2020-2021学年福建省龙岩高级中学高一（上）期中数学试卷（附答案详解）

2020-2021学年福建省龙岩高级中学高一(上)期中数学

试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.己知集合4={-1,1},8={x6N|xW2},则4UB=()

A.{1}B.{-1,1,2)C.{-1,04.2}D.{0,1,2)

2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()

A.y=：B.y=VxC.y=2"D.y=-x\x\

+1%41

2x>\~，则f(f(4))=()

A.三B.2C.|D.3

4.已知集合4={0,1,。2bB={1,0,2a+3},若A=B,贝ija等于()

A.-1或3B.0或—1C.3D.—1

5.已知a>0,b>0,a+b=2,则'=十+羡的最小值是()

A.；B.4C.：D.5

22

6.若a=l.7°£,b=0.617,c=0.6°6,则()

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b

7.已知不等式a/—5%+ft>0的解集为{X|—3VxV2},则不等式—5%4-a<

0的解集是()

A.{x|-|<x<|}B.{x[-^<%<|)

C.{x\x<一]或%>|}D.{x|x<-2或%>1}

8.定义在R上的函数/(x)满足对任意与，%2。1*X2)都有(X1-&)，(刈)一/。2)]<0,

则下列关系式恒成立的是()

A.〃a)>/(2a)B./(a2)</(a)

C./(a2+1)<f(2a)D./(a2+2)</(2a)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下列四组函数，不表示同一函数的是()

A./(x)=x,g(x)-Vx1

B.f(x)=x,g(x)=(Vx)2

C./(x)=x2,g(x}-

D./(x)=Vx+1->Jx—1>g(x')=Vx2-1

10.函数/(x)=|x2-6x+8|在下列区间()上单调递减.

A.(-co,2)B.(—8,3)C.[3,4]D.(2,3)

11.下列命题是真命题的是()

A.VxG/?,x2+%+1>0

B.命题'勺X6R,使得久2+万一1<0”的否定是“VxeR,均有/+x-1>0”

C.ux2-x=0”是“x=r的必要不充分条件

D.如果a<b<0,那么之<白

a1b2

12.关于函数〃x)=与亘的性质的描述，正确的是()

A./(乃的定义域为［-1,0)U(0,1］B./(x)的值域为(一1,1)

C./(x)的图象关于y轴对称D./(x)在定义域上是增函数

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数/'(x)=>/4-/+上的定义域是.

14.函数f(x)=/在［一1,2］上的值域是.

15.函数f(%)是定义在R上的奇函数，当％N0时，/(%)=%24-X,则f(%)在R上的解析

式为.

16.已知函数"X)=<2,在R上单调递增,则实数0的取值范围是

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(1)计算:-(-9.6)°+0.252X(-^)-4；

(2)已知实数a,b满足2a=36=6,求;+£的值.

18.已知集合4={%|2—a<x<2+a],B=(x\l<x<6].

(1)当a=3时,求AC18,(CRA)U(CRB)；

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(2)若“X64”是“x€B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

19.设命题p：VxG[—2,-1],久之—a>0；命题q：3XQGR,使就+2CLXQ—(a-2)=0.

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题p,q一真一假，求实数a的取值范围.

20.已知函数/。)=鬻是定义在(—1,1)上的奇函数，且爬)=|.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断并证明函数f(x)在上的单调性；

(3)解不等式-1)+/(2t)<0.

21.某企业生产A,B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润为与投资成正比,

其关系如图①；B产品的利润丫2与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注:

利润和投资单位:

(1)分别求出48两种产品的利润与投资之间的函数关系式；

(2)已知该企业已筹集到20万元资金，并将其全部投入A,B两种产品的生产，怎样

分配这20万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？

22.已知：函数f(x)=——2ax+2,xG[—1,1].

(1)求/(%)的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最大值.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查了列举法、描述法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

可求出集合B,然后进行并集的运算即可.

【解答】

解：•­-A={-1,1},B={0,1,2},

AUB={-1,0,1,2}.

故选：C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，掌握基本初等函数的性质是解题的关键.

由函数的单调性与奇偶性逐一判断即可.

【解答】

解：对于4函数y=：为奇函数，且在(-8,0),(0,+8)上单调递减，但在定义域内不

具有单调性，故A不符合题意；

对于B,函数y=①为非奇非偶函数，故8不符合题意；

对于C,函数丁=2丫为非奇非偶函数，故C不符合题意；

对于D,函数y=—x|x|=产尸。八为奇函数，且在定义域R上为减函数，符合题意.

xz,x>0

故选：D.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查分段函数以及函数值的求法，考查计算能力，是基础题.

直接利用分段函数求解函数值即可.

【解答】

解：/(4)=p

/v(4))=rC)=C)2+i=：.

故选D.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查集合相等的定义，以及集合元素的互异性，属于基础题.

根据4=8即可得出a?=2a+3,解出a,检验是否满足集合元素的互异性即可.

【解答】

解：=。2=2。+3,

解得a=—1■或a=3,

a=一1时不满足集合元素的互异性，应舍去，

a=3,经检验符合题意.

故选：C.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式求最值.注意把握好一正，二定，三相等的原则，属于一般

题.

利用题设中的等式，把y的表达式转化成(?)*+》展开后，利用基本不等式求得y的

最小值.

【解答】

解：:a+b=2,

a+by

:.——=1,

2

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14a+b14

•••。+/5勺+”

=|+/+弟2|+2=*当且仅当b=2a时等号成立).

故选：C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数值大小比较问题，是基础

题.

由指数函数y=1.7才的图象知a>1,由指数函数y=0.6才的图象与性质知b<c<1：由

此得出a、b、c的大小关系.

【解答】

解：由指数函数y=1.7尢的图象知，1.7。-6>1.7。=1,

所以a=1.70-6>1；

由指数函数y=0.6*的图象与性质知，0.6'7<O.60-6<0.6°=1,

所以b=0.617<c=O.606<1；

综上知，a、b、c的大小关系是a>c>6.

故选：B.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知，-3和2是方程a/—5x+b=0的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，

即可得解.

本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解

题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.

【解答】

解：由题意可知，一3和2是方程32一5%+6=0的两根，且a<0,

•••—3+2=|,(—3)x2=5a=-5,b=30,

・•・不等式b%2—5x+a<0为30——5%—5<0,

即5(3%+1)(2%-1)<0,

解得

故选：A.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件(%-的)1/。1)一〃不)]<0得到函

数/(X)为单调递减函数是解决本题的关键.

由条件(X[-X2)[/(X!)-/(&)]<0可知函数/(X)为单调递减函数，然后根据单调性进

行判断.

【解答】

解：••,函数/(%)满足Q1-X2')[f(x1)-/(x2)]<o,

即函数f(x)为单调递减函数，

a2+2—2a=(a—I)2+1>0,

:.a2+2>2a,

.-./(a2+2)</(2a),所以选项。正确，选项C错误；

因为a,2a,a?大小关系无法确定，所以选项A错误，选项B错误.

故选：D.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查了同一函数的判断和应用问题，解题时要注意定义域和对应法则的灵活运用.

根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数，结合选项进

行判断即可.

【解答】

解：对于A,f(x)=x的定义域为R,g(x)=值=因的定义域为R，

两函数的对应关系不同，不是同一函数；

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对于B,f(x)=x的定义域为R,g(x)=(a)2=x的定义域为{x|x20},

两函数的定义域不同，不是同一函数；

对于C,f(x)=/的定义域为R,g(x)=E=M的定义域为R,

两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；

对于/(X)=Vx+1-\/x—1=A/%2-1的定义域为［1,+8),g(x)=7妤—1的定义

域为u［1,4-00),

两函数的定义域不同，不是同一函数.

故选：ABD.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

结合函数的图象，求出函数的递减区间即可.

本题考查了二次函数的性质，考查数形结合思想，是一般题.

【解答】

解：画出函数/Xx)的图象，如图示：

显然f(x)在(—8,2)递减，在(2,3)递增，在［3,4］递减，在(4,+8)递增,

故选：AC.

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假判断与应用，考查不等式的性质，考查存在量词命题的否定及充分、

必要条件的判断，是一般题.

由配方法求得/+X+1的范围判断人写出存在量词命题的否定判断B；由充分、必要

条件的判定方法判断C;由不等式的性质判断D.

【解答】

解：•.•/+x+1=(x+}2+3>0,故A正确：

命题'勺X6R,使得M+x-ivo”的否定是“VxGR,均有％2+%一120”，故B

错误；

由X2一%=0,得x=0或x=1,反之，由X=1,可得X2-x=0,则“丫2-刀=0"

是“x=l”的必要不充分条件，故C正确；

由a<b<0,得。2>川>0,贝脸</，故口正确.

故选：ACD.

12.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题综合考查了函数性质的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用.

先对已知函数解析式进行化简，然后结合函数的性质分别检验各选项即可判断.

【解答】

解：当％彳0时，/(x)==区？=Vl-x2>

\x\|x|

iftl-x2>0,解得一IWxWl且x于0,f(x)的定义域为［-1,0)U(0,1］,A正确；

因为0<1-x2<1,

所以04/(x)<l,f(x)的值域为［0,1),B错误,

因为/(-%)=J1-(一%)2=VF二记=/(%),且/(%)的定义域关于原点对称，故f(x)为

偶函数，图象关于y轴对称，C正确；

/(0.5)=曰〉/⑴=0,所以/(x)在定义域上不是增函数，。错误.

故选：AC.

13.【答案】[一2,1)U(1,2]

第10页，共15页

【解析】

【分析】

本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是一道基础题.

根据二次根式的性质和分母不为0列不等式，求出函数的定义域即可.

【解答】

解：由题意得：

竹一，2八°,解得：-2<x<2S.X1,

故函数的定义域是[-2,1)U(1,2],

故答案为：[-2,1)U(1,2].

14.【答案】良|]

【解析】

【分析】

本题考查函数值域的求法，熟练掌握指数函数、反比例函数的性质是解题的关键，考查

学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.

先根据指数函数的性质求出尹的取值范围，再结合反比例函数的性质即可得解.

【解答】

解：2X+1e[|,5],

112

・"(》)=方言%，如

故答案为：R,皂.

x2X，X

15.【答案】f(x)=j2~°n

【解析】

【分析】

本题考查函数的解析式的计算，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题.

根据题意，设x<0,则—x>0,由函数的解析式求出f(—x)的表达式，结合函数的奇

偶性分析的解析式，综合即可得答案.

【解答】

解：根据题意，设％<0,则一%>0,贝iJ/(—%)=(―%)2+(―%)=x2—x,

又由/(%)为奇函数,则/(%)=-/(-%)=-x2+X,

故〃为=产产XN。

(―%2+%,%<0

故答案为:/«={XXxx<0-

\—X-rX,XU

16.【答案】(2,3]

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断和运用，注意运用指数函数的单调性和

单调性的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题.

运用指数函数和一次函数的单调性，求出a的范围，简化函数的单调性的性质，列出不

等式求出a,求交集，即可得到所求范围.

【解答】

解：函数/。)=俱二?；[1'，<2,若函数/(x)在定义域R上单调递增，

由x22,f(x)=户-1递增，可得Q>1；

由x<2时，f(x)=(a-2)x+1递增，可得a-2>0,即a>2；

由单调性的定义可得2(a—2)+l即3.

综上可得a的范围是2<a<3.

故答案为：(2,3].

17.【答案】解：(1)原式=-4-1+08x4=-3,

(2)实数a,b满足2a=3b=6,

则a=log26,b=log36,

1=log62+log63=log66=1.

【解析】本题考查了指数基的运算性质和换底公式，属于基础题.

(1)根据指数暴的运算性质可得，

(2)利用换底公式，即可求出.

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18.【答案】解：(1)当。=3时，?1={%|-1<%<5],B={x\l<x<6],

・•・QRA=(x\x<-1或x>5},CRB={x\x<1或%>6},

AnB={x|l<%<5},(CRA)U(CRB)={x\x<1或无>5}.

(2)由“％GA”是“％6夕’的充分不必要条件，得4睡B且4丰0,

2-a<2+a

A2-a>1,等号不能同时成立，得OWQWL

24-a<6

・•・综上所述：a的取值范围是{a[O<a<l}.

【解析】本题考查了集合之间的关系与运算问题，考查充分、必要条件的判定及应用.

(1)求出Q=3时集合4,根据补集的定义写出口4CRB,结合交集和并集的定义即可求

出4n8,(CRA)U(CRB)；

(2)若“xEA”是“％GB”的充分不必要条件，则需满足4g8且4H0,求解Q的取值

范围即可.

19.【答:案】解：(1)'''Vx6[-2,—1],x2—a>0^a<1,

故Q的范围(一8,1],

X使诏+

(2)vBQGR,2ax0—(a—2)=0.

即％2+2ax—(a—2)=0有解，

・•・△=4a2+4(a—2)>0,

Aa2+a-2>0,解得a>1或Q<—2,

,••命题p,q一真一假，

当p真q假时，解得—2<QV1,

当p假q真时,{Q之i或Q工_2，解得。>1，

综上，a的范围{a|a>1或一2<a<1).

【解析】本题主要考查了复合命题的真假关系，还考查了二次方程根的存在条件，体现

了转化思想，属中档题.

(1)结合不等式的恒成立，先进行分离常数，然后结合二次函数的性质可求；

(2)由已知可得/+2ax-(a-2)=0有解，结合二次方程的根的存在条件可求a的范围,

然后结合复合命题的真假关系进行求解.

20.【答案】解：(1)由奇函数的性质可知，/(0)=0,

・•.b=0,/(x)=诉，

••・代)=壬=|，

4

;a=1,f(x)=春，经检验符合题意.

(2)函数/(x)在(-1,1)上是增函数.

证明：任取一1<X1<犯<1，

则/(勺)-/(小)=含一充7=(7U?；；;芳)，

—1<Xj<X2<1>所以—x2<0,1—xrx2>0,

•••f(Xl)—/(X2)<0,即f(Xi)<f(%2)，

二函数/(x)在(一1,1)上为增函数.

⑶由题意，不等式/(t-1)+/(2t)<0可化为f(t-1)<

(t-l<-2t

•••|-1<t-1<1>

<2t<1

解得0<t</

故不等式的解集为(0彳).

【解析】本题主要考查了函数奇偶性和单调性及利用单调性求解不等式，属于中档题.

(1)由奇函数的性质可知，/(0)=0,代入可求b,然后根据/(}=1，代入可求a；

(2)任取-1<X]<r<1，然后利用作差法比较/(%)与/'(型)的大小即可判断；

(3)结合奇偶性和单调性即可求解不等式.

21.【答案】解：(1)根据题意可设/(x)=七刈g(x)=kz网.

由图象①可知f(x)=自％的图象过点(1,0.25),可得自=0.25,

则=0.25x(x>0),

由图象②可得g(x)=k2正的图象过点(4,4),可得4=的乂"，即心