渐近方法函数的展开

渐近方法函数的展开第1页，课件共51页，创作于2023年2月第二章渐近方法

本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近方法具有重要的地位。第2页，课件共51页，创作于2023年2月1、量级符号；2、渐近展开；3、渐近展开式的运算；4、积分的渐近展开式；5、最陡下降法；6、驻定相位法；7、常微分方程的渐近解；第二章渐近方法第3页，课件共51页，创作于2023年2月

由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。比较函数趋于某个极限时的性质常定义：

例：§2渐近方法§2.1量级符号

1)同量级第4页，课件共51页，创作于2023年2月例：称函数f(x)至多与g(x)同阶。§2渐近方法§

2.1量级符号2)量级最多为

也可以说若存在某个常数A，使对定义域D某个内点x0的邻域V内的所有x，满足第5页，课件共51页，创作于2023年2月例：§2渐近方法§2.1量级符号

3)量级小于

也可以说若存在任一，定义域D内点x0总有一的邻域存在，使得所有，满足称函数f(x)是函数g(x)的高阶小量。

的意义是说f(x)有界，而的意义是说f(x)趋于零。第6页，课件共51页，创作于2023年2月§2.2渐近展开

下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复平面上进行。一、渐近序列设，是定义在区间D上的连续函数序列，是D中的一固定点，若对每一个固定的n，有则称为点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也可以是无限项的。例如：是对零点的渐近序列。§2渐近方法是对于无穷的渐近序列。第7页，课件共51页，创作于2023年2月二、渐近展式

设是一个给定的函数，而是点的一个渐近序列，如果对每个固定的整数n，有那么称此为在点的渐近展式。记为注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足渐近展式的定义式，则当时，取确定的项数n会得到对函数非常好的近似。§2.2渐近展开

§2渐近方法

第8页，课件共51页，创作于2023年2月例1：求当时的积分值。即求时的渐近展式。解：

余项：§2.2渐近展开

§2渐近方法

第9页，课件共51页，创作于2023年2月因此，取展开式的前n项，略去余项，当时，其误差量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为§2.2渐近展开

§2渐近方法

注意：这个级数对于有限的x值均不收敛。但是，取确定的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出的相对误差为1/x,结果粗略一些，但已经足够用了。第10页，课件共51页，创作于2023年2月三、展开式系数：

当时，的渐近展式的系数为证明略§2.2渐近展开

§2渐近方法

四、展开式的构成设在区域D中有定义，若

有定义且不为零，则是时，的一个直到N项的渐近展开式。当时，的渐近展式的系数为四、展开式的构成当时，的渐近展式的系数为四、展开式的构成当时，的渐近展式的系数为四、展开式的构成第11页，课件共51页，创作于2023年2月证明：首先证明是一个渐近序列。由的定义得§

2.2渐近展开§2渐近方法所以：又因为：故存在一个的邻域使z在其中时：第12页，课件共51页，创作于2023年2月所以。由此，各个都由这种方式定义得§

2.2渐近展开§2渐近方法五、唯一性设是在D中，的一个已知渐近序列，若是当时，直到N项的一个渐近展式，则此展式是唯一的。注意：这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数。第13页，课件共51页，创作于2023年2月

的一个渐近幂级数展式，记为六、幂函数的展式§

2.2渐近展开§2渐近方法则：是D中，时，其中一种重要的特殊情形是在D中，当时，如果则在D中，当时第14页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.3渐近展式的运算若在D中，当时，直到N项有则：和1.加法：2.乘法：§2渐近方法本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。第15页，课件共51页，创作于2023年2月3.除法：即除法为两个函数渐近展开式分别保留到N项相除。推论：§

2.3渐近展式的运算§2渐近方法第16页，课件共51页，创作于2023年2月4.积分:当时，若则：其中积分沿从到的一条直线路径。推论:当时，若则：§

2.3渐近展式的运算§2渐近方法5.求导:当时，若，且当时，在D中存在并有第17页，课件共51页，创作于2023年2月则在D中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有推论1：在D中，当有且在D中§

2.3渐近展式的运算§2渐近方法存在并有若在D中，渐近幂级数满足逐项积分的条件，则第18页，课件共51页，创作于2023年2月推论2：对，当时有且存在于相同的区域，当时，有则

对于解析函数，若在区域当时有则在中，当有§

2.3渐近展式的运算§2渐近方法根据渐近展式的定义和相关运算法则，就可以讨论在解析函数理论中常用的积分的渐近展式。第19页，课件共51页，创作于2023年2月

获得积分渐近展式的方法有两种把被积函数的一部分展开为级数，然后形式上逐项积分；重复地进行分部积分。一、逐项积分法：瓦特森引理：设§

2.4积分的渐近展式

§2渐近方法第20页，课件共51页，创作于2023年2月式对Re(z)>0成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分的渐近展开式。做变量代换，令解：令则例：求当，的Γ函数的渐近展式。§2渐近方法则对给定的值上述变换给出两个解s(u)和σ(u)，其中§

2.4积分的渐近展式

即且第21页，课件共51页，创作于2023年2月两个解分别位于最大值s=1的两边其中于是§2渐近方法§

2.4积分的渐近展式

可以证明且因当时，故在有界第22页，课件共51页，创作于2023年2月§2渐近方法§

2.4积分的渐近展式

则可得与的关系：剩下要证明的是其中对小的有一个麦克劳林展开式。再做代换，令。它在处是解析的。因为当时，有即与的邻域有两个分支。根据复变函数理论：若解析，且则在的邻域存在解析的反函数现在在邻域解析，且在点不等于零，故在第23页，课件共51页，创作于2023年2月§2渐近方法§

2.4积分的渐近展式

另一支是注意到则对足够小的有故令的邻域存在解析的反函数式中是处的留数，容易算出等。将最后的表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引理，在时，有第24页，课件共51页，创作于2023年2月§23渐近方法§

2.4积分的渐近展式

式中二、分部积分法：对形式进行分部积分。在，且当时的条件下得。可以看出，所得积分与原来积分形式相似，故可重复同一过程。第25页，课件共51页，创作于2023年2月§2渐近方法§

2.4积分的渐近展式

在和的一定假设条件下，式中第一项是的积分渐近形式。条件:（1）对，连续且有界：，同时（2）对，为实函数且连续；存在，且（3）（4）对所有正，，且当时，（5）对，存在，则对当时第26页，课件共51页，创作于2023年2月§2渐近方法§

2.4积分的渐近展式

例：在，条件下，求误差函数的渐近展开式。令现在的积分和定理的假设相符，重复地应用此定理，对于可得第27页，课件共51页，创作于2023年2月§2渐近方法§

2.4积分的渐近展式

如果，则应将方法修改。但对这种情形，可以采用下面两节的方法，这里不再赘述。以上只把分部积分法用于上限为的积分，现在考虑a和b

有限，且的情形，即设，而当，时第28页，课件共51页，创作于2023年2月§2渐近方法§

2.4积分的渐近展式

当，时，因为故第29页，课件共51页，创作于2023年2月最徒下降法的思路：首先令：则：§2渐近方法§

2.5最陡下降法积分其中C

是复平面Z上的路径，在其中假定缓变，且f和g

均具有适当的正则性。其中u和v是实函数。当S很大时，沿积分路径微小位移所引起的υ

的微小变化会引起注意到：第30页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.5最陡下降法也就是说，最徒下降法的本质就是尽可能利用这样的积分路径：使被积函数在这个路径上u为最大，而υ等于常数。这样可以保证被积函数变化最速下降，也就保证积分值只与u为最大的点（鞍点）附近的邻域有关，从而可以渐近计算。事实上，使υ等于常数的路径也就是u变化最快的路径。以下对此证明：§2渐近方法中复数项的迅速震荡。但如选择积分路径使在其上

υ为常数，

则震荡就会迅速消失，于是被积函数变化最速部分将为，而显然其主要贡献部分将来自u为最大点的邻域。因而此方法的本质是尽可能地改变积分路径循着通过u

为最大的点，而υ等于常数的路线进行。第31页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.5最陡下降法§2渐近方法证明:令是在邻近的一点，于是由得：当

等于常数时，应有，即注意到柯西－黎曼关系:可得此式表明因此，由极值的条件，在点，υ等于常数的方向也正是u

的最大变化方向。第32页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.5最陡下降法§2渐近方法为寻找的最大点，令，因而故当且仅当在该点，时，取得极值，这样的点称为驻点。曲面有极大极小值的条件为而现在有，即，故，因而因为u是解析函数满足拉普拉斯方程表明这里的驻点不是极值点而是鞍点，它连接曲面的“山谷”和“山脊”沿山脊上升和山谷下降均是u最大变化方向。对我们有意义的是山谷下降路径，即最徒下降路径，因为只有这一路径上在鞍点附近对积分有显著的贡献，所以这种渐近计算的方法称为：最徒下降法。第33页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.5最陡下降法§2渐近方法鞍点若点为鞍点，即此点的υ等于常数的曲线方程为，则通过，或其中t是实数，t为正代表下降路径，t为负代表上升路径。由在点的Tailor展开式现在，若(A为正实数)，接近处，则，（略去高阶项）第34页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.5最陡下降法§2渐近方法因为：还可得：由此可以画出实部虚部时的等高线如图所示。如果，则图形将更复杂，可能有三个或更多的山谷在鞍点相会。第35页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.5最陡下降法§2渐近方法

现在可以假定起止于无限远的积分路径能变形到起点和终点都在山谷的路径，这是积分收敛的要求。

积分路径要尽可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷的底在鞍点处越过一个山谷进入下一个山谷。

一般说来，这种路径由一系列曲线组成，每一个是从鞍点到无穷或到某个奇点。以下假定来计算一个这种路径对积分的贡献。为此，设其中。于是最陡下降路径由下式给出或(t为正实数）其中取主值。计及，故得第36页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.5最陡下降法§2渐近方法上式的不同符号对应于自鞍点出发的两条最陡下降路径。若“+”号与第三象限的路径有关，“-”与第一象限的路径。有关考虑负号时所代表的路径如图所示，所得的积分是负号所对应的路径其中是上式中取负号的z值。另一路径的积分其中是上式中取正号的z值。第37页，课件共51页，创作于2023年2月

完整的级数太繁，我们将只导出首项。于是，如果把C变形到通过鞍点，其方向如右图，则可以得到§

2.5最陡下降法§2渐近方法由于和都可用t表示，其中函数f

已假定是缓变的，故和均可用代替。令引理渐近计算的积分式。，则可以得到用瓦特森负号所对应的路径

此式即利用最徒下降法得到的积分的渐近展开。如果C通过鞍点的方向与前图示相反的话，结果反号即可。第38页，课件共51页，创作于2023年2月例：求阶乘的斯特林（Stirling)公式。（即阶乘的渐近展式）解：已知阶乘的积分表达式符合前边积分的形式，其中而积分路径C为实轴。§

2.5最陡下降法§2渐近方法它在时成立，现在我们只考虑s此积分形式不适合用最陡下降法，但如用sz来代替z就得出是实数的情形。注意到有一鞍点，且在该处第39页，课件共51页，创作于2023年2月在时：因此积分路径应该是和（零点为奇点）两部分根据公式：§

2.5最陡下降法§2渐近方法这就是斯特林公式。第40页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.6驻定相位法积分：§2渐近方法当参量k

很大时可以用驻定相位法求解。从被积函数的形式上看，可当作波的相位。当k很大时，它表示一种迅速的振荡。在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在的部分，处有平坦因而对积分的主要贡献来自于点附近。使的点称为驻定相位点，所以这种用相位驻定邻近的积分结果来近似代表整个区间的精确结果的方法称为驻定相位法。为证明对积分的主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量z为实变量x的情形。函数的驻点是使的点，如

，而则称为的N级驻点。第41页，课件共51页，创作于2023年2月考察积分：§

2.6驻定相位法§2渐近方法①如果积分区间(a,b)内f(x)没有驻点，g(x)在(a,b)内可微，则可作积分变量代换，而上面的积分可记为由f(x)反演x可以表示为f的函数，故在积分区间是可微的。由分部积分，得第42页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.6驻定相位法§2渐近方法等号右边第一项在时趋于零，其量级为；右边第二项形式上与原积分一样，可微能对它再进行分部积分，积分后的量级也是，但其前面已有系数，故上式等号右边第二项的量级为，再继续进行分部积分，可见整个在k很大时量级最多为1/k的小量。②如果在积分区间内有一个一级驻点

，则由于而使在处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。第43页，课件共51页，创作于2023年2月则：后一个积分中把f作为积分变量，则其中：令§

2.6驻定相位法§2渐近方法它在驻点处(为型)的极限为，从而也在积分区间内可微。由此，上面后一个积分的量级也是

现在来考虑前一个积分，将按Taylor级数展开，则第44页，课件共51页，创作于2023年2月§

2.6驻定相位法§2渐近方法略去后面的高阶项，计及g(x)在区间内是x的缓变函数，于是上述积分整个地可写为令，则再令，同时考虑到时积分限，则得