2020-2021学年高一数学下学期第一次月考模拟试卷一（江苏专用）解析版

sa2020.2021学年高二数学下学期月考模拟试卷一

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.下列命题中正确的是（）

ULIUUUUUUUUUlULIU

入OA-OB=ABB.AB-BA=Q

UUUUUUUUUUUUUUU

C0AB=0D-AB+BC-DC=AD

【答案】D

UUUUUuu

【解析】对于选项A,OA-OB^BA'故A错误;

对于选项B,A8-5A=-8A—84=-284，故B错误；

UUU1

对于选项C,0.AB=0，故c错误；

UUUUUUUUUlUUIUUUUUUU,,,,

对于选项D,AB+BC-DC^AC+CD^AD>故D正确•故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题.

2.已知：a,夕均为锐角，tana=gtanfi=；，则a+Q=（）

7t7171

A.-B.-C.一

643

【答案】B

【解析】由于％夕均为锐角，〃〃也=3，

7T冗

所以0〈0+/7<5+万=）.

所以痴（a+尸）=丁吗=若”

1-taiwctanp

-6

71

所以a+〃=N•故选：B.

【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力

及思维能力，属于基础题.

3.已知向量M二(九一1),b=(3,—4)»月.111=1,则()

A.-4B.1C.4D.7

【答案】C

【解析】因为|R=1,所以机=0,

所以M-5=0x3+(—l)x(T)=4,故选：C

【点睛】本题考查了平面向量的模公式以及平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.

4.若在口45。中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,A=60°，a=2娓,匕=4,则3=()

A.45°或135°B.135°

C.45°D.以上都不对

【答案】C

【解析】在口ABC中，由正弦定理可得，一=」一得2^_=_一,

sinAsin8sin60°sin8

解得sin8=，Z,因为b<a,所以3cA,所以3=45。，故选:C.

2

【点睛】本题考查了正弦定理，属于基础题.

5.已知a是第四象限角，且sina=—或，则cos(2a+X1=()

5I4；

A0R6c772D7近

10101010

【答案】D

【解析】因为a是第四象限角，且sina=-亚，

5

所以cosa>

5

所以sin2a=2sinacosa=——，cos2a-2cos?a-1=一

所以cos26z+—^=cos2«cos--sin2«sin—=^^(-+—)=-^^-.故选：D

(4)4425510

【点睛】本题考查了由同角三角函数关系求出8sa,利用二倍角公式求出cos2%si〃2a,代入两角和余

弦公式求解即可,属于基础题.

6.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值

也可以用2sinl8°表示.若实数〃满足4sin218°+"=4,则"'二()

8??2sin218

「好D6

A.x_z•---------JLz•---------

442

【答案】A

【解析】根据题中的条件可得

1—sinl8°_1—sin18。_l-sinl8°_l-sinl8°

8n2sin218°一8sin218°(4-4sin218°)-8sin218°x4cos218°-8sit?36°

l-sinl8°l-sinl801

1—cos72°4（1—cos720）4-故选：A.

''

【点睛】本题考查了以数学文化为背景，涉及二倍角公式、三角诱导公式，属于基础题.

7.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示,

口ABC满足“勾三股四弦五”，其中股A8=4,。为弦BC上一点（不含端点），且△A3。满足勾股定理,

贝Deos〈通，而>=（）

34

A.B.一

55

35

C.D.—

412

【答案】A

【解析】由题意可知4DLBC,所以根据等面积转化可知|刚x|AC|=|Bqx|Aqo4x3=5x|A£)|,

,.12—­―./―.—.X—.―.2―.—.ABADAD\AD\3

解得AO=—ABAD={AD+DB)AD=AD,cos<AB,AD>=....=——；=J~

5、>何叫明《西45

故选:A.

【点睛】本题考查了以数学文化为背景,首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长，再根据向

量数量积公式转化，并计算cos〈荏，旗〉的值,属于中档题.

8.己知M是口ABC内的一点，且通.而=46，N84C=30°,若口儿睡口0C4和的面积分

19

别为1,x,y,则一+一的最小值是（）

xy

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【解析】由福•衣=46，N8AC=30°,

可得|通,前卜8,故SMC=||AB|-|XC|-sinABAC=2,

即x+y+l=2,x+y=l,且X>0,y>0,

19.19、，、y9x1八Jy9%［八］右

故—।—=(—।—)•(x+y)=—।-----F10>2/----------1-10=16,

xyxyxyVxy

y9x

当且仅当上=——，即y=3x时取等,

故答案为：16.

【点睛】本题考查了平面向量数量积、三角形面积公式以及利用基本不等式求最值，属于中档题.

二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列各式中，值为丑的是（）

2

1+柩〃15°

A.2s加15°cosl5°B.

2(1-315。)

31am50

C.1-2s加215°D.

1-ran215°

【答案】BCD

【解析】对于选项A,2s加15°cos15°=sin30°=—

2

■旧

\+tanl5°tan45°+tanl501

对于选项B,---------------------------------二-tan(45°+15°)=-ton60°=^-

2(1—山〃15。)2(l-ton45otonl50)2

对于选项C,1-2sin2\5°=cos300=—

2

»二,正记八3柩〃15°32tan1503ono&

对于选项D,---------——=-------------——二一・必〃30°二二一.

\-tarr\5021-Ztzn215022

值为3

的是BCD,故选：BCD.

2

【点睛】本题考查了三角函数的化筒求值，考查二倍角公式的应用，属「基础题.

品,则（

10.已知向量m=(1,0),n=)

A.|m|=V2|^|B.(m-n)//n

D拓与元的夹角为:

C.(m—n)±/i

【答案】ACD

【解析】V^=(1,0)，n=

2

••|m|=1>|也.

n|=52，

•,*|m|=A/2I〃I，故A正确;

4_j_

*/m-n=J，-2

肩一3与［不平行，故B错误;

又(〃?一〃)•〃=(),C正确;

mn_y/2

*.*cos(m,li)-，又〈〃4ri)G[0,7r],

|加|2

兀

；•加与”的夹角为一，D正确，故选：ACD

4

【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量平行与垂直的判定以及夹角公式，属于基础题.

11.下列命题中，正确的是（）

A.在中，若A>B,则sin/l>sinB

B.在锐角三角形46C中，不等式sin4>cos6恒成立

C.在笫中，若acosA=bcosB,则△力比'必是等腰直角三角形

D.在中，若460°,S=ac,则必是等边三角形

【答案】、ABD

ab

【解析】对于选项A,在成■中，由正弦定理可得一一=一-所以sinJ>singa>gA>B,故A

sinAsinB

正确;

对于选项B,在锐角三角形ABC中",8£（0,5）,且A+B>—t则1~>力>1■一反>0,所以sinJ>sin^——

=cos8故B正确；

对于选项C,在△47。中，由acosA=bcosB,利用正弦定理可得sin2J=sin26,得至lj2力=24或2A=n

一28故力=8或力=>1•一用即△/!/'是等腰三角形或直角三角形，故C错误；

对于选项D,在△力8c中，若8=60°,6=ac,由余弦定理可得，Z?J=a+c-2accosB,所以ac=d'+/

—ac,即（a—c）2=0,解得a=c.又8=60°,所以△/1比必是等边三角形，故D正确.故选:ABD.

【点睛】本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查了三角形形状的判定,属于基础题.

12.下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A.设3,B为非零向量，则“入片是平+闸=口一冲’的充要条件

B.设2,否为非零向量，若2%〉0，则坂的夹角为锐角

rrrrrr

C.设Z，b,"为非零向量，则（a.》）c=a..c）

D.若点G为口ABC的重心，则说+四+k=。

【答案】AD

【解析】对于选项A,因为归+q=户一万|<=>（£+万>=（a-b）2<^>a-b=O

所以“a工5”是“归+囚=J--©”的充要条件，A正确；

对于选项B,若£出〉0,则Z，B的夹角为锐角或零角，B错误；

对于选项C,（如制；表示与"共线的向量，表示与£共线的向量，所以两者不一定相等，故C错

误；

对于选项D,如图，设BC的中点为。，因为G为口ABC的重心，

所以而=2也=9+%，即乱+既+觉=6,D正确.

故选：AD

G

BD

【点睛】本题考查了平面向量的应用，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

4

13.已知a为第二象限的角，sina=—,则tan2a=_

【答案】y

4

【解析】〈a为第二象限的角，且sina=g,

coscr=—Jl—sin2a=——,得tana—.

5cosa3

_8

2tana324

tan2a=------5—=—==——.

X-tan^a上37

~~9

24

故答案为：—.

【点睛】本题考杳了三角函数的化筒求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角的正切，属于基础题.

14.若三点A（2,2）,3（。,0）,C（。力）（。>03>0）共线，则G+方的最小值为

【答案】8

【解析】因为三点A（2,2）,8（。,0）,C（。⑼（。>08>0）,丽=（2—兄2），国=（2,2—力，

所以丽与乱共线，所以（2-。）（2-力-4=0,则2（々+〃）=必

因为2（4+加=a/?W（"："）-，当且仅当a=b时等号成立,

又a>0,b>0,故解得a+bN8,所以。=8=4时，a+b的最小值为8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查/由：点共线得出6关系，然后山基本不等式求最小值，属于基础题.

LUJLU4

15.如图，在四边形A8CQ中，ZB=60°,AB=2,BC=6,且他=应-而.而=一2则实数力的

.UULUli

值为.,若M,N是线段8C上的动点，且机顼=1,则丽・丽的最小值为

D

BM

【答案】；7

UUIUUUU1UUIUuuu

【解析】因为AT>=4BC，所以AD//8C，

因为N8=60°,所以NBA。=120。，

所以而•荏=|和川丽|cosl20。

=-^2|BC|-|^B|=-12X6X2=-2=>2=1；

建立如图所示的坐标系xoy,

因为NB=60°,AB=2,BC=6,

可得A(0,@,O(2,®,

iUUUU.

设〃(加,0),因为悭N|=1,则N(W+1,()),

所以丽7=(m,一6)，两

AM-DN=m[m-\]+{j3^=m2—7774-3=+s

44

当m=2.时等号成立，

2

所以丽乙丽的最小值为一，

故答案为：—.

34

【点睛】本题考查了建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积,属于中档题.

16.在锐角口48。中，a2-b2=bc>则」-----1+2sinA的取值范围为.

tanBtanA

【答案】(W，3

【解析】•«,a2-b2=bc<利用余弦定理可得：b2+c2-2bccosA-b2=bc'

HPc2-2bccosA-bc>c-2bcosA=b

由正弦定理可得：sinC—2sinBcosA=sin6,sin(A+5)-2sinScosA=sin5,

即sinAcos8-sin5cosA=sinB,即sin(A-B)=sinB

乂DABC为锐角三角形，=即A=2B

7t

0<2B<-

2Tl,7t

—<B<——<A<—

兀6432

0一38<一

2

„11c•.sin(A-B).sin(2B-B).1.

Q------------P2sinA=----------F2sinA=-----------F2smA=-----i-2smA

tanBtanAsinBsinAsinBsinAsinA

,n.7iJ3

又；7<A<7，,•1——<sinA<1

322

☆r=sinA曰<r<l),则/(/)=；+2/当

山对勾函数性质知，/⑺=；+2/在rG苧,1上单调递增,

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等变换以及利用对勾函数性质研究取值范围，注意角的

范围，属于梢难题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量a=(1,2),b=(—3,k).

(1)若二〃)，求w的值；

(2)若Z_!_(£+26)，求实数女的值;

(3)若3与B的夹角是钝角，求实数出的取值范围.

i3

【答案】(1)375(2)k=-(3)kV—且左7-6.

、42

【解析】(1)因为向量3=(1,2),石=(—3,4)，且二〃力，

所以lx%—2x(-3)=0,解得1=一6,

所以忖=3)-+(-6)-=3卡；

(2)因为2+2石=(—5,2+2攵)，且［“£+24，

所以lx(—5)+2x(2+2&)=0,解得出=；；

(3)因为£与石的夹角是钝角，则25Vo同i与B不共线.

Q

即1x(—3)+2xZV0且R声一6,所以k<］且左。一6.

【点睛】本题考查了平面向量坐标运算的加减、数乘，平行、垂直的坐标表示，还考查了两向量夹角为钝

角，转化为数量积小于零且不共线的问题，属于基础题.

18.如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20

千米和50千米，某时刻，8收到发自静止目标尸的一个声波信号，8秒后4C同时接收到该声波信号，

已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.

(1)设A到P距离为无千米，用》表示8、C到尸的距离，并求”的值；

(2)求P到海防警戒线AC的距离.

【答案】(1)x=31；⑵4幅

【解析】(1)依题意，有PA=PC=x,PB=x-1.5x8=x-12.

，An.niADcc/n.n+AB2-PB2%2+2Q2-(x-12)23x+32

在△PAB中，AB=20，cosNPAB=---------------=---------------—=------，

2PAAB2x-205x

222222

同理在APAC中，AC=50,cosN尸AC=P4+AC~-=PC=x+50-Lx=‘25

2PA-AC2x-50x

VcosZ.PAB=cosZPAC,.・.弘+犯=里,解得：x=31.

5xx

25

(2)作尸O_LAC于。，在A4DP中，由cos/PAO=——

31

得sin/PAD=71-cos2ZPAD=生且，工PD=PAsin/PAD=31x拽1=千米.

3131

故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4&T千米.

【点晴】本题考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用

以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力以及逻辑推理与运算能

力，属于基础题.

19.已知sin(a+m)=——><2€(彳,左).

4102

(I)求COS2的值；

(II)求sin(21一工)的值.

4

【答案】(I)--；(II)-IZ^.

550

TT

【解析】(1)由sina+-一也得，即sina+cosa=M.①sin?a+cos2a=1②

l4~10

34(713

山①②解得cosa=-《或cosa=因为aE|一，7C,所以cosa=-y

\兀34

(11)因为aw1/,兀cosa=--,sina=

5

42427

sin2a=2sinacosa=2x—x-cos2a=2cosa-l=2x

525

17m

sin2a--=sin2acos——cos2asin一

I4)4450

【点晴】本题考查了同角三角函数基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基

础题.一般sina+cosa,sina-cosa,sina*cosa,这三者我们成为三姐妹，结合sii？a+cos2a=1，

可以知一求三，属于基础题.

20.在A48c中，满足题_L近，”是中点.

(1)若|福|=|而求向量福+2前与向量2瓶+〃的夹角的余弦值;

（2）若。是线段AM上任意一点，且|通|=|而|=应，求次・丽+反•砺的最小值.

41

【答案】(1)—；(2)——.

52

（而+2痔（2通+近）

【解析】（）设向量通+才仁与向量道+方的夹角为，

12226cos9=邓+2相12福+码，令

（2）•.•网=|同=四，.\|AM|=1,设网=尤，贝.西|1-X.

而关+戈=2战，所以诉（而+玩）=2方•西

I.当且仅当x=g时，丽•（而+玩）的最小值是一；.

=2图.|西cos万=2x2—2x=2x——

I2

八a

【点晴】本题考查了（1）由向量的夹角公式cos6=尸而可求；吃）设|词=元,则=1—X,

\a\\b\

UUUUUUUUL1_,.,,

OB+OC=2OM，由此可用犬表示出OA-O3+OC-OA，从而可得最小值，属于中档题•

21.已知g>0,1=(J3s\ncox.-coss),b=(coscox,cos5),/(x)=a-5,x"?是y=/(x)-;的其

中两个零点，且k1-w|min="

（1）求〃x）的单调递增区间;

(2)若ae]。,]]"—J=—,求sin2a的值.

--+^,-+^KeZ)；(2)2叱、

【答案】（1）

63Jv50

立sin2s-1+cos2s

【解析】(1)/(x)=6sin0xcos«yx-cos%x=

22

—sin2<yx--cos2<yx—工=sinj25一生]一工

222I6j2

•.•%,工2是函数3;=/（犬）一1=5足|2血一看）-1的两个零点,

即加当是方程sin2ox—2=1的两个实根,且归_%L=%

21

:.H二冗、/.269=—=2,贝！J切=

71

.•./(x)=sin(2x-^)一；

2

TTTTTTTTTT

令---F2k冗<2x-----4—F22乃，kGZ,得-----Fkjt<xW—Fk?i、kGZ.