2020-2021学年八年级数学下学期期末考试卷5（解析版）

2020-2021学年八年级数学下学期期末测试卷05

一、单选题

1.下列二次方程中能化成两个一次方程的个数是()

(1)x2-xy-6y2=0；(2)x2-xy-6y2=1；(3)x2-4xy+4y2=1：(4)x2-2xy-4=-y2；(5)

xy-2y-x+2=0

A.2B.3C.4D.5

【答案】c

【解析】

根据因式分解法逐一判断即可.

解：(1)x2-xy-6y2=(x-3y)(x+2j)=0,mx-3y=0或x+2y=0；

(2)x2-xy-6y2=i,不能化成两个一次方程

(3)(x-2y)2=1,==-1；

(4)方程可化为/一2孙+V=4,即(x—y)2=4,-y=2或x-y=-2；

(5)xy-2y-x+2=y(x-2)-(x-2)=(x-2)(y-\)=0,0x-2=OWcy-l=O,

回能化成两个一次方程的有(1)、(3)、(4)、(5)

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握因式分解法.

2.若一元二次方程x2-8x+3=0的两个实数根分别是a、b,则关于x的一次函数y=abx-a-b的图象一定不

经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

根据根与系数的关系可得出a+b=8、ab=3,再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=obx-a-b的

图象经过的象限，此题得解.

解：回方程x2-8x+3=0的两个实数根分别是a、b,

I3a+b=8、ab=3,

则一次函数的解析式为y=3x-8,

团该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，

故选：B.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关

系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键.

3.下面4个说法中，正确的个数为().

(1)”从袋中取出一只红球的概率是99%”,这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大

⑵袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所

以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%"

⑶小李说，这次考试我得90分以上的概率是200%

(4)"从盒中取出一只红球的概率是0",这句话是说取出一只红球的可能性很小

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】

(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”,这是一个随机事件，只是说明从袋中取出一只红球的概率很大，但

不是100%,所以不能肯定会取出一只红球，故说法错误；(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除

颜色外没有其他差别，那么"从袋中取出一只红球"是随机事件，可以根据概率公式求出其概率，如果红球的个数

等于黄球与白球的个数之和，那么从袋中取出一只红球的概率是』，故说法错误；(3)由于任何一个事件的概率

3

都只能是在。〜1之间，故小李的说法错误；(4)”从盒中取出一只红球的概率是0”,这句话说明盒中没有红球，

那么取出一只红球的可能性没有，而不是可能性很小，故说法错误.综上，正确的个数为0,故选D.

点睛：本题主要考查了概率的意义，关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量.概率小的有可能发生，概率

大的有可能不发生.一定发生的事件是必然事件，概率为1.

4.在矩形ABCD中，|AB|=g,|BC|=1,则向量(AB+BC+AC)的长度为()

A.4B.26+2C.26+2或2百一2D.3+3后

【答案】A

【解析】

首先求得AC的模，然后由：向量(AB+BC+AC)的长度=2|AC|,即可求得向量(AB+BC+AC)的长度.

解：回在矩形ABCD中，|AB|=J5,|BC|=1,

?2

aiACI=JAB|+|BC|=2,

回向量(AB+BC+AC)的长度=21AC|=4.

故选A.

5.如图，一次函数y=2x+3与y轴相交于点A，与X轴相交于点3,在直线上取一点P(点P不与A,

9

8重合)，过点P作轴，垂足为点Q,连结尸0,若，PQO的面积恰好为J,则满足条件的P点有

16

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

设p(t,2t+3),则Q(t,0),分三种情况分析解答：当p在第一象限时，当p在第二象限时，当p在第三象限时.

【详解】

3

解：一次函数y=2x+3,令x=0,则片3；令y=0,则0=2x+3,解得x二---

2

3

EW(0,3),8(-----,0),

2

设p(t,2t+3),则Q(t,0),

当p在第一象限时,

5pQ°=qOQPQ=9⑵+3),

a—=-r(2r+3),解得t=：3±3Y5(负值舍去),

1624

必+3=/,

2

即(-3+3夜,小玛；

42

当P在第二象限时，

Sp20=goQPQ=g(T)⑵+3)

913

0—=—(-r)-(2z+3),解得t=」，

1624

3

团2t+3二一，

2

33

0P(—,一)；

42

当P在第三象限时，

SPQO=；OQPQ=；(T)[-(2r+3)],

喉=；•(—/)・[—⑵+3)],解得1=二3三也(正值舍去),

吃田且，

2

即(-3-3近,，)；

42

综上所述，P点的坐标共3个，

故选C.

【点睛】

木题考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用.

6.如图，在（3ABCD中，AB=6,AD=8,将I3ACD沿对角线AC折叠得到（3ACE,AE与BC交于点F,则下列说法正

确的是（）

A.当朋=90°时，则EF=2

B.当F恰好为BC的中点时，则回ABCD的面积为12近

C.在折叠的过程中，（3ABF的周长有可能是回CEF的2倍

D.当AEE1BC时，连结BE,四边形ABEC是菱形

【答案】B

【解析】

A、设AF=CF=x,构建方程求出x即可判断.

B、证明日BAC=90。，利用勾股定理求出AC,求出平行四边形ABCD的面积即可判断.

C、在折叠过程中，回ABF与I3EFC的周长相等，选项C不符合题意.

D、当AE回BC时，四边形ABEC是等腰梯形，不符合题意.

【详解】

解：A、如图1中,

胴B=90。，四边形ABCD是平行四边形,

团四边形ABCD是矩形，

回ADmBC,

mDAC=[?lACB,

回团DAC=(3CAE,

团团ACF=R1CAF,

回AF=CF,设AF=CF=x,

在Rt团ABF中,则有x2=62+(8-x)2,

25

解得x=—，

4

图2

当BF=CF时,

回AF=CF=BF,

a3BAC=90°,

团AC=ylBC2-AB2==2"，

@SW«BABCD=AB»AC=6X2近=12",故选项B符合题意.

c、在折叠过程中，（3ABF与回EFC的周长相等，选项C不符合题意.

D、如图3中，

£

图3

当AEE1BC时，四边形ABEC是等腰梯形，选项D不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查翻折变换，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题

7.已知/1：y=-2x+6将/】向左平移3个单位长度得到的直线解析式为.

【答案】y=-2x

【解析】

当直线y=kx+b向左平移m(m>0)个单位时,解析式为:y=k(x+m)+b；当向右平移m个单位时，解析式为:片k(x-m)+b.利

用一次函数平移规律便可得出平移后的解析式.

【详解】

将h向左平移3个单位长度得到的直线解析式是：y=-2(x+3)+6,即y=-2x.

故答案为：y=-2x.

【点睛】

本题考查了求一次函数解析式，掌握直线左右平移的函数解析式规律：左移自变量加，右移自变量减；当然本题

也可用待定系数法求解析式：由于平移k的大小不变，故设平移后的解析式为y=-2x+b,在直线y=-2x+6上任取一

点，比如(0,6),根据平移的定义，此点向左平移3个单位后的坐标为(-3,6),则有-2x(-3)+b=6,解得b=0,

所以y=-2x.

8.若函数y=(a-2)x+b-3的图象如图所示，化简：|b-a|-|3-b|-|2-a|=.

V

【答案】1

【解析】

根据一次函数图象可得。<2,b>3,进而利用绝对值性质化简原式即可.

【详解】

解：团一次函数丫=(a-2)x+b-3的图象经过第一、二、四象限，

0a-2<0,b-3>0,即a<2,b>3,a<b,

0|b-a|-|3-b|-12-o|

=(b-a)-(b-3)-(2-a)

=b-o+3-b-2+o

=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查一次函数的图象与性质、解一元一次不等式、绝对值性质、整式的加减，熟练掌握一次函数的图象与性

质，掌握绝对值的性质是解答的关键.

9.已知A(玉,)[),3(工2，%)是直线y=(根—1)%+3上的相异两点，若(玉一w)(y—%)<0，则m的取值

范围是.

【答案】m<l

【解析】

由(xi-xz)(yi-y2)<0可得出y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出解之即可得出m的取

值范围.

【详解】

解:回(X1-X2)(yi-/2)<0,

期随x的增大而减小，

团m-lVO,

团mVl.

故答案为：m<l.

【点睛】

本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键.

10.已知一个多边形的内角和与外角和之和为2520。，则这个多边形为边形.

【答案】14

【解析】

依据多边形的内角和公式列方程求解即可.

【详解】

解：设这个多边形的边数为

根据题意得：(n-2)X180°+360°=2520°.

解得：n=14.

故这个多边形为14边形.

故答案为：14.

【点睛】

本题主要考查的是多边形的内角，依据题意列出方程是解题的关键.

2x—y=Q

11.己知直线y=2%与〉=一％+〃交于点(1,相)，则方程组1八的解为____________.

x+y—n-0

x=l

【答案】\C

卜=2

【解析】

把交点坐标代入两函数解析式求解得到a的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答.

【详解】

解：团直线片2x与片・x+〃的交点为（1,m）,

m=2

叫，

m=-1+n

m=2

解得《

〃二3

2x-y=02x-y=0x=1

必方程组＜即为《的解为〈c

x+y-〃=0x+y-3=0b=2

x=1

故答案为:

y=2

【点睛】

本眶主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满

足函数解析式.函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.

12.若顺次连接一个四边形各边中点所得的图形为矩形，则这个四边形需要满足的条件为.

【答案】对角线互相垂直

【解析】

根据三角形中位线定理得到EH0BD,FG0BD,进而证明四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理证明即

可.

【详解】

解：若一个四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的图形为矩形，

理由如下：F,G,H分别是A8,BC,CD,DA的中点，

SEHSBD,FGMD,

glEHSFG,

同理，EfflHG,

团四边形EFGH是平行四边形,

04C0BD,

IBEHaEF,

回四边形EFGH是矩形.

故答案为：对角线互相垂直.

【点睛】

本题考查的是中点四边形，掌握矩形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键.

1?

13.从—2,一,一，三个数中，任取一个数记为A,再从余下的两个数中，任取一个数记为力.则一次函数，="+人

23

的图象不经过第四象限的概率是

【答案】

3

【解析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的情

况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】

解：画树状图如下,

回一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限，

13k>0、b>0,

•••一次函数不经过第四象限的等可能的结果有2种，

则一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率为2=',

63

故答案为：一.

3

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列

表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比，同时考查了一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键.

14.如图，在等腰梯形ABCD中，AB^CD,AD=AB，BD^BC,贝幅C=.

【答案】600

【解析】

利用平行线及AB团CO,证明NAD8=NA3O=NBOC，再证明NAOC=NBC。，再利用直角三角形两

锐角互余可得答案.

【详解】

解：因为：AB^CD,所以：NADB=ZABD,

因为：AD-AB，所以：Z.BDC-Z.ABD，

所以；ZADB=ZABD=ZBDC.

因为：等腰梯形ABCD,

所以：ZADC=ZBCD,

设：/BDC=x。，所以NBCD=2x°,

因为：BDQBC,

所以：x+2x=90,解得：x=30,

所以：NC=60°.

故答案为：60°.

【点睛】

本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是解题关键.

15.己知在.ABC中，AB=a，AC=b>M是边BC上的一点，BM：CM=1：2,用向量。、〃表示41/

（答案】—d'+—b.

33

【解析】

根据三角形法则表示出BC，再表示出BM，然后根据三角形法则表示出AM即可.

【详解】

^AB=a，AC=b,

电BC=AC-AB=b-a，

(3BM：CM=1：2,

11

^BM=-^BC=-(b-a),

l,.、2r1[

^AM=AB+BM=a+-z(b-a)=-a+-b.

16.生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同

样数目的小分支.现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91,则这种植物每个

支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出X个小分支，可列方程.

【答案】l+x+x2=91

【解析】

如果设每个支干分出X个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支"可知：支干的数量为X个，小分支的

数量为X・x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程.

【详解】

解：依题意得支干的数量为X个，

小分支的数量为X・x=x2个，

那么根据题意可列出方程为：1+X+X2=91,

故答案为：l+x+x2=91.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.

17.如图，在oABCO中，ZABC,N8CD的平分线分别与相交于点£、F,3E与CF相交于

点G,若AB=3cm,BC-5cm.Cfn2cm,则BE的长是cm.

【答案】40

【解析】

根据平行四边形两组对边分别平行可得NABC+NBCD=180。，再根据角平分线的性质可得

ZEBC+ZFCB=90°，可得8石，。?；过A作AM//FC，NBC于M，证明A4BE是等腰三角形，进

而得到BO=EO，证明“。后三△MOB,得到AO=MO,再证明四边形AMCE是平行四边形，得至ijA。,

再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案.

【详解】

解：四边形A8CO是平行四边形，

..AB//CD,

:.ZABC+ZBCD=\SO0,

ZABC>NBCD的平分线BE、。尸分别与AO相交于点£、F，

ZEBC+ZFCB=-ZABC+-NDCB=90°

22

:.EBLFC；

过A作AM//FC，交BC于M，如图所示：

AM//FC,

:.ZAOB=/FGB,

EB1FC,

:.ZFGB=90°,

■■.ZAOB=90°,

平分NA8C,

：.ZABE^ZEBC，

ADIIBC,

：.ZAEB=ZCBE,

：.ZABE=ZAEB，

AB=AE=3,

AOYBE,

：.BO=EO,

在AA。石和AMOB中，

ZAEO=NMBO

<BO=EO,

ZAOE=ZBOM

AAOE/^MOB(ASA),

AO=MO,

AF//CM,AM//FC，

...四边形AMCF是平行四边形,

.-.AM=FC=2,

AO=1,

EO=>JAE2-AO2=2夜>

:.BE=4也;

故答案为：4^2•

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质；证明AO=M。,

BO=EO是解决问题的关键.

18.正方形ABCD中，点E是CO中点，点F是AD中点，连接BE,CF且二条线段交于点P,已知AP=2，

则EF=________

【答案】0

【解析】

延长CF、84交于点M，连接AC,依据正方形的性质，可证明△。方C13Z\CEBSAS),^DFC^AAFM

(AAS),依据等式的基本性质、三角形内角和、及对顶角相等，可得NMPB=90°,依据全等三角形的性质、正

方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得A6=AP=2,依据正方形的性质、三角形中位线

的性质可求EF.

【详解】

解：延长CF、84交于点M，连接AC,

团正方形ABC。中，

0DA=DC=CB=AB，ZD=ZECB=90°,DC//AB，AC=gB，

又团点E是CD中点，点厂是AD中点，

i万

0DF=CE,DF=AF,ZD=NFAM,ADCF=ZM,EF=±AC='AB,

22

sADFCa/\CEBSAS),ADFC0AAFM(AAS),

0/DFC=NCEB,MA=DC,

al80°一(NDFC+NDCF)=180°-(ZCEB+ZDCF),M4=/W,

aZ£PC=ZD=90°,

价/MPB=/EPC=90。，

又®M4=AB，

团4B=AP=2，

^EF=—AB=y/2.

2

故答案为：V2.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、

三角形中位线的性质，解题的关键是证明三角形A/P3是直角三角形，构造直角三角形斜边上的中线・

三、解答题

19.Jx+8+，2-尤-4=0

【答案】%=1,x2=-7

【解析】

先变形为&亚=4-万两边平方、整理得4>区二=5-x，再两边平方、整理成一元二次方程，解之可

得.

【详解】

解：-Vx+8+y/2-X-4=0>

,•>Jx+8=4—J2—x，

则x+8=16-8j2-x+2-x，

整理，得：4万工=5-X，

两边平方，整理，得：/+6工一7=0，

解得不=1,马=-7，

经检验x=l和x=-7均符合题意，

则原无理方程的解为％=

1,X2=-7.

【点睛】

本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的

结构特征选择解题方法.常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等.

13

20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-的图像与正比例函数y=]X的图像交于点

A（2,机），与x轴交于点5.

（1）求加、b的值：

（2）求.498的面积.

【答案】；

(i)m=3,b=4(2)S^AOB=12

【解析】

（1）将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值.将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求

出b的值.

（2）先求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可.

【详解】

3

（1）正比例函数y=]X的图象过点A（2,m）.

3

团m=—x2=3.

2

又回一次函数y=+的图象过点A（2,3）.

03=--x2+b,

2

团b=4.

（2）团一次函数y=-gx+4的图象与x轴交于点B,

令y=0,即-gx+4=0,

解得x=8

朋（8,0）,

1

0S3AOB=—x8x3=12.

2

【点睛】

本题考查一次函数，涉及待定系数法，三角形面积公式，解方程等知识，本题属于中等题型.

ULUl1UULl1ULfll1

21.如图,在梯形ABCD中,AD®BC,点E在边BC上,DEI3AB,设AB=a,AE=b,CD=C-

UUU1UU1UUIU

（1）用向量a,仇c表示下列向量:AD,C£,入C；

（2）求作：b-a+c（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）

llUUlIIUU111UUtl111

【答案】（1）AD=a-b,CE=c+a-AC=b-c-a（2）见解析.

【解析】

（1）AD0BC,DE0AB,可证得四边形ABED是平行四边形，然后利用平行四边形法则与三角形法则求解即可求得

答案；

UUUI

（2）首先作。尸=c，连接AF,则从户即为所求.

【详解】

(1)团AD团BC,DE团AB,

团四边形ABED是平行四边形，

UUIUULUULliULU11CILUUUULI1

eAD=BE=AE—AB=a—b,DE=AB=a,

UUIULIUULUllI1

⑦CE=CD+DE=c+a;

uunuuruurr、r、rrr

aBC=BE-CE-\b-a\-\c+a\=b-c-2a

uunuunuunr,rrrxrrr

团AC=AB+BC=a+lb-c-2a\=b-c-a-

UUU1

⑵首先作。尸=c，连接AF,则Af即为所求.

【点睛】

此题考查平面向量，解题关键在于灵活运用向量的转化即可.

22.如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以

外小方格地面完全相同.

⑴一只自由飞行的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，求小鸟落在草坪上的概率;

（2）现准备从图中所示的3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的

概率是多少（用树状图或列表法求解）？

,_.,21

【答案】⑴彳.（2）-.

33

【详解】

试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生

的概率.使用树状图分析时，一定要做到不重不漏.

试题解析：（1）P（小鸟落在草坪上）=-=-；

93

（2）用树状图列出所有问题的可能的结果：

开始

由树状图可知，共有6种等可能结果，编号为1、2的2个小方格空地种植草坪有2种，

所以P（编号为1、2的2个小方格空地种植草坪）=2=,

63

考点：1.列表法与树状图法；2.几何概率.

23.如图，在M8c中，点D是BC边的中点，点E是4D的中点，过4点作且交CE的延长线于点F,联

结8F.

（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；

（2）当4B=AC时，求证：四边形AFBD是矩形；

（3）（填空）在（2）中再增加条件.则四边形AFBD是正方形.

C

BD

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(3B4C=90°

【解析】

(1)根据平行四边形的判定定理即可得到结论；

(2)利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案；

(3)当MBC为等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由为：由第一问证得的AF=8D,且AF与8D平行，

根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形4FBD为平行四边形，若三角形ABC为等腰直角三角

形，D为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=BD,且根据三线合一得到4D

与BC垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形4FBD为正方形.

【详解】

(1)证明：回点D是8c边的中点，点E是AD的中点，

0DE是回BCF的中位线，

ODEEIBF,

S4DI3BF,

S4用8C,

团四边形AFBD是平行四边形；

(2)证明：(2)^AB=AC,BD=DC,

S4DEIBC.

0a4DB=9O°.

圈四边形AFBD是平行四边形,

邮口边形AFBD是矩形；

(3)当MBC为等腰直角三角形，且回BAC=90。时，四边形AFBD是正方形，理由如下：

回四边形AFBD为平行四边形，

又团等腰直角三角形ABC,且。为8c的中点，

MD=BD,^ADB=90°,

13四边形AFBD为正方形.

故答案为：^BAC=90°.

【点睛】

此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各判定定

理是解题的关键.

24.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,点E、F分别是AB、AC的中点，CEI3BF于点0.

(1)求证：四边形EBCF是等腰梯形；

(2)EF=1,求四边形EBCF的面积.

【解析】

(1)根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论;

(2)如图，延长BC至点G,使CG=EF,连接FG,根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF,根据全等三角形的性

质和三角形中位线定理即可得到结论.

【详解】

(1)回点E、F分别是AB、AC的中点，

11

0EF//BC,BE=—AB=-AC=CF,

22

国四边形EBCF是等腰梯形；

(2)如图，延长BC至点G,使CG=EF,连接FG,

0EF//BC,BPEF//CG,且CG=EF,

团四边形EFGC是平行四边形，

又向四边形EBCF是等腰梯形，

0FG=EC=BF,

0EF=CG,FC=BE,

EHEFBfflGlCGF(SSS),

回S四边形EBCF=SBFG，

0GC=EF=1,且EF='BC,

2

国BC=2,

0BG=BC+CG=l+2=3.

0FG//EC,

00GFB=0BOC=9O°,

13

B1FH=-BG=—,

22

139

0S四边形EBCF=§BFG=2X^X2=4-

【点睛】

本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

25.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车己越来越多的进人普通家庭，成为居民消费新的

增长点.据某市交通部门统计，2016年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2018年底，全市的汽车拥有量已

达21.6万辆.

（1）求2016年底至2018年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2019年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2020年底全市

汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2019年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.

假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.

【答案】（1）20%；（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆.

【解析】

（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为X,根据2016年底数量x（l+x）2=2018年底数量列出方程，求出x的值，

不合题意的解，舍去即可；（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则得出2019年底和2020年底全市的汽车拥

有量，从而列出不等式求解即可.

【详解】

（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为X,

根据题意，得15（1+力2=21.6,

解得％=0.2=20%,X2=-2.2(不合题意，舍去).

故该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.

(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆，

02019年底全市的汽车拥有量为(21.6x90%+y)万辆，

2020年底全市的汽车拥有量为［(21.6X90%+y)X90%+习万辆.

团到2020年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆，

13(21.6x90%+>)x90%+%23.196.

解得％3.

圈该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆.

【点睛】

本题考查了一元二次方程和不等式的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.找到关键描述语,

找到等量关系准确的列出方程及不等式是解决问题的关键.

26.如图，已知平行四边形ABCO中，BD平分NCBA,

(1)求证：平行四边形48CD是菱形;

（2）E为边A8上一动点，连接CE,作CE的垂直平分线交CE于尸，交DB于G,连接4G、EG,

①求证：..AGE为等腰三角形；

FG

②若NCBA=60。，求——的值.

AG

【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②g

【解析】

（1）根据平行四边形ABC。中，8。平分NC84求出平行四边形A8CD邻边相等即可，

（2）①由GF垂直平分CE知GC=GE,再求证E1ADG与回CDG全等即可得出,AGE为等腰三角形，

②连接AC交BD于点0,根据菱形ABCD中AC与BD垂直平分，GF垂直平分CE,分别用不同方法表示出I3AEC

FG1

进而求出NGCE=30°,即可求出——=-.

AG2

【详解】

（1）回在平行四边形ABC。中，

SAB//CD,

能］CDB二团ABD,

又50平分NC84，

00DBC=0ABD,

MCDB=0DBC,

0DC=BC,

团平行四边形ABC。是菱形；

（2）①由GF垂直平分CE知GC=GE,

团菱形A8CO中,

AD=CD,0ADG=[3CDG,DG=DG,

E0ADG=0CDG(SAS),

0GA=GC,

即，AGE为等腰三角形；

②连接AC交BD于点。，如图:

由题意知GF垂直平分CE,

I3GC=GE,

0BGCE=0GEC,

日在菱形ABCD中AC与BD垂直平分，

©GA=GC,

ffl[3GAC=[?IGCA,

又回NC班=60°，AB=BC,

SZCAB=ZABC=ZACB=60