湖大自控第五章

湖大自控第五章第1页，课件共147页，创作于2023年2月第五章线性系统的频域分析法频率特性5-1典型环节与开环系统的频率特性5-2频率域稳定判据3稳定裕度45-35-4闭环系统的频域性能指标控制系统频域设计45-65-5第2页，课件共147页，创作于2023年2月在工程实际中，人们常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能。频率特性主要研究系统对正弦输入信号的稳态响应。一、频率特性的定义二、频率特性的几何表示法5-1频率特性第3页，课件共147页，创作于2023年2月系统结构如图系统稳定！给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦信号：Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4其响应为：

5-1频率特性第4页，课件共147页，创作于2023年2月结论：

给稳定系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值和相角随ω而改变。

40不稳！不考虑!5-1频率特性第5页，课件共147页，创作于2023年2月例：RC滤波网络如图所示：5-1频率特性R1C1i1(t)ur(t)uc(t)第6页，课件共147页，创作于2023年2月G(S)R(s)C(s)系统结构图如图:一、频率特性的定义设系统传递函数为特征方程的根。G(s)=(S-S1)(S-S2)···(S-Sn)B(s)r(t)=AsinωtS1,S2‥‥Sn输出响应

c(t)?R(s)=AωS2+ω2C(s)=G(s)R(s)C(s)=(S-S1)(S-S2)···(S-Sn)B(s)AωS2+ω2·5-1频率特性第7页，课件共147页，创作于2023年2月C(s)=A2S–jωA1S+jωBiS–Si∑ni=1++c(t)=A1e-jtωejtω+A2∑ni=1esit+Bi将C(s)按部分分式展开:拉氏反变换得:设系统是稳定的，即S1,S2···Sn的实部均小于零。

系统的稳态响应为cs(t)=limc(t)=A1e-jtωejtω+A2t→∞求待定系数:A1=G(s)AωS2+ω2·(S+jω)S=-jω=G(-jω)-2jA=-2jA|G(jω)|e-jG(jω)同理:A2=G(jω)2jA=2jA|G(jω)|ejG(jω)代入-2jcs(t)=A|G(jω)|ej[G(jω)]ωt+e-j[G(jω)]ωt+=A|G(jω)|sin[G(jω)]ωt+A1系统正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为|G(jω)|,稳态输出与输入间的相位差为∠G(jω)。5-1频率特性第8页，课件共147页，创作于2023年2月系统输入输出曲线r(t)t0c(t)φr(t)c(t)AAG(jω)5-1频率特性第9页，课件共147页，创作于2023年2月对于线性定常系统，当输入为正弦信号时，其稳态输出也为正弦信号。线性定常系统r(t)=Asintc(t)=Bsin(t+

)频率特性：对于线性定常系统，当输入为正弦信号时，其

稳态输出信号与输入正弦信号的复数比。5-1频率特性第10页，课件共147页，创作于2023年2月频率特性稳态正弦输出信号与正弦输入信号的幅值之比稳态正弦输出信号与正弦输入信号的相位差G(jω)=G(s)S=jωjG(jω)=|G(jω)|e

5-1频率特性第11页，课件共147页，创作于2023年2月

频率特性与表征系统性能的传递函数之间有着直接的内在联系，故可由频率特性来分析系统性能。5-1频率特性第12页，课件共147页，创作于2023年2月例求图所示RC电路的频率特性，并求该电路正弦信号作用下的稳态输出响应。解:+-uruc+-CiR传递函数为

G(s)=TS+11ur(t)=AsinωtT=RC频率特性jωT+1G(jω)=1=1+(ωT)2ωT1+(ωT)2-j1A(ω)

=|G(jω)|1+(ωT)2√=1幅频特性和相频特性=φ(ω)G(jω)=-tg-1ωT求得该RC电路的稳态输出ASin(ωt-tg-1ωT)cs(t)=

1+(ωT)2√5-1频率特性第13页，课件共147页，创作于2023年2月频率特性可表示为：jφ(ω)G(jω)=A(ω)e=P(ω)+jQ(ω)P2(ω)+Q2(ω)√A(ω)

==tg-1φ(ω)Q(ω)P(ω)5-1频率特性第14页，课件共147页，创作于2023年2月ω0-80-60-40-200Φ(ω)12345TTTTTRC电路的频率特性曲线ω1A00.2A0.4A0.6A0.8AA(ω)12345TTTTT5-1频率特性第15页，课件共147页，创作于2023年2月传递函数：频率特性：频率特性、传递函数和微分方程三者的关系微分方程系统传递函数频率特性s=ddts=j

j

=ddt5-1频率特性第16页，课件共147页，创作于2023年2月0Reω∞Imωω=0二、频率特性的几何表示法频域分析法是一种图解分析法，常见的频率特性曲线有以下三种。

1．幅相频率特性曲线

以ω为参数，当ω从０变到∞时，在复平面上按实部和虚部的相应变化，绘制出的频率特性曲线。

幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线,也称极坐标图。5-1频率特性第17页，课件共147页，创作于2023年2月例2：设系统的频率特性为试画出该系统的幅相曲线。解：幅频特性相频特性当

：0

01/41/23/415/4…

A(

)10.9700.8940.8000.7070.6250

(

)0°-14.0°-26.6°-36.9°-45°-51.3°-90°幅相曲线关于实轴对称。一般只绘

从0

的幅相曲线。

=0

-j0-45°10.707

5-1频率特性第18页，课件共147页，创作于2023年2月

在频率域内，将频率特性表示成实部和虚部的形式；以ω为参数，当ω从０变到∞时，在复平面上按实部和虚部的相应变化；极坐标图上，每个点的模值对应于幅频特性，相角对应于相频特性。5-1频率特性第19页，课件共147页，创作于2023年2月2．对数频率特性曲线对数频率特性曲线又称伯德图.由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线组成。

对数幅频特性曲线的横坐标采用lgω分度。纵坐标为L(ω)=20lgA(ω)

单位为

dB

频率变化十倍，称为十倍频程，记作dec

.对数相频特性曲线的横坐标也是lgω

分度，-20dB/dec-40dB/dec-20dB/decL(ω)=20lgA(ω)/dB-400-202040Φ(ω)-1800-901100.1ω1100.1ω纵坐标则表示为Φ(ω)

。5-1频率特性第20页，课件共147页，创作于2023年2月对数幅频曲线：对数相频曲线：特点：1）对数幅频特性曲线和对数相频曲线分开表示；2）横坐标为角频率

，但以lg分度，单位是弧度/秒；01234

511010042

一倍频程十倍频程十倍频程线性分度对数分度5-1频率特性第21页，课件共147页，创作于2023年2月22对数分度：5-1频率特性a）频率

每变化10倍（称十倍频程），对数分度横坐标上的间隔距离为一个单位长度。b）频率

每变化一倍（称一倍频程），对数分度横坐标上的间隔距离为0.301单位长度。c）无法表示

=0。第22页，课件共147页，创作于2023年2月3）对数幅频曲线的纵坐标为L(

)，均匀分度，单位是分贝；4）对数相频曲线的纵坐标为

(

)，均匀分度，单位是度(°)。a）L(

)=0dB，表示输入和输出的幅值相等。输入和输出的幅值相等b）L(

)>0dB，输出的幅值大于输入的幅值。c）L(

)<0dB，输出的幅值小于输入的幅值。5-1频率特性第23页，课件共147页，创作于2023年2月例：设系统的频率特性为试画出该系统的对数频率曲线。解：对数幅频特性对数相频特性（0dB线）（斜率为-20dB/dec的直线）5-1频率特性第24页，课件共147页，创作于2023年2月对数频率曲线0dB-20dB/dec5-1频率特性第25页，课件共147页，创作于2023年2月3、对数幅相曲线（尼柯尔斯曲线）特点：1）纵、横坐标都均匀分度；2）横坐标表示相角

(

)

，单位是度(°)；3）纵坐标表示对数幅频特性幅值L(

)，单位是分贝。

1/(1+j0.5

)的对数幅相曲线5-1频率特性第26页，课件共147页，创作于2023年2月

频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具有一些明显的优点.一、典型环节的频率特性二、控制系统开环频率特性5-2典型环节与开环系统的频率特性三、传递函数的频域实验确定第27页，课件共147页，创作于2023年2月一、典型环节的频率特性开环传递函数G(s)H(s)可写成由多个因式相乘积的形式，这些因式大概可归为以下类型，称之为典型环节:比例环节：K惯性环节：1/(Ts+1)式中T>0一阶微分环节：Ts+1式中T>0积分环节：1/s微分环节：s

振荡环节：1/(s2/

n2+2s/

n+1)式中

n>0,0<

<1二阶微分环节：s2/

n2+2s/

n+1式中

n>0,0<

<15-2典型环节与开环系统的频率特性延迟环节：e-τs第28页，课件共147页，创作于2023年2月G(jω)=KA(ω)=Kφ(ω)=0o1．比例环节0KReIm比例环节的奈氏图

(1)奈氏图奈氏图是实轴上的K点。G(s)=K传递函数和频率特性幅频特性和相频特性5-2典型环节与开环系统的频率特性第29页，课件共147页，创作于2023年2月比例环节的伯德图对数幅频特性：对数相频特性：

(2)伯德图L(ω)=20lgA(ω)=20lgK=0o=tg-1φ(ω)Q(ω)P(ω)20lgK0L(ω)/dB0ω10.110.1ωφ(ω)5-2典型环节与开环系统的频率特性第30页，课件共147页，创作于2023年2月

2．积分环节传递函数和频率特性幅频特性和相频特性(1)奈氏图积分环节奈氏图ReIm0ω=0∞G(s)=1SG(jω)=1jωA(ω)=1ωφ(ω)=-90o5-2典型环节与开环系统的频率特性第31页，课件共147页，创作于2023年2月

(2)伯德图对数幅频特性：

对数相频特性：积分环节的伯德图L(ω)=20lgA(ω)=-20lgωφ(ω)=-90oΦ(ω)ω10.1100-90L(ω)/dB10.1ω10020-2040-20dB/dec第二节典型环节与系统的频率特性5-2典型环节与开环系统的频率特性第32页，课件共147页，创作于2023年2月

3．微分环节传递函数和频率特性幅频特性和相频特性(1)奈氏图微分环节奈氏图G(s)=SG(jω)=jωA(ω)=ωφ(ω)=90oReIm0ω=0∞5-2典型环节与开环系统的频率特性第33页，课件共147页，创作于2023年2月

(2)伯德图微分环节的伯德图对数幅频特性：

对数相频特性：L(ω)=20lgA(ω)=20lgωφ(ω)=90oΦ(ω)ω10.110L(ω)/dB10.1ω10020-2020dB/dec0905-2典型环节与开环系统的频率特性第34页，课件共147页，创作于2023年2月4．惯性环节传递函数和频率特性幅频特性和相频特性G(s)=1Ts+1G(jω)=1jωT+1

A(ω)=11+(ωT)2φ(ω)=-tg-1ωT(1)奈氏图绘制奈氏图近似方法:根据幅频特性和相频特性求出特殊点,然后将它们平滑连接起来.ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-90o惯性环节的奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0o取特殊点：1ω=TA(ω)=0.707φ(ω)=-45o可以证明：惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。ω∞ReIm00.7071ω=Tω=0-455-2典型环节与开环系统的频率特性第35页，课件共147页，创作于2023年2月(2)伯德图

ω

<1/T频段,可用0dB渐近线近似代替。L(ω)=20lg11+(ωT)2ω<<1T(ωt)2<<120lg1=0dB~~L(ω)

惯性环节的伯德图ω>>1T(ωT)2>>120lgωT1~~L(ω)

=-20lgωT

ω

>1/T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替两条渐近线相交点的频率为转折频率ω

=1/T。

渐近线所产生的最大误差值为：L(ω)=20lg11+(ωT)221=20lg=-3.03dBL(ω)/dB渐近线转折频率渐近线精确曲线-20020-20dB/decT110T110Tω相频特性曲线：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-45oω=1/Tφ(ω)=-90oω→∞ω0-45-90φ(ω)5-2典型环节与开环系统的频率特性第36页，课件共147页，创作于2023年2月愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大。对数幅频曲线距离转折频率愈远5-2典型环节与开环系统的频率特性第37页，课件共147页，创作于2023年2月

误差曲线对称于转折频率。惯性环节渐近线特性与精确特性的误差主要在交接频率上下十倍频程范围内。转折频率十倍频以上的误差极小，可忽略。惯性环节的误差修正曲线5-2典型环节与开环系统的频率特性第38页，课件共147页，创作于2023年2月

5．一阶微分环节传递函数和频率特性：幅频特性和相频特性：G(s)=1+TsG(jω)=1+jωTA(ω)=1+(ωT)2φ(ω)=tg-1ωT(1)奈氏图1ReIm0∞ω=0一阶微分环节奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=∞A(ω)=∞φ(ω)=90o5-2典型环节与开环系统的频率特性第39页，课件共147页，创作于2023年2月(2)伯德图对数幅频特性：L(ω)=20lg1+(ωT)2一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比,所以它们的伯德图对称于横轴.G(jω)=1+jωT1+jωTG(jω)=1L(ω)=20lg1+(ωT)21一阶微分环节的伯德图L(ω)/dB-20020T110T110Tω渐近线精确曲线ω

450

90φ(ω)5-2典型环节与开环系统的频率特性第40页，课件共147页，创作于2023年2月传递函数：频率特性：幅频特性：

6．振荡环节5-2典型环节与开环系统的频率特性第41页，课件共147页，创作于2023年2月相频特性：5-2典型环节与开环系统的频率特性第42页，课件共147页，创作于2023年2月振荡环节的奈氏图(1)奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=ωnφ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-180oA(ω)=2ζ1振荡环节的频率特性曲线因ζ值的不同而异.j01.0

=0

=

n

=0.4

=0.6

=0.85-2典型环节与开环系统的频率特性第43页，课件共147页，创作于2023年2月2L(ω)=20lg(1-ω21

)22

)2+(ζωωωnn(2)伯德图对数幅频特性：ω<<ωnω2ωn2≈0ω2ωn2(2ζ)2≈0L(ω)≈20lg1=0dBω>>ωnωωn(2ζ)2≈01≈0L(ω)≈-40lgωωn对数相频特性：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-90oω=ωnφ(ω)=-180oω→∞振荡环节的伯德图→转折频率ω=ωn5-2典型环节与开环系统的频率特性第44页，课件共147页，创作于2023年2月

精确曲线与渐近线之间存在的误差与ζ值有关，ζ过大或过小，误差都较大，曲线应作出修正。5-2典型环节与开环系统的频率特性振荡环节对数幅频特性误差修正曲线3.025.0第45页，课件共147页，创作于2023年2月振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比ξ的函数，且以转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小。通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计。振荡环节对数幅频率特性图5-2典型环节与开环系统的频率特性第46页，课件共147页，创作于2023年2月从图可知,当ζ较小时，对数幅频特性曲线出现了峰值，称为谐振峰值Mr，对应的频率称为谐振频率ωr。dA(ω)dω=0ωr=ωn1-2ζ2

(0≤ζ≤0.707)

Mr=A(ωr)=2ζ1-ζ21可求得代入得5-2典型环节与开环系统的频率特性第47页，课件共147页，创作于2023年2月48

当时，当时，当时，除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是阻尼比ξ的函数，随阻尼比ξ变化，相频特性在转折频率附近的变化速率也发生变化，阻尼比ξ越小，变化速率越大，反之愈小。但这种变化不影响整个相频特性的大致形状。振荡环节对数相频特性图不同阻尼比ξ的相频特性如图所示。5-2典型环节与开环系统的频率特性第48页，课件共147页，创作于2023年2月7、二阶微分环节传递函数：频率特性：幅频特性：对数幅频特性：（0dB线）（斜率为40dB/dec的直线）5-2典型环节与开环系统的频率特性第49页，课件共147页，创作于2023年2月相频特性：5-2典型环节与开环系统的频率特性第50页，课件共147页，创作于2023年2月j10-1

=0

=

n

=0.4

=0.6

=0.8(1)奈氏图5-2典型环节与开环系统的频率特性第51页，课件共147页，创作于2023年2月

n0dB40dB/dec

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8(2)伯德图5-2典型环节与开环系统的频率特性第52页，课件共147页，创作于2023年2月8．延迟环节时滞环节的奈氏图是一个单位圆(1)奈氏图G(s)=e-τsG(jω)=e-jωτA(ω)=1φ(ω)=-τω1ω=00ReIm5-2典型环节与开环系统的频率特性第53页，课件共147页，创作于2023年2月（2）伯德图延迟环节的伯德图φ(ω)=-τωL(ω)=20lg1=0φ(ω)L(ω)/dBω0ω1100-100-200-3005-2典型环节与开环系统的频率特性第54页，课件共147页，创作于2023年2月环节传递函数斜率(dB/dec)特殊点φ(ω)常用典型环节伯德图特征表0o～-180os2+2ωnζωns+ωn221+τs0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKL(ω)=0ω=1,T1ω=转折频率转折频率1ω=τ转折频率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o比例积分重积分惯性比例微分振荡00，-20-20-400，200，-405-2典型环节与开环系统的频率特性第55页，课件共147页，创作于2023年2月二、控制系统开环频率特性频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能,这样可以简化分析过程.所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要.下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制.5-2典型环节与开环系统的频率特性第56页，课件共147页，创作于2023年2月(jω)υΠ(Tjjω+1)n-υj=1kΠ(τijω+1)i=1G(jω)=m1．系统开环幅相频率特性曲线系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的,一般表达式为：G(s)=Sυ∏(TjS+1)n-υj=1k∏(τiS+1)i=1m频率特性表达式：υ—

积分环节的个数

Tj,τi—

时间常数n—

系统的阶次K—

开环增益n>mi=1ωυΠ1+(ωTj)2n-υj=1kΠ1+(ωτi)2mA(ω)=幅频特性:相频特性:φ(ω)=-υ90o+Σtg-1ωτi-Σtg-1ωTjmn-υi=1j=15-2典型环节与开环系统的频率特性第57页，课件共147页，创作于2023年2月绘制方法1）由开环传递函数的零、极点分布图，用图解法绘制。2）由开环幅频特性和相频特性，用近似作图法绘制。3）由G(j

)=U(

)+jV(

)绘制。绘制要求：1、开环幅相曲线的起点(

=0)，终点(

)；2、开环幅相曲线与坐标轴的交点；3、开环幅相曲线大致走势。5-2典型环节与开环系统的频率特性第58页，课件共147页，创作于2023年2月j

=0045°1

=1/T

例：设系统的开环传递函数为试画出该系统的开环幅相曲线。解：1）近似法5-2典型环节与开环系统的频率特性第59页，课件共147页，创作于2023年2月2）解析法当

：0

T00.10.3125

A(

)00.10.2880.7070.8950.9821

(

)90°84.3°73.3°45°30°11.3°0°j

=0045°1

=1/T

5-2典型环节与开环系统的频率特性第60页，课件共147页，创作于2023年2月(1)0型系统υ=0Π1+(ωTj)2nj=1KΠ1+(ωτi)2i=1A(ω)=mΣtg-1ωτimi=1φ(ω)=nj=1-Σtg-1ωTjω=0A(ω)=Kφ(ω)=0o系统起点和终点ReIm0Kν=0n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ω=0ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-(n-m)90o5-2典型环节与开环系统的频率特性第61页，课件共147页，创作于2023年2月(2)Ｉ型系统ωΠ1+(ωTj)2n-1j=1kΠ1+(ωτi)2mi=1A(ω)=υ=1Σtg-1ωτimi=1φ(ω)=-90o+n-1j=1-Σtg-1ωTj系统起点和终点ReIm0n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ω=0ω=0A(ω)=∞φ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-(n-m)90o5-2典型环节与开环系统的频率特性第62页，课件共147页，创作于2023年2月(3)II型系统υ=2ω2Π1+(ωTj)2n-2j=1kΠ1+(ωτi)2mi=1A(ω)=Σtg-1ωτimi=1φ(ω)=-180o+n-2j=1-Σtg-1ωTjReIm0n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ω=0系统起点和终点ω=0A(ω)=∞φ(ω)=-180oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-(n-m)90o5-2典型环节与开环系统的频率特性第63页，课件共147页，创作于2023年2月

0型、Ｉ型和II型系统起点和终点的综合情况如图。奈氏曲线的起点

奈氏曲线的终点ν=1ReIm0ν=0ν=3ν=2n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ReIm05-2典型环节与开环系统的频率特性第64页，课件共147页，创作于2023年2月

例试绘制系统的奈氏图。系统的奈氏图解：n-m=2I型系统G(s)=KS(TS+1)1+(ωT)2KωA(ω)=φ(ω)=-90o-tg-1ωTReIm0ω=∞ω=0ω起点与终点:ω=0A(ω)=∞φ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-180o5-2典型环节与开环系统的频率特性第65页，课件共147页，创作于2023年2月例：设某零型系统的开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。解：起点：

=0时，终点：

时，5-2典型环节与开环系统的频率特性第66页，课件共147页，创作于2023年2月与虚轴的交点：j

=0K0

=1

T1T25-2典型环节与开环系统的频率特性第67页，课件共147页，创作于2023年2月零型系统包含n个惯性环节时的幅相曲线j

=0K0

n=1n=2n=3n=4当零型系统包含n个惯性环节，m个微分环节时，即则，幅相曲线的终点角度为：-(n-m)90°5-2典型环节与开环系统的频率特性第68页，课件共147页，创作于2023年2月例：设某I型系统的开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。解：5-2典型环节与开环系统的频率特性第69页，课件共147页，创作于2023年2月起点：

=0时，终点：

时，与实轴的交点：与虚轴的交点：5-2典型环节与开环系统的频率特性第70页，课件共147页，创作于2023年2月j

=0

0

=

x

=

yU(0)

5-2典型环节与开环系统的频率特性第71页，课件共147页，创作于2023年2月开环系统幅相曲线的一般特点如果开环系统的传递函数为：1）

为零时，曲线的特点完全取决于K和v。2）

为趋于零时，I型系统的幅相曲线渐近线是平行于虚轴的直线，其横坐标为3）一般控制系统，m<n，

为趋于无穷时，幅相特性为各型系统的幅相曲线0型I型II型III型0

=0

j5-2典型环节与开环系统的频率特性第72页，课件共147页，创作于2023年2月4）开环系统的传递函数中不含一阶微分环节时，幅相曲线的相角连续减少；否则，不一定，因而幅相曲线中可能有凹凸。有凹凸的幅相曲线0

=0

Kj5-2典型环节与开环系统的频率特性第73页，课件共147页，创作于2023年2月2．系统开环对数频率特性系统的开环传递函数一般由典型环节串联而成：开环系统的频率特性：

G(s)=G1(s)·G2(s)·G3(s)…=ΠGi(s)ni=1G(jω)=ΠGi(jω)ni=1=ΠAi(ω)eni=1jφi(ω)开环系统的对数幅频特性：L(ω)=20lgΠAi(ω)ni=1ni=1=Σ20lgAi(ω)ni=1=ΣLi(ω)开环系统的对数相频特性：ni=1φ(ω)=Σφi(ω)1)串联环节的对数幅频特性等于各个环节对数幅频特性之和；2)串联环节的对数相频特性等于各个环节对数相频特性之和。5-2典型环节与开环系统的频率特性第74页，课件共147页，创作于2023年2月绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：1)

将开环传递函数化成典型环节的乘积。3)

将各环节的对数幅频、相频曲线相加。2）画出各典型环节的对数幅频和对数相频特性曲线；5-2典型环节与开环系统的频率特性第75页，课件共147页，创作于2023年2月例已知开环传递函数，试画出系统的开环对数频率特性曲线。解：G(s)=(S+10)S(2S+1)G(s)=10(0.1S+1)S(2S+1)1)将式子标准化解2)画出各环节的对数频率特性曲线。G1(s)=10G2(s)=1SG3(s)=0.1S+1G4(s)=2S+11ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2Φ(ω)L(ω)/dBL1L3L2L41100.5

-20020400-180-9090-40dB/dec-20dB/decω

3）将各环节的曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。5-2典型环节与开环系统的频率特性第76页，课件共147页，创作于2023年2月通过上例可知：根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。

低频段幅频特性近似表示为：低频段曲线的斜率低频段曲线的高度L(ω)≈20lgK-20lgωυ-20υdB/decL(1)=20lgK5-2典型环节与开环系统的频率特性第77页，课件共147页，创作于2023年2月实际的作图过程可简化为：1)

将开环传递函数标准化；2)

在坐标中标出各环节的转折频率；3）过ω=1，L(ω)=20lgK

这点，作斜率为-20νdB/dec

的低频渐近线；4）每到某一环节的转折频率处，根据该环节的特性改变一次渐近线的斜率。5)

画出对数相频特性的近似曲线。5-2典型环节与开环系统的频率特性第78页，课件共147页，创作于2023年2月例试画出系统的伯德图。

解：G(s)=100(S+2)S(S+1)(S+20)G(s)=10(0.5S+1)S(S+1)(0.05S+1)将式子标准化各转折频率为：ω1=1ω2=2ω3=20低频段曲线：20lgK=20lg10=20dBω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/decφ(ω)L(ω)/dB-2002040相频特性曲线：ω=0φ(ω)=-90oω=∞φ(ω)=-180o5-2典型环节与开环系统的频率特性第79页，课件共147页，创作于2023年2月例：设开环传递函数为绘制其近似对数频率特性曲线。解：将传递函数写成标准形式显然，该开环传递函数由五个典型环节串联而成。交接频率依次是：5-2典型环节与开环系统的频率特性第80页，课件共147页，创作于2023年2月低频段起始斜率是：-40dB/dec频率0.10.2之间的渐进线斜率是：-60dB/dec频率0.2

之间的渐进线斜率是：-40dB/dec因为传递函数含2个积分环节，所以

0时，

(

)-180°又因为传递函数含1个惯性环节和1个一阶微分环节，所以

时，

(

)-180°5-2典型环节与开环系统的频率特性第81页，课件共147页，创作于2023年2月dB9060300-200°-180°0.010.1110

0.2-40dB/dec-60dB/dec-40dB/dec26665-2典型环节与开环系统的频率特性第82页，课件共147页，创作于2023年2月40db0.1110w20db1000db-20db-40db302[-20][-40][-20][-40]低频段：时为38db转折频率：0.5230斜率：-40-20-40时为52db第83页，课件共147页，创作于2023年2月

频率特性具有明确的物理意义，可用实验的方法来确定它。这对于难以列写其微分方程的元件或系统来说,具有很重要的实际意义。1、用实验法确定系统的伯德图2、根据伯德图确定传递函数三、传递函数的频域实验确定5-2典型环节与开环系统的频率特性第84页，课件共147页，创作于2023年2月若线性系统是稳定的，可用实验的方法获得其伯徳图，具体步骤如下：1）在规定的频率范围内，给被测系统施加不同频率的正弦信号，并相应地测量出系统的稳态输出幅值和相位值，据此作出系统的对数幅频特性和相频特性曲线。2）用斜率为0dB/dec、±20dB/dec、

±40dB/dec等的直线近似被测对数幅频特性曲线，得到系统的对数幅频特性曲线的渐近线。1、用实验法确定系统的伯德图5-2典型环节与开环系统的频率特性第85页，课件共147页，创作于2023年2月对一系统实测得到的频率特性曲线如图近似后得到的渐近线:ωφ(ω)ω-20dB/dec102-40dB/dec-60dB/decL(ω)/dB-2002040相频特性曲线:0-180-90-2705-2典型环节与开环系统的频率特性第86页，课件共147页，创作于2023年2月1）最小相角系统和非最小相角系统一个稳定系统，若其传递函数在右半s平面无零点，称为最小相角系统（最小相位系统）；否则，称为非最小相角系统（非最小相位系统）。2、根据伯德图确定传递函数5-2典型环节与开环系统的频率特性第87页，课件共147页，创作于2023年2月2）特点a)对于最小相角系统，其幅频特性和相频特性直接关联，即一个幅频特性只能有一个相频特性与之对应，反之亦然。对于最小相角系统，只要根据对数幅频曲线就可以写出系统的传递函数。b)若两个系统的幅频特性相同，则

>0时，最小相角系统的相角总小于非最小相角系统的相角。c)对于最小相角系统，若其传递函数的分子和分母的最高次数分别为m和n，则

时，相频特性

(

)-(n-m)90°。非最小相角系统不满足此条件。5-2典型环节与开环系统的频率特性第88页，课件共147页，创作于2023年2月例：设两个传递函数分别为试比较两者的频率特性。解：很显然，G1(s)是最小相角系统，G2(s)是非最小相角系统。5-2典型环节与开环系统的频率特性第89页，课件共147页，创作于2023年2月

Bode图（T1=10，T=1）dB-200-180°0°0.010.1110

非最小相角系统的相频曲线-20dB/dec-90°最小相角系统的相频曲线5-2典型环节与开环系统的频率特性第90页，课件共147页，创作于2023年2月3)根据伯德图确定传递函数G(s)=Sv∏(TjS+1)n-ιj=1K∏(τiS+1)i=1m系统传递函数的一般表达式为：根据伯得图确定传递函数主要是确定增益K，转折频率及相应的时间常数等参数则可从图上直接确定。5-2典型环节与开环系统的频率特性第91页，课件共147页，创作于2023年2月a)υ=0低频渐近线为系统的伯德图：20lgKx-40dB/dec0ωL(ω)/dB-20dB/decωcL(ω)=20lgK=χK=1020χ即5-2典型环节与开环系统的频率特性第92页，课件共147页，创作于2023年2月ωL(ω)/dB1ω1ωc-20dB/dec-40dB/dec0低频段的曲线与横轴相交点的频率为ω0

ω020lgKL(ω)=20lgKω=1lgω0-lg120lgK=2020lgK=20lgω0K=ω0系统的伯德图：因为故b)υ=15-2典型环节与开环系统的频率特性第93页，课件共147页，创作于2023年2月

0ω-20dB/dec-40dB/dec-40dB/decωc1L(ω)/dBlgω0-lg120lgK=4020lgK=40lgω0K=ω02系统的伯德图：L(ω)=20lgKω=120lgK低频段的曲线与横轴相交点的频率为ω0ω0因为故c)υ=25-2典型环节与开环系统的频率特性第94页，课件共147页，创作于2023年2月例：求如图所示最小相位系统的传递函数。dB-200401000.1110

-20dB/dec20-40-40dB/dec-40dB/dec12.50.512某最小相角系统的对数幅频曲线5-2典型环节与开环系统的频率特性第95页，课件共147页，创作于2023年2月解：因为最左端直线的斜率为：-40dB/dec系统传递函数中有两个积分环节：

=1时，最左端直线的延长线的纵坐标为：12.5dB比例环节：K4.2

=0.5时，直线的斜率由：-40dB/dec-20dB/dec系统传递函数中有一个一阶微分环节：

=12时，直线的斜率由：-20dB/dec-40dB/dec系统传递函数中有一个惯性环节：系统传递函数为：5-2典型环节与开环系统的频率特性第96页，课件共147页，创作于2023年2月例已知采用积分控制液位系统的结构和对数频率特性曲线,试求系统的传递函数。解:将测得的对数曲线近似成渐近线:L(ω)/dBω20-200φ(ω)0-180-90ω1-20dB/dec4-40dB/decφ(s)=1(S+1)(S/4+1)=10.25S2+1.25S+15-2典型环节与开环系统的频率特性第97页，课件共147页，创作于2023年2月例由Bode图确定开环传递函数。40db-20db-40db0第98页，课件共147页，创作于2023年2月-40db-20db-40db0例由Bode图确定开环传递函数。第99页，课件共147页，创作于2023年2月一、奈奎斯特稳定判椐三、条件稳定系统二、对数频率稳定判椐5-3频率域稳定判据第100页，课件共147页，创作于2023年2月一、奈奎斯特稳定判据F(jω)-10ωReImG(jω)H(jω)01ω1+G(jω)H(jω)ReImG(jω)H(jω)F(s)=1+G(s)H(s)

—原点—(-1,j0)点5-3频率域稳定判据第101页，课件共147页，创作于2023年2月1、奈氏稳定判据可表述为：

设开环传递函数有p

个极点位于S平面右半面，当ω=0→∞时，系统开环幅相特性曲线G(jω)H(jω)

逆时针方向绕(-1,j0)点的周数N=P/2

，则闭环系统是稳定的。否则，闭环系统不稳定。Z=P-2NZ=0，则闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。5-3频率域稳定判据开环幅相曲线穿过(-1,j0)，表明系统存在共轭虚根。第102页，课件共147页，创作于2023年2月若系统开环传递函数中包含有ν个积分环节，则先绘出ω=0+→∞的幅相频率特性曲线，然后将曲线进行修正后，再使用奈氏判据来判断系统的稳定性。在ω=0+开始，逆时针方向修正方法：补画一个半径无穷大、相角为υ

.

900的大圆弧，即ω=0-→0+的曲线。2、含有积分环节的奈氏判椐5-3频率域稳定判据第103页，课件共147页，创作于2023年2月例设系统的开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。

1)T1>T2曲线没有包围(-1,j0)点，系统是稳定的。ReIm0-1ω=0+ω=0-ω=∞奈氏曲线P=0φ(0+)>-1800G(s)H(s)=K(T1S+1)S2(T2S+1)解：2)T1<T2曲线包围了(-1,j0)点，z=2，系统不稳定。ReIm0-1ω=0+ω=0-ω=∞奈氏曲线P=0φ(0+)<-18005-3频率域稳定判据第104页，课件共147页，创作于2023年2月例：系统的开环传递函数为解：由图可知，N=0Z=P-2N=0系统稳定。5-3频率域稳定判据幅相曲线

j0-1

-3系统的开环幅相曲线如图所示因为v=1从幅相曲线

=0+的点反时钟方向补画1/4个半径为无穷的圆试用奈氏判据判断系统的稳定性。第105页，课件共147页，创作于2023年2月若系统的开环传递函数为系统的开环幅相曲线如图所示幅相曲线

j0-3-1

-13.5由图可知，N=-1但是，P=0Z=P-2N=2系统不稳定。5-3频率域稳定判据则：第106页，课件共147页，创作于2023年2月二、对数频率稳定判据1、穿越理论判稳定穿越的定义：开环系统幅相曲线通过（-1,j0）点以左的负实轴算为穿越。正穿越：沿

增加的方向，开环系统幅相曲线自上向下通过（-1,j0）点之左的负实轴，即

，

。负穿越：沿

增加的方向，开环系统幅相曲线自下向上通过（-1,j0）点之左的负实轴，即

，

。G(jω)H(jω)曲线起始或终止于负实轴上，算作1/2次穿越。5-3频率域稳定判据第107页，课件共147页，创作于2023年2月2、奈氏图与Bode图的对应关系幅相曲线j0(+)-1(

)对数坐标图dB0

c

(°)0°

-180°(+)(

)5-3频率域稳定判据第108页，课件共147页，创作于2023年2月3、对数频率稳定判据稳定判据：Z=P-2NP：开环传递函数在右半s平面上的极点数。N=正穿越次数-负穿越次数=N+-N–Z：闭环特征方程正实部根个数。Z=0，则闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。N：为开环对数幅频特性在L(

)>0的所有频率范围内，对数相频曲线与-180°线的正、负穿越数之差。注意：如果开环传递函数G(s)H(s)包含v个积分环节，则在对数相频曲线

=0+的地方，补画一条从相角

{G(j0+)H(j0+)}+v•90°到

{G(j0+)H(j0+)}的虚线。5-3频率域稳定判据第109页，课件共147页，创作于2023年2月例：系统的开环传递函数为试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。解：系统的对数坐标图如图所示因为v=2在对数相频曲线

=0+的地方补画从0°到-180°的虚线。由图可知，N=-1但是，P=0Z=P-2N=2系统不稳定。对数坐标图dB-40dB/dec

1T-60dB/dec0(°)

0°-180°-270°5-3频率域稳定判据第110页，课件共147页，创作于2023年2月例试用奈氏稳定判据和对数频率稳定判据判别闭环系统的稳定性。G(s)H(s)=S(1+0.02S)(1+0.2S)100解：1)绘出系统奈氏曲线，并确定曲线与实轴的交点。5-3频率域稳定判据G(jω)H(jω)=jω(1+0.02jω)(1+0.2jω)100=ω[(1+0.0004ω2)(1+0.04ω2)]-22ω+j(0.4ω2-100)第111页，课件共147页，创作于2023年2月ReImω=0ω=∞0-1ω=0+令虚部等于零：Q(ω)=0.4ω2-100=0

ω2

=250得求曲线与实轴的交点：P(ω)=(1+0.0004ω2)(1+0.04ω2)-22ω2=250=-2212.1∣P(ω)︱>1,系统不稳定。5-3频率域稳定判据第112页，课件共147页，创作于2023年2月2)系统的伯德图转折频率：系统不稳定。ω1=5,ω2=50L(ω)/dB550-20dB/decωcωωφ(ω)-60dB/dec-40dB/dec-2002040-180-900N+-N-=-1≠2P（-）5-3频率域稳定判据

ωc2

=500截止频率：

ωg2

=250相角交界频率：第113页，课件共147页，创作于2023年2月三、条件稳定系统当系统的稳定需满足一定条件时，称为条件稳定系统。幅相曲线j0-1K1K2

对数坐标图dB0

1

(°)0°

-180°20lgK120lgK2-270°

3

2例：K=K1时，闭环系统稳定K=K2时，闭环系统不稳定5-3频率域稳定判据第114页，课件共147页，创作于2023年2月根据奈氏判据可知，最小相位系统是否稳定，主要看G(jω)H(jω)曲线是否绕过点(-1,j0)。奈氏曲线离点(-1,j0)越远，则系统的相对稳定性越好。可用相位裕量和幅值裕量两个性能指标来衡量来衡量系统的相对稳定性。5-4稳定判据第115页，课件共147页，创作于2023年2月γ<00—系统不稳定ReIm0γφ(ωc)

ωc1正相位裕量G(jω)相位裕量：γ=φ(ωc)+180o1.相位裕量γωc

G(jωc)H(jωc)=1γ>00

—系统稳定

—截止频率ReIm0γ负相位裕量G(jω)ωcφ(ωc）5-4稳定判据第116页，课件共147页，创作于2023年2月2.幅值裕量h幅值裕量：系统稳定系统不稳定

h<1

h>1φ(ωg)=-180oh=G(jωg)H(jωg)1A(jωg)1

=ReIm0h1ωg-1正幅值裕量G(jω)ReIm0h1ωg-1G(jω)负幅值裕量ωg—相角交界频率5-4稳定判据第117页，课件共147页，创作于2023年2月对数曲线上相位和幅值裕量:ωc正幅值裕量正相位裕量ωgγh120lg0-90ω-180ωL(ω)/dBφ(ω)ωc负幅值裕量负相位裕量ωgγh120lg0-90ω-180ωL(ω)/dBφ(ω)5-4稳定判据第118页，课件共147页，创作于2023年2月对于最小相角系统，相角裕度

>0，幅值裕度h>1，系统稳定，

和h越大，系统稳定程度越好；

<0，h<1，系统则不稳定，为了获得满意的过渡过程，通常要求系统有30°～70°的相角裕度，对于最小相角系统，

c

附近要求斜率为-20dB/dec。5-4稳定判据第119页，课件共147页，创作于2023年2月例已知系统的开环传递函数,求系统的幅值裕量和相位裕量.G(s)H(s)=1S(S+1)(0.1S+1)解：G(jω)H(jω)=jω(jω+1)H(jω+10)10ReIm0h1-1G(jω)绘制出系统奈氏图:求曲线与实轴的交点:jω(jω+1)H(0.1jω+1)1=ω[(10-1ω2)+j110)-j11ω+1)][(10-ωω2=ω[(10-ω2)-(j11ω)2]-110ω-j10(10-ω2)2=+110ωω4+100-110ω2=10(10-ω2)+110ωω4+1002-j=P(ω)+jQ(ω)令：Q(ω)=0得：ωg=3.16可得幅值裕量：1h=1P(ωg)=11令：G(jωc)H(jωc)=1得：ωc=0.784γ=180o+Φ(ωc)=180o-90o-tg-10.78-tg-10.1×0.78=47.4oγ5-4稳定判据第120页，课件共147页，创作于2023年2月例某位置控制系统的结构如图。试绘制系统开环的伯德图，并确定系统的相位稳定裕量γ。θr(s)θc(s)–10S(0.25S+1)(0.1S+1)解：绘制出系统伯德图如图:5-4稳定判据第121页，课件共147页，创作于2023年2月6.32γ-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec10S(0.25S+1)(0.1S+1)G(s)=L(ω)/dB104ωωφ(ω)-2002040-180-900由图用近似计算式可确定ωc。0.25ωc210≈1ωc=6.32γ=180o+Φ(ωc)

=180o-90o-tg-10.25×6.23-tg-10.1×6.23=90o-57.67o-32.3o=0.03o5-4稳定判据第122页，课件共147页，创作于2023年2月例：某控制系统如图所示，试求K=2.5和K=25时，系统的幅值裕度和相角裕度。R(s)C(s)_16(2s+1)(s+1)K

(1+)2s10.1(0.2s+1)解：系统开环传递函数为5-4稳定判据第123页，课件共147页，创作于2023年2月3.91.232.24

1=25°h1=9.6(dB)

2=-25°h2=-10.4(dB)K=2.5K=25K=2.5时，

=25°，h=9.6dB，系统稳定。

K=25时，

=-25°，h=-10.4dB，系统不稳定。

5-4稳定判据第124页，课件共147页，创作于2023年2月1、时域性能指标延迟时间td上升时间tr峰值时间tp调节时间ts超调量

稳态误差ess(1)动态性能指标：(2)稳态性能指标：2、频域性能指标谐振峰值Mr谐振频率

r幅值裕度h相角裕度

带宽频率

b截止频率

c5-5闭环系统的频域性能指标第125页，课件共147页，创作于2023年2月1、带宽频率

b:闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3分贝时，对应的频率

b

称为带宽频率。定义式：5-5闭环系统的频域性能指标一、控制系统的频带宽度第126页，课件共147页，创作于2023年2月闭环对数幅频特性曲线和带宽2、带宽：0

b

带宽是频域中的一项重要指标，带宽大，表明系统能通过较宽频率的输入；带宽小，系统是能通过较低的输入，因此，带宽大的系统，一方面重现输入信号的能力强；另一方面，抑制输入端高频噪声的能力就弱，设计中应折衷考虑。