设计游戏规则，使和为偶数、和为奇数的概率相等即可.

19．已知抛物线L：（）与y轴交于点A，抛物线的顶点为P．

（1）下列结论正确的有（填序号）．

①抛物线一定经过点；

②抛物线的对称轴是直线；

③抛物线的顶点坐标为．

（2）将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线

①若抛物线L与抛物线关于y轴对称，求抛物线的解析式．

②若抛物线的顶点的纵坐标y与横坐标x之间满足一个函数关系式，则这个函数关系式为▲．

（3）将抛物线向右平移个单位长度得抛物线，抛物线的顶点为Q，若为直角三角形，求m的值．

【答案】（1）③

（2）解：①∵将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线，

∴抛物线的解析式为

对称轴为，

∵抛物线L与抛物线关于y轴对称

∴

解得

∴抛物线的解析式为

②

（3）解：把代入函数，得

∴点A的坐标为

∵抛物线向右平移个单位长度得抛物线，且抛物线的顶点P坐标为

∴抛物线的顶点Q坐标为

∵轴，且点A在y轴上，

∴若为直角三角形，则有三种情况：

①，即点P在y轴上，则

，解得

∵

∴点P不在y轴上，即不存在

②，即点Q在y轴上，则

∵

∴点Q不在y轴上，即不存在

③

此时点P与点Q关于y轴对称，是等腰直角三角形

∴

解得或（舍去）

综上所述，

【知识点】图形的平移；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】（1）解：①当x=-1时，

所以抛物线一定经过（-1,3），①正确

②抛物线的对称轴是直线,②错误

③当x=-m时，，③正确

故答案为①③

【分析】（1）利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可求出答案。

（2）①利用平移的性质表示出平移的抛物线的顶点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标的性质列出关于m的方程，解方程即可求出答案。

②将纵坐标利用配方法变形后即可求出答案。

（3）利用平移的性质表示出平移后的抛物线的顶点坐标，利用横坐标的性质可得点P与点Q关于y轴对称，则AP=AQ，利用三角形APQ为直角三角形，则三角形APQ为等腰直角三角形且，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到PQ=2AB，进而得出关于M的方程，解方程即可求出答案。

20．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC；

【答案】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，

由抛物线y=得C（2，0），

∴对称轴为直线x=2，

设B（m，n），

∴CP=m-2，

∵AB∥x轴，

∴A