人教版高中数学必修五全册教学课件全册公开课一等奖课件省赛课获奖课件

1.1

正弦定理和余弦定理1.1.1

正弦定理第一章解三角形第1页.C.B.A

为了测定河岸A点到对岸C点距离，在岸边选定1公里长基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A,C两点距离呢？第2页1.通过对任意三角形边长和角度关系摸索，掌握正弦定理内容及其证明办法.2.会利用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形两类基本问题.（重点、难点）第3页探究点1正弦定理CAB

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面首先来探讨直角三角形中角与边等式关系.第4页提醒：(1)锐角三角形思考：对于任意三角形，以上关系式是否仍然成立？CabABD第5页(2)钝角三角形如图，类比锐角三角形，请同窗们自己推导.ACabBD提醒:第6页其他推导办法（1）由于包括边长问题，从而能够考虑用向量来研究此问题.CabAB提醒:第7页第8页（2）外接圆法B`ABCbOCABbOA`aaccABCC′abcO·提醒:第9页正弦定理概述：

在一种三角形中，各边和它所对角正弦比相等，即注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角正弦之间一种关系式.由正弦函数在区间上单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角一种数量关系.第10页C【即时练习】第11页第12页探究点2正弦定理基本作用第13页第14页A【即时练习】第15页2.已知三角形几个元素,求其他元素过程叫做解三角形.探究点3解三角形1.一般地，把三角形三个角A，B，C和它们对边a，b，c叫做三角形元素.第16页3.已知边a,b和角Ａ，求其他边和角讨论．(1)Ａ为锐角a<bsinA无解a=bsinA一解bsinA<a<b两解一解a≥bＡＢＣabＡＣabＡＢＣabB1ＡB2Ｃab第17页(2)Ａ为钝角a>b一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡ为直角时，与Ａ为钝角相同，a>b时，一解；a≤b时，无解.第18页【即时练习】第19页第20页第21页例1在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形.解：根据三角形内角和定理，第22页A【变式练习】第23页例2在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).注意精确度第24页第25页A.一解B.两解C.无解D.不确定在△ABC中，b=，B=60°，c=1，则此三角形有（）A【变式练习】第26页D第27页第28页D第29页第30页B第31页第32页第33页1.正弦定理2.应用正弦定理能够解下列两种类型三角形：它是解三角形工具之一.（1）已知两角及任意一边.（2）已知两边及其中一边对角.第34页0°＜A＜90°A≥90°条件图形解个数a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≤ba>b无解一解两解一解无解一解AC3.解个数问题ACBBCACADB2B1CADa≥bABCD第35页

饭能够一日不吃，觉能够一日不睡，书不能够一日不读。——毛泽东第36页1.1.2

余弦定理第37页1.掌握余弦定理及余弦定理推导过程.2.理解余弦定理几个变形公式.3.能纯熟应用余弦定理解三角形及处理现实生活中实际问题.第38页余弦定理平方平方夹角两倍c2+a2-2ac·cosB第39页1.已知a2+b2-c2=ab，则C=(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°【解析】选A.由于cosC=，0°<C<180°，因此C=30°.第40页2.在△ABC中，已知b=2，c=3，A=60°，则a=(

)【解析】选D.由于a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×cos60°=7，因此a=第41页3.在△ABC中，a=3，b=4，c=，则此三角形最大角为

.【解析】由c>b>a知C最大，由于cosC=因此C=120°.答案：120°第42页4.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，则S△ABC=

.【解析】由于a2+b2=c2，因此△ABC是以C为直角直角三角形，又由于A=30°，a=1，因此c=2，b=因此S△ABC=答案：第43页一、余弦定理及其证明探究1：如图，设那么向量c平方是什么？表达为对应边能够得到什么式子？提醒：c=b-a，|c|2=(b-a)·(b-a)=b·b+a·a-2a·b=a2+b2-2abcosC，因此c2=a2+b2-2abcosC.第44页探究2：利用探究1结论思考下面问题：(1)已知三角形三边a，b，c，如何表达cosC.提醒：由探究1知c2=a2+b2-2abcosC，故cosC=(2)若C=90°，探究1结论还成立吗？假如成立写出该结论，若不成立说明理由.提醒：若C=90°，探究1结论仍成立，即c2=a2+b2.第45页探究3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间关系，请问两定理之间有何联系？提醒：余弦定理是勾股定理推广，勾股定理是余弦定理特殊情况.第46页【拓展延伸】利用平面图形几何性质和勾股定理证明余弦定理①当△ABC为锐角三角形时，如图，作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA，DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，其他两个式子同理可证；第47页②当△ABC为钝角三角形时，如图，作CD⊥AB，交BA延长线于点D，则CD=bsinA，DB=bcos(π-A)+c=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，其他两个式子同理可证；③当△ABC为直角三角形时，易证余弦定理仍然成立.第48页【探究总结】对余弦定理及其推论两点说明(1)余弦定理适用于任意三角形，反应了三角形中三条边与一种内角余弦之间严格确定量化关系.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA还可改写为sin2A=sin2B+sin2C-2sinB·sinCcosA，有时应用它求三角函数值会很方便.第49页二、余弦定理在解三角形中应用探究1：根据余弦定理及其推论形式，能够解哪两类三角形问题？提醒：余弦定理及其推论能够处理下列两类三角形问题：(1)已知三角形任意两边及它们夹角就能够求出第三边.(2)已知三角形三条边就能够求出其角.第50页探究2：根据下面提醒，写出角A范围①在△ABC中，若a2<b2+c2⇔

.②在△ABC中，若a2=b2+c2⇔

.③在△ABC中，若a2>b2+c2⇔

.第51页提醒：由余弦定理可知cosA=显然当a2<b2+c2时，cosA>0，即0°<A<90°，当a2=b2+c2时，A=90°，当a2>b2+c2时，90°<A<180°.答案：①0°<A<90°②A=90°③90°<A<180°第52页【探究总结】对余弦定理解三角形两点说明(1)余弦定理每个等式中包括四个不一样量，它们分别是三角形三边和一种角，可“知三求一”.(2)当已知两边和其中一边对角时，一般采取正弦定理，但根据需要也可用余弦定理，解三角形时，要注意灵活应用.第53页类型一利用余弦定理解三角形1.(2023·成都高二检测)在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则∠A=(

)A.60°或120°

B.60°

C.120°

D.150°2.(2023·福建高考)在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于

.第54页【解题指南】1.先利用等式变形，再利用余弦定理求出角A余弦值，再求角A.2.直接应用余弦定理求解.第55页【自主解答】1.选C.由于(a+c)(a-c)=b(b+c)，因此a2-c2=b2+bc，即b2+c2-a2=-bc，因此cosA=故A=120°.2.由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA，得3=AB2+4-2×2AB·cos60°，即AB2-2AB+1=0，解得AB=1.答案：1第56页【规律总结】利用余弦定理解三角形两种类型及解法技巧(1)已知三角形两边及夹角解三角形，能够先由余弦定理求出第三条边，再由正弦定理求出一角，最后由A+B+C=180°，求出第三个角.(2)已知三角形三边，可由余弦定理求三角形两个内角，再由A+B+C=180°求出第三个角.上述两种情况，利用余弦定理时，由于是已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等判定定理可知，三角形是确定，因而解唯一.第57页【拓展延伸】解斜三角形常见类型及解法已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A+B+C=180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所正确角；再由A+B+C=180°求出另一角.在有解时只有一解.第58页已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A+B+C=180°，求出角C.在有解时只有一解.两边和其中一边对角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.第59页【变式训练】在△ABC中，a=2，b=-1，C=30°，求c及A，B值.【解析】由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=22+(-1)2-2×2×(-1)cos30°=2，因此c=因此cosA=由于0°<A<180°，因此A=135°，因此B=180°-A-C=15°.第60页类型二判断三角形形状1.在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC形状是(

)A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形2.在△ABC中，已知acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC形状.第61页【解题指南】1.将cosC=代入已知条件，转化为边关系，化简变形即可判断△ABC形状.2.将余弦定理变形式代入，转化成边关系，化简变形后判断三角形形状.第62页【自主解答】1.选B.由于a=2bcosC=2b·

因此a2=a2+b2-c2，即b2=c2，因此b=c，因此△ABC为等腰三角形.2.由余弦定理，得

因此a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)=c2(a2+b2-c2)，a2(b2-a2)+a2c2+b2(a2-b2)+b2c2=c2a2+b2c2-c4，即(a2-b2)2=c4，因此a2-b2=c2或a2-b2=-c2，即b2+c2=a2或a2+c2=b2.因此△ABC是直角三角形.第63页【延伸探究】本例2中条件“acosA+bcosB=ccosC”若换为“asinA+bsinB=csinC”，其结论又如何呢？【解析】由正弦定理得

因此

因此

即a2+b2=c2，因此△ABC为直角三角形.第64页【规律总结】利用正、余弦定理判断三角形形状技巧判断三角形形状特性，必须从研究三角形边与边关系，或角与角关系入手，充足利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形边或角代数运算或三角运算，找出边与边或角与角关系，从而作出正确判断.第65页【变式训练】在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断△ABC形状.【解析】将已知等式变形得b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosB·cosC，由余弦定理得即b2+c2=因此△ABC为直角三角形.第66页类型三正弦定理、余弦定理综合应用1.(2023·安徽高考)设△ABC内角A，B，C所对边长分别为a，b，c.若b+c=2a，且3sinA=5sinB，则角C=

.2.(2023·盐城高二检测)如图，在△ABC中，B=45°，D是BC边上一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB长为

.第67页【解题指南】1.先由正弦定理找出a与b关系，然后再结合已知条件b+c=2a，利用余弦定理即可求出角C.2.先根据余弦定理求出∠ADC值，即可得到∠ADB值，最后根据正弦定理可得答案.第68页【自主解答】1.由题设条件可得由余弦定理得因此C=答案：第69页2.在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC=因此∠ADC=120°，∠ADB=60°.在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得因此AB=答案：第70页【规律总结】利用正、余弦定理处理三角形中综合问题常用思想办法(1)正弦定理和余弦定理从不一样侧面反应了三角形中边角关系，揭示了三角形中元素间内在联系，解题时一定要注意正、余弦定理结合，可互相渗入，互相促进，它们是处理三角形问题主要根据.(2)处理正弦定理与余弦定理综合应用问题，应注意根据详细情况引入未知数，利用方程思想来处理问题.第71页【变式训练】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C对边，已知b2=ac，且a2-c2=ac-bc.(1)求角A值.(2)求值.第72页【解析】(1)由于b2=ac，a2-c2=ac-bc，因此b2+c2-a2=bc，在△ABC中，由余弦定理，得：cosA=因此A=60°.(2)在△ABC中，由正弦定理，得：sinB=由于b2=ac，A=60°，因此第73页【拓展类型】利用正、余弦定理证明三角恒等式1.在△ABC中，求证：2.在△ABC中，求证：a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).【解题指南】1.从要证明等式左端出发，将切化弦，然后利用正、余弦定理即可证明该等式成立.2.从要证明等式右端出发，利用余弦定理即可证明.第74页【证明】1.左边==右边，等式得证.2.右边==b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2=a2+b2+c2=左边.第75页【规律总结】利用正、余弦定理证明三角恒等式关键证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式差异.形式上一般有左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.第76页第77页第78页第79页第80页ACB51o55m75o测量距离第81页解三角形公式、定理正弦定理：余弦定理：三角形边与角关系：2.大角对大边，小角对小边。第82页余弦定理作用（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们夹角，求第三边和其他两角；

（3）判断三角形形状。三角形面积公式。第83页斜三角形解法已知条件定理选用一般解法用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180˚,求出另一角，再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180˚得出第三角。用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180˚得出第三角。一边和两角(ASA或AAS)两边和夹角(SAS)三边(SSS)两边和其中一边对角(SSA)第84页实际应用问题中有关名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）由一点出发两条视线所夹角叫视角。（一般这两条视线过被观测物两端点）水平线视线视线仰角俯角第85页2.方向角、方位角。（1）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成不大于90°水平角叫方向角。（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成角叫方位角。东西北南60°30°45°20°ABCD点A在北偏东60°,方位角60°.点B在北偏西30°,方位角330°.点C在南偏西45°,方位角225°.点D在南偏东20°,方位角160°.第86页3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离垂直距离坡面距离坡度（坡度比）i:垂直距离/水平距离坡角α:tanα=垂直距离/水平距离α第87页例1.设A、B两点在河两岸，要测量两点之间距离。测量者在A同测，在所在河岸边选定一点C，测出AC距离是55

m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°，求A、B两点间距离（精确到0.1m）.分析：已知两角一边，能够用正弦定理解三角形第88页解：根据正弦定理，得答：A,B两点间距离为65.7米。第89页ABCD第90页ABCDαβγδa分析：用例1办法，能够计算出河这一岸一点C到对岸两点距离，再测出∠BCA大小，借助于余弦定理能够计算出A、B两点间距离。第91页解：测量者能够在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间距离第92页变式训练：若在河岸选用相距40米C、D两点，测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=求A、B两点间距离.注：阅读教材P12，理解基线概念第93页练习1.一艘船以32.2nmile/h速度向正北航行。在A处看灯塔S在船北偏东20o方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船北偏东65o方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外海区为航行安全区域，这艘船能够继续始终沿正北方向航行吗？第94页变式练习：两灯塔A、B与海洋观测站C距离都等于akm,灯塔A在观测站C北偏东30o，灯塔B在观测站C南偏东60o，则A、B之间距离为多少？第95页练习2．自动卸货汽车车厢采取液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC长度．已知车厢最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间距离为1.95m，AB与水平线之间夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC长（精确到0.01m）．

（1）什么是最大仰角？

最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中包括一种如何三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB第96页最大角度最大角度最大角度最大角度

已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。

CAB第97页第98页总结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型解实际问题解还原说明第99页练习：

P19

习题1.2A组1，4，5作业：

P19习题1.2A组2，3作业与练习第100页第2学时解三角形实际应用举例——高度、角度问题第101页【知识提炼】1.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内水平线和目标视线夹角，目标视线在水平线_____时叫仰角，目标视线在水平线_____时叫俯角，如图所示.上方下方第102页2.方位角和方向角(1)方位角：从_____方向_______转到目标方向线所成角.如图(1)目标A方位角为135°.正北顺时针第103页(2)方向角：从_____方向线到目标方向线所成不大于90°水平角.如图(2)，北偏东30°，南偏东45°.指定第104页3.视角从眼睛中心向物体两端所引两条直线_____，如图所示，视角50°指是观测该物体两端视线张开角度.夹角第105页【即时小测】1.思考下列问题:(1)仰角和俯角都是与铅垂线所成角吗？提醒：不是.仰角和俯角都是与水平线所成角.第106页(2)方位角范围是(0，π)吗？提醒：不是.方位角概念表白，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成角”，显然方位角范围应当是(0，2π).第107页2.从A处望B处仰角为α，从B处望A处俯角为β，则α，β关系为(

)A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°第108页【解析】选B.根据题意和仰角、俯角概念画出草图，如图，由于两直线平行内错角相等，因此α=β.第109页3.从高出海平面h米小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间距离为(

)A.2h米B.h米C.h米

D.2h米第110页【解析】选A.如图所示，BC=h，AC=h，因此AB==2h(米).第111页4.如图所示，D，C，B在地平面同始终线上，DC=10m，从D，C两地测得A点仰角分别为30°和45°，则A点离地面高AB等于(

)A.10mB.5mC.5(-1)mD.5(+1)m第112页【解析】选D.在△ACD中，由正弦定理得AD==10(+1).在Rt△ABD中，AB=ADsin30°=5(+1)(m).第113页5.身高为1.70米李明站在离旗杆20米地方，目测该旗杆高度，若李明此时仰望角为30°，则该旗杆高度约为________米.(精确到0.1米)【解析】h=+1.70≈13.2(米).答案：13.2第114页【知识探究】知识点高度和角度测量问题观测图形，回答下列问题：第115页问题1：如图1，求高度时，底可达到时，如何求解？问题2：如图2，图3，求高度时，底不可达到时，如何求解？第116页【总结提升】测量高度问题时常见三种数学模型及其特性(1)三种模型.底部可达到底部不可达到解直角三角形解直角三角形解一般三角形第117页(2)特性.①底部可达到，此类问题可直接构造直角三角形.②底部不可达到，但仍在同一与地面垂直平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段垂足在同一条直线上，观测者始终向“目标物”前进.③底部不可达到，且包括与地面垂直平面.此类问题中观测者两次观测点所在直线不通过“目标物”.第118页【题型探究】类型一高度问题【典例】1.(2023·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平马路上向正西行驶，到A处时测得马路北侧一山顶D在西偏北30°方向上，行驶600m后达到B处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山高度CD=__________m.第119页第120页2.如图，为了测量河对岸塔高AB，有不同方案，其中之一是选用与塔底B在同一水平面内两个观测点C和D，测得CD=200米，在C点和D点测得塔顶A仰角分别是45°和30°，且∠CBD=30°，求塔高AB.第121页【解题探究】1.典例1中，图中西偏北30°及西偏北75°分别是哪个角？仰角为30°指是哪个角？提醒：图中西偏北30°即∠CAB=30°，西偏北75°即∠ABC补角.仰角为30°即∠DBC=30°.第122页2.典例2中，在△BCD中，已知CD，∠CBD，如何建立有关塔高方程？提醒：设AB=h，将BC与BD分别用h表达，在△BCD中，利用余弦定理建立有关塔高h方程求解.第123页【解析】1.在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°-30°=45°，根据正弦定理知，即BC=×sin∠BAC=(m)，因此CD=BC×tan∠DBC=(m).答案：第124页2.在Rt△ABC中，∠ACB=45°，设AB=h，则BC=h；在Rt△ABD中，∠ADB=30°，则BD=h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD，即2023=h2+(h)2-2·h·h·，因此h2=2023，解得h=200(h=-200舍去).即塔高AB为200米.第125页【办法技巧】测量高度一般步骤(1)根据已知条件画出示意图.(2)分析与问题有关三角形.(3)利用正、余弦定理，有序地解有关三角形，逐渐求解.(4)把解出答案还原到实际问题中.第126页【变式训练】(2023·潍坊高二检测)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山山顶C为测量观测点.从A点测得M点仰角∠MAN=60°，C点仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=__________m.第127页【解析】如图，第128页在Rt△ABC中，BC=100，∠CAB=45°，因此AC=100.在△AMC中，∠CAM=75°，∠ACM=60°，因此∠AMC=45°.由正弦定理知因此AM=100.第129页在Rt△AMN中，∠NAM=60°，因此MN=AM·sin60°=100×=150(m).答案：150第130页【赔偿训练】某人从塔AB正东C处沿着南偏西60°方向前进40米后达到D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔最大仰角为30°，求塔高.【解题指南】解答时能够先根据题意画出图形，着重思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途观测点何处距塔底B距离最小.第131页【解析】根据题意画出示意图，且BE⊥CD.在△BDC中，CD=40，∠BCD=30°，∠DBC=135°.由正弦定理，得因此BD=第132页在Rt△BED中，∠BDE=180°-135°-30°=15°，因此BE=DBsin15°第133页在Rt△ABE中，∠AEB=30°，因此AB=BEtan30°=(米).故塔高为米.第134页类型二角度问题【典例】1.已知两座灯塔A和B与海洋观测站C距离相等，灯塔A在观测站C北偏东40°，灯塔B在观测站C南偏东60°，则灯塔A在灯塔B(

)A.北偏东10°

B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°第135页2.如图，甲船在A处，乙船在A处南偏东45°方向，距A有9海里B处，并以20海里每小时速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度方向，并以28海里每小时速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sinθ值.(成果保存根号，无需求近似值)第136页【解题探究】1.典例1中，分析题中角关系关键是什么？提醒：确定角关系关键是画出图形，并结合方向角有关概念求解.2.典例2中，如何求∠ABC？提醒：∠ABC=180°-15°-45°=120°.第137页【解析】1.选B.如图，由题意，知AC=BC，∠ACB=80°，因此∠CBA=50°，α+∠CBA=60°.因此α=10°，即灯塔A在灯塔B北偏西10°.第138页2.设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，∠ABC=180°-15°-45°=120°，由余弦定理得：(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×()，128t2-60t-27=0，解得t=或t=-(舍去)，第139页因此AC=21(海里)，BC=15(海里)，根据正弦定理，得sin∠BAC=cos∠BAC=又∠ABC=120°，∠BAC为锐角，因此θ=45°-∠BAC，第140页sinθ=sin(45°-∠BAC)=sin45°cos∠BAC-cos45°sin∠BAC=第141页【延伸探究】典例2中若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船速度.第142页【解析】设乙船速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC=28t，BC=xt，∠CAB=30°，∠ABC=135°.由正弦定理得第143页即因此(海里每小时).答：乙船速度为14海里每小时.第144页【办法技巧】测量角度问题基本思绪(1)测量角度问题关键是在弄清题意基础上，画出表达实际问题图形，在图形中标出有关角和距离.(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得成果转化为实际问题解.第145页【拓展延伸】处理追及问题步骤(1)把实际问题转化为数学问题.(2)画出表达实际问题图形，并在图中标出有关角和距离，借助正弦定理或余弦定理处理问题.(3)把数学问题还原到实际问题中去.第146页【变式训练】如图所示，位于A处信息中心得悉：在其正东方向相距40海里B处有一艘渔船遇险，在原地等候营救.信息中心立即把消息通知在其南偏西30°、相距20海里C处乙船，现乙船朝北偏东θ方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ值为_______.第147页【解析】在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800，因此BC=由正弦定理得，因此sin∠ACB=第148页由∠BAC=120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB=由θ=∠ACB+30°，cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=故cosθ值为.答案：第149页【赔偿训练】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处得悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里C处，并测得渔船正沿方位角为105°方向，以10海里/时速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时速度前往营救，并在小岛B处与渔船相靠，求舰艇航向和接近渔船所需时间.第150页【解析】如图所示，设所需时间为t小时，则AB=10t，BC=10t，在△ABC中，由余弦定理得，AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°，即(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°.整顿得：2t2-t-1=0，解得t=1或t=-(舍去)，第151页因此舰艇需1小时接近渔船，此时AB=10，BC=10.第152页在△ABC中，由正弦定理得：因此sin∠CAB=因此∠CAB=30°.因此舰艇航行方位角为75°.第153页易错案例正、余弦定理综合应用【典例】某观测站C在城A南偏西20°方向，由城A出发一条马路，走向是南偏东40°，在C处测得马路上B处有一人，距C为31千米，正沿马路向A城走去，走了20千米后达到D处，此时CD间距离为21千米，则这人能达到A城还要走_______千米第154页【失误案例】第155页【错解分析】分析解题过程，你懂得错在哪里吗？提醒：本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解.第156页【自我矫正】如图，令∠ACD=α，∠CDB=β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ=因此sinβ=又sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ第157页在△ACD中，由正弦定理得因此AD==15(千米).答案：15第158页【防备措施】处理应用举例问题两个关注点(1)审题作图：认真阅读题目，根据题目中给出角(注意明确有关角概念)及给出对应长度，正确画出对应图形，在图形中标出对应角度或长度.(2)根据图形中数据，合理选择公式及定理.注意在利用余弦定理时，有时会出现两个解，解题时要注意根据实际情况进行取舍，避免出现增解.第159页第160页第161页第162页【思考】第163页【点拨】第164页第165页

三角形面积计算问题【名师指津】利用三角形面积公式时注意点：(1)利用三角形面积公式解题时，经常要结合三角函数有关公式；(2)解与三角形面积有关问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发觉各元素之间关系，灵活利用公式；(3)对于求多边形面积问题可通过度割转化为几个三角形面积和.第166页【尤其提醒】尤其要注意三个内角取值范围，以避免由三角函数求角时出现增根错误.第167页【例1】在△ABC中，角A、B、C对边分别为a,b,c，已知（1）求sinC值；（2）求△ABC面积S.【审题指导】(1)由三角形内角和定理可知再利用两角差正弦公式解得；(2)△ABC面积可由面积公式求得.第168页【规范解答】(1)∵∴A＜B,∴由A+B+C=π，(2)据正弦定理得第169页【变式训练】在△ABC中，BC=5，AC=4，cos∠CAD=且AD=BD，求△ABC面积.【解题提醒】由∠CAD余弦，我们想到在△CAD中利用余弦定理，求出CD长，然后再利用正弦定理求出角C正弦值，根据三角形面积公式求出即可.第170页【解析】设CD=x，则AD=BD=5-x,在△CAD中，由余弦定理可知，解得x=1.∴CD=1，AD=BD=4.在△CAD中，由正弦定理可知第171页即△ABC面积为第172页【误区警示】在计算CD和sinC值时，很容易出现计算错误.第173页

证明三角恒等式【名师指津】证明三角恒等式需要注意问题：处理本类问题，既要用到三角形中特有恒等变形公式，又要用到任意角三角函数恒等变形公式，二者要结合，灵活利用.三角形边和角互相转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此此类题型都可用不一样途径求解.【尤其提醒】证明三角恒等式一定要正确利用变形公式，不能随便臆造.第174页【例2】在△ABC中，求证：【审题指导】从左边证右边，化角为边.【规范解答】左边===右边，其中R为△ABC外接圆半径.第175页【互动探究】上述证明办法是化角为边，若证明办法改为化边为角该怎么证明？【证明】左边=第176页

三角形中综合问题【名师指津】处理三角形中综合问题需要注意：解三角形与三角函数结合题目是近来几年高考一种趋势，处理此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此掌握正、余弦定理、三角函数公式和性质是解题关键.【尤其提醒】利用正弦定理求角时，要注意角取值范围；要正确利用三角函数公式和性质.第177页【例3】在△ABC中，AC=3，sinC=2sinA，（1）求AB长；（2）求sin(2A-)值.【审题指导】在△ABC中，利用正弦定理可直接求得AB长；再利用余弦定理求得cosA，进而求得sinA，sin2A，cos2A，最后利用两角差正弦公式求得第178页【规范解答】（1）在△ABC中，根据正弦定理，得（2）在△ABC中，根据余弦定理，得于是从而cos2A=cos2A-sin2A=第179页【变式训练】（2023·天津高考）在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a,b,c，已知B=C，（1）求cosA值；（2）求值.【解题提醒】利用余弦定理求得cosA，进而求得sinA，sin2A，cos2A，最后利用两角和余弦公式求得第180页【解析】（1）由B=C，可得因此，由余弦定理，可得，（2）∵cosA=A∈(0,π)，∴cos2A=2cos2A-1=第181页第182页【例】在△ABC中，AB=5，AC=4，D为BC中点，且AD=4，求BC边长.【审题指导】此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC长为x后，建立有关x方程.第183页【规范解答】设BC=x，则由D为BC中点，可得在△ADB中，在△ADC中，第184页又∠ADB+∠ADC=180°，因此cos∠ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos∠ADC，解得即BC边长为第185页【变式备选】在△ABC中，若c=4，b=7,BC边上中线AD长为求边长a.【解析】∵AD是BC边上中线，∴可设CD=DB=x，则CB=a=2x，∵c=4，b=7，AD=∴在△ACD中，第186页在△ABC中，解得x=∴a=2x=9.

第187页【典例】（12分）在△ABC中，若B=30°，AC=2,求△ABC面积.【审题指导】先由正弦定理求得C度数，从而得到A度数，利用三角形面积公式求得三角形面积.第188页【规范解答】∵AC=2，B=30°，∴根据正弦定理，有……2分又∵AB＞AC，∴C＞B，则C有两解，……3分（1）当C为锐角时，C=60°，A=90°

…………7分（2）当C为钝角时，C=120°，A=30°

……………11分综上可知，△ABC面积为…12分第189页【误区警示】对解答本题时易犯错误详细分析如下：第190页【即时训练】设在△ABC中，b=1，A=60°，求角B，边c及△ABC面积S△ABC.【解析】在△ABC中，b=1，A=60°，由正弦定理，得∵0°＜B＜180°，且b<a，∴B=30°,∴C=90°.由正弦定理，得△ABC面积第191页1.在△ABC中，A=45°，则△ABC外接圆半径R等于（）(A)1(B)2(C)4(D)无法确定【解析】选A.∵∴R=1.第192页2.在△ABC中，若C=60°，则BC边上高等于()(A)(B)(C)(D)6【解析】选D.BC边上高等于bsinC=6.第193页3.△ABC周长为20，面积为A=60°，则BC边长等于（）(A)5(B)6(C)7(D)8【解析】选C.由题知a+b+c=20，∴bc=40，a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,解得a=7.第194页4.在△ABC中，a=4，b=2，C=45°，则S△ABC=_______.【解析】S△ABC==答案：第195页5.若△ABC面积为c=2，A=60°，求a，b值.【解析】∵∴b=1，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=12+22-2×1×2×=3，第196页第197页第198页第二章数列2.1

数列概念与简单表达法第1学时数列概念与简单表达法第199页1.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”含义是什么？…第200页2.三角形数13610第201页3.正方形数14916第202页1.通过实例，理解数列概念和简单表达法.（重点）2.理解数列是一种特殊函数，体会数列是反应自然规律数学模型.第203页（2）三角形数：1，3，6，10，…探究点1数列概念这些数有什么共同特点？（5）无穷多种1排列成一列数：1，1，1，1，…（3）正方形数：1，4，9，16，…（4）1，2，3，4，…倒数排列成一列数提醒：1.都是一列数；2.都有一定次序第204页按照一定次序排列一列数称为数列.1.数列概念:思考：(1)“1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一种数列吗？与“1,3,2,4,5”呢？

没有按照一定次序排列，不符合数列有序性不是同一种数列提醒:第205页(2)数列中数能够反复吗？(3)数列与集合有什么区分？能够数列讲究：有序性、可反复性、确定性.集合讲究：无序性、互异性、确定性；提醒:第206页数列中每一种数叫做这个数列项.2.数列项:数列中每一项都和它序号有关，排在第一位数称为这个数列第1项(一般也叫做首项)，排在第二位数称为这个数列第2项……排在第n位数称为这个数列第n项.第207页3.数列一般记法:数列a1,a2,a3,a4,…,an,…可简记为{an}.思考：数列{an}是集合吗？{an}与an有何区分？

集合中元素具有没有序性、互异性，而数列不具有这些特性，数列{an}不是集合,它是数列一种整体符号.{an}表达数列a1,

a2,a3,a4,…,

an,…，而an表达数列第n项.提醒:第208页4.数列分类:(1)按项数分：有穷数列与无穷数列；(2)按项之间大小关系分：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.有穷数列递增数列无穷数列递减数列有穷数列递增数列无穷数列无穷数列摆动数列常数列第209页例观测下面数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）全体自然数组成数列0,1,2,3,….（2）2008～2023年某市一般高中生人数（单位：万人）组成数列82,93,105,119,129,130,132.（3）无穷多种3组成数列3,3,3,3,….第210页（4）目前通用人民币面额按从大到小次序组成数列（单位：元）100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.（5）-11次幂，2次幂，3次幂，4次幂……组成数列-1，1，-1，1，….第211页解：递增数列有：（1）、（2）、（6)中不足近似值组成数列;递减数列有：（4）、（6)中过剩近似值组成数列;常数列有：（3）;摆动数列有：（5）.思考:上面数列中哪些是无穷数列,哪些是有穷数列?有穷数列有：（2）、（4）；无穷数列有：（1）、（3）、（5）、（6）.提醒:第212页（1）2，4，

，16,32，

，128（2）

，4,9,16,25，

，49观测下面数列特点，用合适数填空：864136【即时练习】第213页（1）你能说出256是否是下面数列中项吗？是话,是这个数列第几项?（2）同窗们观测数列中项与序号之间关系,你能从中得到什么启示?你能否写出它第n项?项:序号:探究点2数列中项与序号之间关系是第9项256是数列中一项，1234…，9第214页（3)你能把上述数列按照（n,an)形式画在下面坐标系中吗?O1234567

248163264nan图象是某些离散点第215页5.数列实质:从函数观点看，数列项是序号n函数.即数列能够当作以正整数集（或它有限子集{1,2，…，n}）为定义域函数当自变量按照从小到大次序依次取值时所对应一列函数值.反过来，对于函数y=f（x）,假如f（i）（i=1,2,3，…）故意义，那么我们能够得到一种数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…第216页R或R子集N*或它有限子集{1,2,3，…，n}an＝f(n)y＝f(x)点集合某些离散点集合数列与函数对比表【总结提升】第217页

下列四个数中是数列{n（n+1）}中一项是（）A.380B.39C.32D.23A【即时练习】第218页1.观测下面数列特点，用合适数填空：第219页2.下面数列是有穷数列是（）A.1,0,1,0，…B.1，1，1，1，1C.2,22,222，…D.0,0,0,0，…B第220页A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项C第221页4.下列说法正确是()A.数列1,3,5,7可表达为{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同数列C.数列第k项为D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}C第222页【解析】根据数列定义与集合定义不一样可知A,B不正确;D项{2n}中n∈N*,故不正确;C中an=∴ak=第223页本节课学习主要内容有：1.数列有关概念；2.数列通项公式；3.数列实质；4.本节课能力要求是：(1)会由通项公式求数列任一项；(2)会用观测法由数列前几项求数列通项公式.第224页5.数列分类数列分类从单调性角度从项数角度递增数列递减数列常数列摆动数列有穷数列无穷数列

从第2项起项与项大小关系不确定项数有限项数无限第225页

追赶时间人，生活就会溺爱他；放弃时间人，生活就会冷落他。第226页第2学时数列性质和递推关系第227页自主学习新知突破第228页1．理解递推公式是给出数列一种办法．2．理解递推公式含义，能够根据递推公式写出数列前几项．3．掌握由某些简单递推公式求数列通项公式办法．第229页某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图)．第230页[问题1]

写出前五排座位数．[提醒]

20,22,24,26,28.[问题2]

第n排与第n＋1排座位数有何关系？[提醒]

第n＋1排比第n排多2个座位．[问题3]

第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表达吗？[提醒]

能．an＋1＝an＋2.第231页假如已知数列{an}第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始任一项an与它前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间关系能够用一种公式来表达，那么这个公式就叫做这个数列递推公式．数列递推公式第232页数列通项公式和递推公式各有什么作用？(1)数列通项公式是给出数列主要形式，假如已知数列{an}通项公式an＝f(n)，可求出数列中各项与指定项，还能够根据函数性质，深入探讨数列增减性，数列中项最大值或最小值．(2)数列递推公式是给出数列另一主要形式．一般地，只要给出数列首项或前几项以及数列相邻两项或几项之间运算关系，就能够依次求出数列各项．第233页拓展：通项公式与递推公式关系示意图第234页1．数列1,3,6,10,15，…递推公式是(

)A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2解析：a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，a5＝a4＋5，….∴an＝an－1＋n(n≥2)．答案：B第235页2．已知数列{an}中，an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(

)A．递增数列 B．递减数列C．摆动数列 D．常数列解析：an＋1＝an＋3>an(n∈N*)，∴数列为递增数列．答案：A第236页3．数列{an}通项公式为an＝n2－6n，则它最小项值是________．解析：∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an有最小值－9.答案：－9第237页第238页合作探究课堂互动第239页由递推公式写数列项并求通项公式

已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列前4项，猜想an，并加以证明．第240页第241页第242页

(1)根据递推公式写出数列前几项，此类问题要弄清公式中各部分关系，依次代入计算．(2)由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)数列递推公式求通项公式时，一般用累乘法或迭代法，形成函数运动变化观点，不停地变换递推公式中“下标”，直到能够利用首项或前几项是解题关键．

第243页第244页第245页第246页数列单调性问题[思绪点拨]

用序号替代通项公式中n，就可求出对应项，比较an＋1与an大小来判断数列单调性．第247页第248页

单调性是数列一种主要性质．判断数列单调性，一般是利用作差或作商办法判断an＋1与an(n∈N*)大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数列．用作差法判断数列增减性步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．

第249页第250页第251页第252页第253页

数列最大项、最小项问题第254页第255页第256页

(1)由于数列是特殊函数，因此能够用研究函数思想办法来研究数列有关性质，如单调性、最大值、最小值等；此时要注意数列定义域为正整数集(或其子集)这一条件．第257页3．已知数列{an}通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．第258页第259页第260页◎设数列{an}通项公式为an＝n2＋λn，且{an}满足a1<a2<a3<…<an<an＋1<…，则实数λ取值范围是________．第261页【错因】

错解仅考虑了数列{an}为单调递增数列时一种情形，事实上，n值是离散，当对称轴在(1,2)之间，且满足a1<a2时，也成立．第262页第263页办法二：直接根据定义来处理．∵数列{an}是单调递增数列，∴an＋1－an>0，又an＝n2＋λn，∴(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn>0，∴2n＋1＋λ>0，λ>－(2n＋1)，又n∈N*，∴λ>－3，即实数λ取值范围是(－3，＋∞)．答案：(－3，＋∞)第264页高效测评知能提升第265页谢谢观看！第266页2.2

等差数列第1学时等差数列第267页姚明刚进NBA一周训练罚球个数：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000.情境1：第268页情境2：某名牌运动鞋（女）尺码（鞋底长，单位是cm）得到数列：第269页6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000.数列1数列2第270页问题1：请你说出这两个数列背面一项是多少？你根据是什么？问题2：这两个数列共同特征是什么？观测，分析，交流，讨论学生活动：提醒：9500，等差。提醒：都是等差数列。第271页1.理解等差数列概念.(重点）2.掌握等差数列通项公式.（重点）3.理解等差数列通项公式推导过程及思想办法.（难点）第272页学生活动1等差数列定义【课堂探究1】第273页探究性问题1：以上数列是否是等差数列？若是，公差是多少？

问题1

6，4，2，0，-2，-4，…问题24，7，10，13，16，19,…问题30，1，0，1，0，1,…问题4常数列第274页公差能够是正数,负数，也能够是0.每一项与它前一项差必须是同一种常数(由于同一种常数体现了等差数列基本特性）.公差d是每一项（从第2项起）与它前一项差，不要把被减数与减数弄颠倒.“从第2项起”探究性问题1第275页

一般地，假如一种数列从第2项起，每一项与它前一项差等于同一种常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差一般用字母d表达.第276页等差数列的公差d

1.数学体现式:an-an-1=d(n≥2).3.取值范围：d∈R.2.d为同一种常数，如2，3，5，9，11就不是等差数列.第277页下列数列是不是等差数列？假如是，求出公差d。（1）1，4，7,10；（2）1,1.5,2,2.5,3,3.5；解析：（1）是等差数列，公差d=3；（2）是等差数列，公差d=0.5.【即时练习】第278页

探究性问题2：在如下两个数之间，插入一种什么数后这三个数就会成为一种等