2020-2021学年度高一第二学期期末模拟试题一（含答案及解析）

2020--2021学年度第二学期

高一数学期末模拟试题一

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题列出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项.

1.在空间中，下列结论正确的是（）

A.三角形确定一个平面B.四边形确定一个平面

C.一个点和一条直线确定一个平面D.两条直线确定一个平面

【答案】A

【解析】

【分析】

根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.

【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正

确；

当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；

当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；

当两条直线异面时，不能确定一个平面，即。错误；

故选：A.

【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基

础题.

2.若i为虚数单位，则复数z=-2+i在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

由复数的坐标表示可得复数在复平面内对应的点，即可得解.

【详解】由题意，复数z=-2+i在复平面上对应的点为（-2,1）,位于第二象限.

故选：B.

【点睛】本题考查了判断复数对应的点所在的象限，牢记知识点是解题关键，属于基础题.

3.已知向量。=(1,2),h-(x,4),且那么x的值为()

A.14B.12C.2D.—8

【答案】D

【解析】

【分析】

由平面向量垂直的坐标表示解方程即可得解.

【详解】因为1=(1,2),5=(X,4),alb^

所以M・5=X+8=0，解得x=—8.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.

4.已知一组数据为4,5,6,7,8,8,第4()百分位数是()

A.8B.7C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用百分位数的定义求解.

【详解】因为有6位数，

所以6x40%=2.4,

所以第40百分位数是第三个数6.

故选：C

5.底面边长为2,高为1的正三棱柱的体积是()

A.V3B.1C.

V

【答案】A

【解析】

【分析】

根据棱柱体积公式求得结果.

【详解】底面边长为2,高为1的正三棱柱的体积是(苧x2?)xl=6

故选：A

【点睛】本题考查棱柱体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

6.在△ABC中，B=60°,b1=ac则cosA=()

A.0B.—C.—D.—

222

【答案】B

【解析】

【分析】

由余弦定理且3=60。得。2="+c?-ac，再由尸=ac，^a2+c2-ac=ac>得，

得A=B=C=6()°,可求cosA的值.

【详解】由余弦定理得：h2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac^

XZJ2-ac>a2+c2-ac—ac>(«-c)2=0,

a—c,A—B—C—60°,

,1

/.cosA=—.

2

故选：B.

【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

7.甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人

数和为()

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据甲组人数及其所占百分比可得总人数，再求出丙、丁两组人数占总人数的百分比，即

可得解.

【详解】解：•••甲组人数为120人，占总人数的百分比为30%,

...总人数为120・30%=400人，

•.•丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1-30%-7.5%=62.5%

丙、丁两组人数和为400X62.5%=250人.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了饼形图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题.

8.如图，。是AABC的重心，AB^a,AC^b,。是边上一点，且3万=3。3,

贝U()

—1-5-

B.OD=­a----b

12121212

C.OD-D.Ol5=L+l

1212

【答案】A

【解析】如图，延长A。交于E,由已知。为ASBC的重心，

则点E为8c的中点，

且荷=2诙，AE=1（AB+AC）

由8万=3。3，得：。是的四等分点，

则比=砺+而=1乐+，而」而+砌-丽）

3432、,4、>

故选A.

o

B

D

9.如图所示，为了测量山高MN,选择A和另一座山的山顶。作为测量基点，从A点测得

M点的仰角NM4N=60，C点的仰角NC4B=45°，NM4C=75°，从C点测得

ZMCA=6O'.已知山高BC=5（X）m,则山高MN（单位：加）为（）

A.750B.750A/3C.850D.8500

【答案】A

【解析】

【分析】计算出AC,在八4皿中，利用正弦定理求得A"，然后在中可计

算出MN.

【详解】在中，NC4B=451NABC为直角，则AC=-^'=500底（加），

sin45°''

在AACM中，NM4c=75°，ZMCA=6Q，则ZAMC=45°，

，十…卬ACAMACsin60500&x日

由正弦定理------=-------,可得AM--；~——=-----尸-----=500V3（/«）,

sin450sin60°sin450立'7

V

在用△4VW中，NM47V=60",ZANM=90.：.MN=AMsin60=750（/??）.

故选：A.

【点睛】本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

第二部分（非选择题共80分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

【答案】一1+i;

【解析】

2i2z.(l+z)-2+2/,.

【详解】V;_^=_1+/，故答案为T+,

1-z(l-z)-(l+z)2

11.某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：

命中环数12345678910

频数24569101826128

如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为；不少于9环的概率

为.

【答案】(1).](2).1

【解析】

【分析】

由表中的数据，求对应的比值可得答案.

【详解】由题意得：这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为19=',

10010

12+81

不少于9环的概率为——=一，

1005

故答案为：—；--

105

【点睛】本题考查利用频率估计概率，属于基础题.

12.如图，若正方体ABCO-A4G2的棱长为1，则异面直线AC与AB所成的角的大小

是；直线A8和底面ABC。所成的角的大小是

【解析】

【分析】

①通过平行关系，直线A8与直线AC所成角即直线AB与直线4a所成角，解三角形即

可得解；

②根据线面角定义，通过垂直关系找出线面角即可.

【详解】作图：连接4C8G交BC于。，连接4。

TT

①在正方体中，A8=8G=4G，易得VABC1为等边三角形，NA41G=2

由A4与CG平行且相等，则四边形ACGA为平行四边形，CA//C.A，

直线AB与直线AC所成角即直线AB与直线4a所成角，

所以所成角为?；

②正方体中，AAJ•平面ABC。，

所以幺84就是直线AB和平面ABCO所成的角

n

由于AA=AB,A,AIAB,A是等腰直角三角形，所以24胡=：,

1T

所以直线AB和底面ABCQ所成的角的大小一.

4

_-TT1T

故答案为：①丁；②一.

34

【点睛】此题考查求异面直线所成的角和直线与平面所成角，通过平行线求异面直线夹

角，通过垂直关系根据定义找出线面角即可求解.

13.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为一和二.现安排甲组

35

研发新产品A,乙组研发新产品8,设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品

研发成功的概率为.

13

【答案■

【解析】

【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，

【详解】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件加，事件〃为事件加的对立事件，

则事件〃为一种新产品都没有成功，

因为甲乙研发新产品成功的概率分别为一和二.

35

贝!|p(n)=(l-|)(l-1)=^,

再根据对立事件概率之间的公式可得尸⑹=1-p(〃)=1q=2，

13

故至少有一种新产品研发成功的概率石.

13

故答案为：

【点睛】本题主要考查了对立事件的概率，考查学生的计算能力，属于基础题.

14.已知向量M=(1,2),b=2A/5,allb＞且万与B方向相同，那么5=.

【答案】(2,4)

【解析】

【分析】

根据题中条件，先设后=(“,2”)(。＞0),再由向量模的坐标表示，根据向量的模列出方程

求出参数，即可得出结果.

【详解】因为向量日=。,2),且M与5方向相同，

所以可设B=(a,2a)(a＞0),

又W=2j5,所以Ja2+4“2=26,解得4=2(负值舍去)，

所以B=(2,4)

故答案为：(2,4).

【点睛】关键点点睛：本题主要考查由向量的模求向量，解题的关键在于设出向量的坐

标，结合题中条件确定等量关系求出参数，本题中根据向量同向，先设

b=(a,2a)(a>0),再由向量模列出等量关系，考查学生的运算求解能力，属于基础题

型.

15.已知。，。是不重合的两条直线，a,4为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若a_La,allp,则c_L，；

②出/a且a〃尸，则尸；

③若a_Le,blla，则£_L〃.

所有正确命题的序号为.

【答案】①©

【解析】

【分析】

对于①，由面面垂直的判定定理得对于②，或au分；对于③，由线面垂直

的性质得九

【详解】解：由。，。是不重合的两条直线，a,夕为不重合的两个平面，知：

对于①，若a_L。，al1/3,则由面面垂直的判定定理得。_L力，故①正确；

对于②，若a〃a且。〃尸，则a〃6或au£,②错误；

对于③，若a_La,6/a,则由线面垂直的性质得“_15,故③正确.

故答案为：①③.

【点睛】本题考查线面平行与面面垂直的判定，线面垂直性质，掌握空间直线、平面的平

行关系的判定方法是解题基础.

三、解答题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过

程.

16.已知复数z=，〃Q〃—l)+a〃2+2，〃—3)i,当加取何实数值时，复数z是：

(1)纯虚数；

(2)z=2+5L

【答案】(1)〃？=0；(2)加=2.

【解析】

【分析】

（1）利用加（加一1）=0,（〃，+2加-3）70,即可求解.

（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等加（加-1）=2,（加2+2加-3）=5即可求解.

=0m=0或m=1

【详解】（1）若复数是纯虚数，则＜）cc八，解得〈，叱-3且加工所以加=°

m~+2加一3。0

m(m-V)=2

（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得〈

m+2m-3=5

机=2或加=-1

解得t，即用=2

m=2或相=-4

17.某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得

分按照［0,20］,(20,40J,(40,60J,(60,80J,(80,100］分组，绘成频率分布直

方图（如图）.

（II）分别求出抽取的20人中得分落在组［0,20］和（20,40］内的人数;

（III）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数.

170

【答案】（I）x=0.0100；（II）分别为2人和3人；（III）平均数为56,中位数为亍,

众数为50.

【解析】

【分析】

（I）由频率分布直方图的性质能求出x.

（II）由频率分布直方图的性质能求出得分落在［0,20］内的人数和得分落在（20,40］内的

人数.

(III)由频率分布直方图的性质得能估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和所有参赛

选手得分的众数.

【详解】(I)由频率分布直方图的性质得：

(0.0050+0.0075+x+0.0125+0.0150)x20=1,

解得x=0.()l(X)；

(II)由频率分布直方图能求出：

得分落在［0,20］内的人数为：20x0.0050x20=2,

得分落在(20,40］内的人数为：20x0.0075x20=3；

(III)估计所有参赛选手得分的平均数为：

0.0050x20x10+0.0075x20x30+0.0150x20x50+0.0125x20x70+0.0100x20x90=56

设所有的参赛选手得分的中位数为。，

170

则0.0050x20+0.0075x20+0.0150x(a—40)=0.5,解得a=匕，

3

则所有参赛选手得分的众数估计值为：”士丝=50.

2

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数、中位数和众数的求法，考查运算

求解能力，考查识图能力，属于常考题.

18.设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知〃=厉，c=3,

cosB——.

6

(1)求sinC的值；

(2)求△ABC面积.

【答案】(1)YH；(2)15.

62

【解析】

【分析】

(1)根据同角三角函数关系求得sin8,利用正弦定理求得结果；

(2)利用余弦定理构造方程求得a,由三角形面积公式求得结果.

【详解】（I）•.•cosB=-工＜0且3G（0,乃），Be

6

sinB=71-COS2B=

6

y/35

由正弦定理得：.厂csinBFV2?.

sinC=------=/—=---

b屈6

（2）由余弦定理得：cos8="~+—=」,解得：。=2或。=一3

2ac6a6

（舍），

/.S^ABC=—«^sinC=—x2xVL5=.

2262

【点睛】本题考查正余弦定理解三角形的问题，考查学生对于正弦定理、余弦定理和三角

形面积公式掌握的熟练程度，属于基础题.

19.某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区

抽出6个社区进行调查.已知A,B,C行政区中分别有12,18,6个社区.

（1）求从A,B,C三个行政区中分别抽取社区个数；

（2）若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至

少有一个来自A行政区的概率.

3

【答案】（1）2,3,1；（2）j.

【解析】

【分析】（1）根据分层抽样的原理，在抽样的过程中保持每个个体被抽到的概率相等,按照人

数的比列把抽样的人数分到相应的层,则6有I上•=抽一样=日人£数*,即可求出每层应该抽取

366该层的人数

的人数；

（2）首先对抽取的6个社区进行编号4,4，鸟，员,用，。，则列出从6个社区中选取两个的

所有基本事件数为15,在所有的基本事件中找出满足至少有一个来自A社区的基本事件数

93

为9,再根据古典概型的概率计算公式可以得到该事件的概率为百=-.

【详解】（1）社区总数为12+18+6=36,样本容量与总体中的个体数比为?=：.

366

所以从A,B,。三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,