2020-2021学年高一数学挑战满分期末冲刺卷03 解三角形（江苏精编）（解析版）

专题03解三角形（共39题）

含平面向量、三角恒等变换与解三角形综合题

一、单选题

1.（河南省新乡市2020-2021学年高二上学期期中理科数学试题）在AABC中,tanAsinB<cosB，则AA6c

的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

【答案】c

„八sinAsinB八

【解析】：tanAsinB<cosB,---------<cosB,

cosA

若A是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，

若A是锐角，贝ijsinAsinB<cosAcos8,cosAcosB-sinAsinB=cos（A+8）>0,

TTIT

4,8是三角形内角，；.0<4+8<一，从而。=%—（4+8）>一，。为钝角，三角形仍然为钝角三角形.

22

故选：C.

【点睛】

易错点睛：本题考查三角形形状的判断.解题过程中，由sm"sm』<cos8常常直接得出

cosA

sinAsin5<cosAcos5,然后可判断出。是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存

在不全面.即应该根据A角是锐角还是钝角分类讨论.实际上就是不等式性质的应用要正确.

2.（2021•江苏高一课时练习）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且一/+缶,，

则角B的大小是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【答案】A

【解析】

由/=从一02+血4。利用余弦定理可得853=正，结合B的范围，即可得3的值.8c中，

2

,/a2=b2-c2+y[2ac<

可得：a1+（r-b1=>[2ac>

•­•由余弦定理可得：

ci~+c~—b~\p2.ctcyf2

cosB------------=------=——，

laclac2

♦.•8e（O㈤，

.•.8=45'，

故选：A.

3.（2021•江苏南通市•启东中学高一月考）若出。+1,。+2是锐角三角形的三边长，则。的取值范围是（）

A.1<«<3B.a>1

C.a>3D.0<«<1

【答案】c

【解析】

根据大边对大角，只需边长。+2对应的角为锐角，由余弦定理即可求出.因为三角形是锐角三角形，所以最大边长

a+2对应的角为锐角，设该角为6.

a-+（。+1）-—（a+2）一，

所以cos6=———/—\——上>0,即。2一2。—3>（）,解得。>3或。<一1（舍去）.

2a（a+1）

故选：C.

4.（2021•江苏高一课时练习）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的

斜度为15。，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45。，若CO=50m,山坡对于地平面的

坡度为仇则cos。等于

A.3B.—C.J3-1D.J2-1

22

【答案】C

【解析】

在AABC中，由正弦定理得AC=100拉，再在AAOC中，由正弦定理得解.在AABC中，由正弦定理得

ABAC

sin30°sin135°'

：.AC=WOy]2■

ACCD

在AAOC中，-----------=-------,

sin（e+90'）sin150

cosO=sin（O+9O0）=sin"=百_।

CD

故选：C

【点睛】

结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到

其它三角形中求解.

5.（专题12寒假班复习-2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义（沪教版2020））在A48c中，若

sinAcos（——5）=1-sin（----A）cosB,则这个三角形是（）

22

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【解析】

7T7T

利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得；解：因为sinAcos（--5）=l-sin（一一A）cosfi

22

所以sinAsin5=1-cosAcosB

所以cosAcos3+sinAsin8=1

所以cos（A_5）=l

因为ABw（0,;r）,所以A-8=0,即A=B

所以三角形为等腰三角形；

故选：D

6.(2021•江苏苏州市•星海实验中学高一月考)在3c中，由角A,B，。所对的边分别为。，b，。，且

c-2(acosB-hcosA),则tan(A-B)的最大值为()

A6R6c1D6

23

【答案】D

【解析】

根据正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到tan4=3tan8,再根据两角差的正切公式，结合基本不等式，

即可求解.因为在443。中，c=2(。cosB-bcosA)

由正弦定理可得2sinA•cosB-2sincosA=sinC.

因为C=〃-(A+3),可得sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,

即sinAcosB=3cosAsinB,即tanA=3tanB,

..n、tanA-tanB2tanB2'百

tan(A-B)=-------------=-------1—=-------------<—

所以1+tanATan81+3tan-B1,口3•

-----F3tanB

tanB

因为tanA=3tan3,可得tanB>0,所以---+3tanB>2J---3tanB=273,

tanBVtanB

、/

当且仅当tanB=X23,即8=7—i，C=n~,A=7一t时取

3623

所以tan（A-B）4号，即tan（A-B）的最大值为手.

故选：D.

【点睛】

对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用"角转边''寻求边的关系，利用正、余弦

定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.

7.（2020•江苏高一期中）在ZV3C中，角的对边分别为4,dc,若竺一=任一=竺七（2为非零实

Z34

数），则下列结论正确的是（）

A.当％=1时，413。是锐角三角形B.当攵=2时，AABC是锐角三角形

C.当左=3时，AABC是钝角三角形D.当攵=5时，ZV18C是直角三角形

【答案】D

【解析】

由正弦定理化简己知可得a:b:c=4:3:4,利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分

析各个选项即可得解.对于A,左=1时，可得：a:A:c=l:3:4,可得a+=这样的三角形不存在，故错

误；

对于3，后=2时.，可得：a:0:c=2:3:4,可得C为最大角，由余弦定理可得cosC=二+’=-l<。,

lab4

可得AABC是钝角三角形，故错误；

/724-A2—r21

对于c,Z=3时，可得：a:b:c=3:3:4,可得。为最大角，由余弦定理可得cosC=M^--=->0,可

2ab9

得A48C是锐角三角形，故错误；

对于O，攵=5时，可得：a-.b-.c=5:3A,可得/=尸+02,即A为直角，可得AA3C是直角三角形，故

正确.

故选：D

【点睛】

思路点睛：判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用4+3+。=兀这个结

论.

8.（第“章解三角形（基础过关）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（苏教版2019必修第二册））已知

AI-CC

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a?+c、2+ac—尸=0，则cos~----->J3sin—cos—的

222

取值范围为（）

3百、3

---------)

4454

33

452

【答案】B

【解析】

利用余弦定理求出B的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围.由

a2+c2+ac—b2=0»可得a?+/一匕,=-ac，

〃242_人21

由余弦定理得cosB=<^——=

2ac2

24

因为3£(0,冗),可得Z?£—，

3

T7rh2A/T.CC1石.1\/3.7t1

又由cos---A/3sin—cos一=—(cos2+1)----sinC=—cosA----sin(---A)+一

222222232

--cosA+—sinA+-=-sin(A--)+-.

442262

因为0<A<一，所以---<A----<—,所以—vsin(A---)<一，

3666262

所以,v'sin(A—工)V』,

42624

AZ-»Z-»1Q

即cos2——5/3sin—cos—的取值范围为(―,—).

故选：B.

9.（江苏省南京师范大学苏州实验学校2020-2021学年高一下学期3月学情调查（一）数学试题）己知A是锐角

△ABC的一个内角，且满足cos(A+w)=§,则sin(w-A)=()

A373-4D3g+464-3』「36-4-3百+4

A・-----------B.------------C.----------D.-----------或--------

1010101010

【答案】A

【解析】

447171TC\TC'

根据题意得sin(A+—)=—,又一一A=一一(A+一),展开计算sin二一A即可.因为A是锐角，所以

65636\6

.._7C.LL,1An/兀21、

AG(0,—),所以A+工£(二,^-),

2663

(4乃、3.re4

因为cos1A+，所以sm(A+w)=M

冗乃7C

又因为A=——(A+—),

636

所以sin---A=sin(---(Ad——))=sin—cos(A+—)—cos—sin(Ad——)

I6J363636

刍os(A+2)」sin(A+4与3百-4

2626252510

故选：A.

【点睛】

（1）给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出

相应角的三角函数值，代入展开式即可.

（2）通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函

数；②己知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是选正、余弦皆可；若角的范围是（0,乃）,

选余弦较好；若角的范围为（-I，］）,选正弦较好.

10.（2021•吴江市高级中学高一月考）圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）

是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时,

太阳光线与地面所成角分别为a,夕，表影长之差为/,那么表高为（）

夏至•

冬至

/(tana-tan/?)ZtanatanP

tanatan(3tana-tan/3

、/(tan/一tana)Itanptana

tan(3tanatan1一tana

【答案】D

【解析】

由题意作图，在八48中，然后根据正弦定理表示出AC,然后在直角三角形中，利用正弦值表示出表高A8,

上下同时除以cosacos/?即可.如图，在△ACD中，ZCAD=j3-af所以由正弦定理得,

ACCD

sinasin(夕一a)

/•sina

可得AC=

sin(/7-a)

…c/《in/?sinaItanatanB

故选：D

11.（2021•江苏高一单元测试）如图，AABC中，AC=473.cosA="，。为AABC外一点，且

3

ZD=2ZA.DC=2,△BCQ的面积为4&，则AB=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

先利用同角三角函数的关系求出sinA的值，再利用二倍角公式结合NZ）=2NA可求出sin。,cos。的值，由

△BC。的面积为4、历，求出8。的值，在△BCQ中，利用余弦定理可求出8C的值，在AABC中，利用余

弦定理可求出AB的值：cosA=立，・•・sinA=^.又ND=2Z4,

33

sin£）=sin2A=2sinAcosA=2xx—=,

333

cosD-cos2A=2cos2A-l=2x—1=一’.故的面积

3

S=LcDxBDsinD=Lx2xBDx^!^=4母,解得BD=6.则在△8CO中，由余弦定理可得

223

BC2=BD2+CD2-2BD-CDcosD=62+22-2x6x2xl-^\=4S,得BC=4A/L

解法一：在AABC中，由余弦定理可得3c2=AC2+AB2-2AC-ABCOSA，即

48=（46『+.2—2X46XA3X*,得AB=8.

解法二：•••BC=AC=4K，所以AB=2ACCOSA=2X46X组=8.

3

故选：C

【点睛】

关键点点睛：求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利

用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的关系，具体解题思路：（1）把平面图形拆分成若干个三角形，然后在

各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，使用共同条件，求出结果.

12.（2021•江苏高一单元测试）在AABC中，B=一,C=——,AC=246,AC的中点为。，若长度为3的

412

线段PQ（尸在。的左侧）在直线上移动，则AP+OQ的最小值为

、病+2而回+3厢

2

,而+4行730+5710

一T~2

【答案】B

【解析】

先根据正弦定理求得BC,AB,以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据对称性和两点间的距离公式,

2屈_BC_AB

求得所求的最小值.由正弦定理可得F=7/3=V2+V4=6,AB=30+瓜

224

以BC所在直线为x轴，则A（0,3+百），P（«,0）,2（a+3,0）,。（^）

则AP+OQ表示x轴上的点P与A和（一3+J,的距离和，

利用对称性，（一等8,柠巨）关于x轴的对称点为E（—带叵，—柠8），

可得AP+DQ的最小值为4£=回+3匹

2

【点睛】

本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查距离和的最小值的求法，考查坐标法，属于中档题.二、多选题

13.（2021•江苏高一单元测试）在AA8C中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）

A.b=7,c=3,C=30°B.b=5,c=4,8=45°

C.a=6,6=36，8=60°D.a=20,b=30,A=30°

【答案】BC

【解析】

利用正弦定理，结合三角形个数的判断，判断各选项的正误.解：对于A,：b=7,c=3,C=30。，

7xl

7

二由正弦定理可得：.DOsinC2无解；

c36

对于B,h=5,c=4,8=45°,

由正弦定理可得：.「csinB4xv2V2,,且c<b,有一解；

h55

对于C,b=36,8=60。，

£6

，由正弦定理可得：.人^sinB214cco，此时C=30。，有一解；

sinA=------=----告-=1,A=90

b3A/3

对于。，Va=20,*=30,A=30。，

由正弦定理可得：.口bsinA531,且。则力sinA<a</?,

sinB=------=-----=一<I

a204

有两个可能值，即有两解，

故选：BC.

【点睛】

易错点睛：利用正弦定理判断三角形解的个数时需要注意：

(1)正弦值的范围：(0,1)；

(2)利用正弦定理求解出正弦值e(O,l)后，注意结合“大边对大角，小边对小角”对结果进行取舍.

1T

14.(2021•江苏苏州市•高一期中)在AAHC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=一,8c边上的高

4

等于巴，则以下四个结论正确的是()

3

.—2x/5n.3「\/10c*4anb22a~

A.cosC=----B.sinA=----C.tanA=3D.b-c=—

5103

【答案】ABD

【解析】

根据条件可以求得a，C,间的关系，结合正弦定理，余弦定理边角互化得到其余角或边的关

a

系：.03aV2,

sinB=—=—=——

c3c2

••c=---a，

3

2

a2+

a+Cb

由余弦定理知：co^B=~=

2ac2a.也a'2

3

解得22j2i

b=^a，b-c2

--3--a=—af选项D正确;

3IJ3

由正弦定理有：sinB=—sinA=—.则sinA=2叵，选项B正确;

3210

易知c=典匕，B=~,则C＜工nA＞工，

5442

tanA=—3,选项C错误.

..nV2Vs2旧耕饰ATpjft

sinCr-------sinB=-----------=——=＞cosC=------，述项A止确；

55255

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：利用正弦定理，余弦定理边角转化，求得边角关系.

cosBb3P

15.（2020•全国）在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知-----=-------,S.=—

cosC1a-cfARcr4

且b=y/3，则（）

]A/3

A.cos6=2B.cosB=—C.a+c=>/3D.a-\-c-2\/3

【答案】AD

【解析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简上*=—^—,结合sinA/0,可求COS8=L,结合范围

cosC2a-c2

3e（0,〃），可求8=（,进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得

..cosBhsin3

a+c=r2.♦==，

“十c八/cosC2a—c2sinA-sinC

整理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,

可得sinBcosC+sinCeos8=sin（3+C）=sinA=2sinAcosB,

TA为三角形内角，sinAwO,

，COS8=1,故A正确，B错误,

2

BG（0,7V）,

••产

S&ABC=,且"=3,

,3731.D1G6

,,---——cicsinID——x6/xcx—=—ac，

42224

解得公=3,

由余弦定理得3=cr+c~—cic=(a+c)~-3ac=(a+c)—9,

解得a+c=2有，故C错误，D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

16.(2021•江苏苏州市•星海实验中学高一月考)对于三角形A8C,有如下判断，其中正确的判断是()

A.若siMA+si^SVsidC,则三角形ABC是钝角三角形

B.若A>8,sinA>sinB

C.若a=8,c=10,8=60。，则符合条件的三角形ABC有两个

D.若三角形ABC为斜三角形，则tanA+tan8+tanC=tanAtanBtanC

【答案】ABD

【解析】

对于A,先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小；对于B,由三角形中

大角对大边，再结合正弦定理判断：对于C,利用余弦定理求解即可；对于D,利用三角函数恒等变换公式判断

对于A,因为siMA+si/BVsidC,所以由正弦定理得a2+/j2<c2,所以cosC=——<0,所以。为

2ab

钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；

对于B,因为A>B,所以a>b,所以由正弦定理得sinAAsinB,所以B正确；

对于C,由余弦定理得，b1=cr+(T-2izccosfi=64+100-2x8xl0x^=84,所以。=2j^i，所以符

合条件的三角形ABC有一个，所以C错误;

tanB+tanC

对于D,因为tan(8+C)=

1-tanBtanC

所以tanB+tanC=tan(B+C)(l-tanBtanC)

因为tan(3+C)=tan(4—A)=—tanA,

所以tan5+tanC=tan(B+C)(l—tanBtanC)=tanAtanBtanC-tanA,

所以tanA+tanB+tanC=tanAtan3tanC，所以D正确，

故选：ABD

三、填空题

17.（江苏省张家港市2020-2021学年高一下学期期中数学试题）己知对任意平面向量而=（x,y）,把而绕其

起点沿逆时针方向旋转。角度得到向量衣=（xcos。-ysin（9,xsine+ycos。）,叫做把点B绕着A沿逆时针方向

旋转。角得到点P.而=0,、国沿顺时针方向旋转已得到的向量而=.

【答案】（6,1）

【解析】

先根据题意分析出。=-看，代入即可求解.而=（1,6卜分顺时针方向旋转看，相当于逆时针方向旋转

0=--,

6

按照题意：

AP=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos，)

故答案为：（、回,1）

【点睛】

方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.

57r7i

18.（2021•江苏高一单元测试）在AABC中，若AB=2，NB=—,ZC=-,则BC=.

124

【答案】娓

【解析】

由内角和求得A,然后由正弦定理求得3C.A=7v-B-C=7t----=-

1243f

由正弦定理得也=匹，所以BC=—=*=".

sinCsinAsinCsin^

.4

故答案为：y/6•

19.（2021•江苏扬州市•扬州中学高一月考）己知在△ABC中，。是的中点，5c=4,AD=2贬,

71

NABC=—,则△ABC的面积为.

4

【答案】26+2

【解析】

首先在△A3。中，利用正弦定理求再求sin/BZM,最后根据面积公式求解.在△A5Z）中，由正弦

BDAD171

定理得,解得sinN8A£)=—,故NBAD=—

sinNBADsinNABD26

近

sinZBDA=in(ZBZBAD)=sin-cos-cos-sin-=R+

S++4

所以SAAB。=^BDADsinABDA=6+1,由。为BC的中点所以SAABC=2sA谢=2上+2.

故答案为：2百+2

20.（2019•江苏南通市•高一月考）已知圆内接四边形ABCD中，A8=2,8C=6,AO=C£>=4,则四边形

A3CZ）的面积为.

【答案】86连接8。,圆内接四边形对角互补，A+C=7U,利用余弦定理,

得62+42-2x4x6cosC=22+42-2x4x6cos(^-C),

1„712万

cosC=—,0<C<zr,.,.C=—,4=—,

233

四边形面积S=—x6x4xsin60°+—x4x2xsin120°=8V3.

22

故答案为：8省.

21.(2021•江苏高一单元测试)费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120。

时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相

等，均为120。.已知△ABC的三个内角均小于120。，P为AABC的费马点，S.PA+PB+PC=3,则AABC面积的

最大值为.

【答案】巫

4

【解析】

运用基本不等式推得B4.PB+以.PC+P8/CW3,再由费马点的性质，结合三角形面积公式可得面积最大值.解析..目

=(PA+PB+PC)2=F!A2+PB2+PC2+2(PA-PB+PA-PC+PB-PQ>3(PA-PB+

PAPC+PBPC),：.PA-PB+PA-PC+PB-PC<3.：.S^ABC=^PA-PB+PA-PC+

PBPC)sinl20°<—,当且仅当%=PB=PC时，等号成立.

故答案为：空.

4

【点睛】

(1)在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②

从式子结构来选择；

(2)运用基本不等式求最值是求最值问题中常见的思路.

22.(2020•江苏连云港市•赣榆一中高一月考)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

(Z?+c):(c+fz):(a+/?)=4:5:6,给出下列结论：

①AABC的边长满足28=a+c；

②A从急>0；

④若》+c=8,则△ABC的面积是叵，

4

其中正确的结论序号是.

【答案】①④

【解析】

7531

由已知可设。=一左为=二左,。=二左，即可判断①；由余弦定理可得cosA=一—<0,即可判断②、③；求得

2222

8=5,c=3后，由三角形面积公式即可判断④.由已知可设8+c=4%,c+a=5左,。+8=6%（攵>0）,

753

则a=—%/=—k,c=一Z,

222

73

对于①，a+c=-k—k=5k=2b,故①正确；

22

25,9口49,

>22_2—k2H—k----k2]

对于②，由余弦定理可得cos4=--=幺=/----J~/一=--<0,

2"2x2k2

22

所以A从=/?ccosA<0，故②错误；

对于③，由cosA=—,Ae（0,4）可得A=—丰-----------n,故③错误；

2''37+5+3

53

对于④，若。+c=8,则一Z+二4=8,解得A=2,所以b=5,c=3,

22

又A=所以=LbcsinA=LX5X3XY^=史叵，故④正确.

故答案为：①④.

【点睛】

本题考查了余弦定理、三角形面积公式及平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中

档题.

23.（2020•江苏南通市•启东中学高一开学考试）在RdABC中，已知NC=90。，CDA.AB,垂足为。.若AC：BC

=3：2,则BD：AD的值为.

【答案】4:9

【解析】

（、2

先根据射影定理得到CB?=BDAB，再整理得到变=（生]，最后求出BO：AD的

AD

值即可.解：因为NC=90。，CDJ.AB,

所以AC2=AOA8，CB?=BDAB，

所以翳号霹

因为4C：BC=3:2,

8/fc4

所以■i-

一----

AVIAc9

故答案为：4：9

【点睛】

本题考查射影定理，是基础题.

24.（2020•江苏南京市•金陵中学高一期末）如图，三个全等的三角形△ABE，ABCD,VC4E拼成一个等边

三角形ABC,且△£＞石厂为等边三角形，若EF=2AE,则tanNACE的值为.

【答案】2

7

【解析】

首先设AE=x,NCBD=ZACE=6,ACBD中,CD=AE=x,BD=3x,ZBCE=60-ZAC£=60-，

利用正弦定理表示tanZACE的值.设AE=x,EF=2AE=2x,

因为三角形“W/，ABCD，VC4七互为全等三角形，且AABC是等边三角形，

所以NCBZ）=ZACE=e，CD=AE=x,

B£>=AF=AE+即=3x，且ZBCE=60-ZACE=60-8,

CDBD

在汨中，根据正弦定理有

sinNCBDsinZBCD

x_3x

所以sin。sin（60°-6）'

所以3sin。=sin(6(X—。)=-^cose-；sine，

7.V3八sin^3

即Hn一sm6=——cos6，tan8=------=——•

22cos67

故答案为：昱

7

【点睛】

本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题型.

25.(2020•江苏省海州高级中学高一月考)在8c中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,已知

asin12--hsin2—=-,且a—h=4,AABC的最大内角为120°,则AA5c的面积为.

【答案】今叵

4

【解析】

由三角恒等变换和正弦定理，求得a+8=2c；再根据题意求得&是最大边，A是最大的内角；利用余弦定理求

BAC

出c、Z?的值，计算△ASC的面积.△ABC中，由asin?—F/?sin~—=—，

222

1-cosB,1-cosAc

所以-------+b・-------=-,

222

由正弦定理得sinA(l-cos8)+sin8(1—cosA)=sinC；

又sinC=sin(A+B),

所以sinA-sinAss8+sin4-cosAsin8=sinAcosB+cosAsin8,

所以sinA+sin5=2(sinAcosB+cosAsinB)=2sin(A+B)=2sinC,

即sinA+sinB=2sinC；

再由正弦定理，得a+b=2c；

又。一。=4,所以。=c+2,b=c-2；

所以。是最大边，A是A43c中最大的内角，

则4=120。，

222

由余弦定理得a=b+c-2AcosA，

即(c+2)2=(c-2)2+c2-2(c-2)c4--),

2

解得c=5,所以匕=3；

所以AABC的面积为必死=卜。疝4=93乂5*[=苧.

故答案为：比8.

4

【点睛】

本题考查了三角恒等变换公式、正弦定理和三角形的面积应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

26.(2020•江苏淮安市•淮阴中学高一期末)AA6c的内角A，B,C的对边分别为。，b,C,其中。=2,

若(sin8+sinC)2-sin2(B+C)=3sinBsinC,则AABC面积的最大值是.

【答案】&

【解析】

根据卜布5+国11。)2—5抽2(5+。)=35由35皿。，利用正弦定理得到。2+。2_/=bc,再利用余弦定理

7T

求得A=—,然后由余弦定理结合基本不等式得到be44,再利用三角形面积公式求解.因为

3

(sinB+sinC)2-sin2(B+C)=3sinBsinC

所以(He)?-a?=3bc,即以+c2-02=bc，

因为Ae(0,万),

冗

所以A=一,

3

由余弦定理得：cc=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc>bc>

所以匕c<4,

所以^AABC=gbesinA<y/3,

故AAHC面积的最大值是百，

故答案为：乖)

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

27.（2020•江苏省祁江中学高一期中）2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的

军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目.飞行员高超的飞行

技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析.一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以720千米

/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到

该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30'，则直升机飞行的高度为千米.（结果保留根号）

地面''、息《二一”

观测站

【答案】空

5

【解析】

根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得.如图,

根据己知可得ZABF=60°,ZCBF=75°,NCBD=30°,

设飞行高度为x千米，即CO=x，则8c=Gx

在直角三角形中，NCBF=75°,8C=Jir,所以CF=Jixsin75°，B/=Gxcos75°;

在直角三角形A3产中，同理可求AF=3xcos750；

因为飞行速度为72近千米/小时，飞行时间是1分钟，所以£0=4。=%也=逑，

605

所以AF+b=JIrsin750+3jccos75°=g^，解得》=友，故答案为毡.

555

【点睛】

本题主要考查以现实问题为背景的解三角形问题，准确理解方位角是求解本题的关键，融合了简单的物理知识,

侧重考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.

717tn

28.（2021•江苏高一单元测试）如图，在平面四边形ABC。中，ZBAC=ZADC=—,NABC=—,ZADB=—,

2612

则tanZACD^

【答