2023年山东省泰安市宁阳县中考数学一模试卷含解析

第第页2023年山东省泰安市宁阳县中考数学一模试卷（含解析）2023年山东省泰安市宁阳县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各数，，，，中，负数的个数有()

A.个B.个C.个D.个

2.下列计算正确的是()

A.B.

C.D.

3.如图是从上面看由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的图形，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则从左面看这个几何体的图形是()

A.B.C.D.

4.为了提升学生的人文素养，某校开展了朗诵经典文学作品活动，来自不同年级的名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数和众数分别是()

A.分，分B.分，分C.分，分D.分，分

5.实外教职工篮球赛于月日开赛，某年级代表队名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是()

年龄单位：岁

人数

A.，B.，C.，D.，

6.已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转点不与，重合时，给出以下个结论：；是等腰直角三角形；；；上述结论始终正确的有()

A.个B.个C.个D.个

7.用配方法解一元二次方程，则方程变形为()

A.B.C.D.

8.我国古代数学名著张邱建算经中记载：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为()

A.B.

C.D.

9.若抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则所得到的新抛物线的解析式时()

A.B.C.D.

10.如图，是的直径，与交于点，弦平分，，垂足为若的半径为，，则线段的长为()

A.

B.

C.

D.

11.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论：

平分；；是的中点；；

，其中正确的有()

A.个B.个C.个D.个

12.如图，在中，，，，为边上一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.计算：______．

14.已知港口位于观测点北偏东方向，且其到观测点正北方向的距离的长为一艘货轮从港口沿如图所示的方向航行到达处，测得处位于观测点北偏东方向，则此时货轮与观测点之间的距离的长为______．

15.如图，在中，直径，切于，交于，若，则阴影部分的面积为______．

16.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．

17.如图，矩形纸片中，，，点、分别在、上，将、分别沿、翻折，翻折后点与点重合，点与点重合当、、、四点在同一直线上时，线段长为______．

18.根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

先化简，再求值：，其中．

解不等式组：．

20.本小题分

某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别

类型足球羽毛球乒乓球篮球排球其他

人数

根据以上信息，解答下列问题：

被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有______人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为______

被调查学生的总数为______人，其中，最喜欢篮球的有______人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为______

该校共有名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数．

一个不透明的袋子中有三个完全相同的小乒乓球，把它们分别标号为，，，小明从中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，求两次摸出的小球标号的和是偶数的概率．

21.本小题分

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

求一次函数和反比例函数的表达式．

根据图象，直接写出满足的的取值范围．

若点在线段上，且：：，求点的坐标．

22.本小题分

已知：如图，在中，，于点，点为上的一点，且，连结并延长交于点，连结．

求证：；

判断与的数量关系和位置关系，并给出证明；

求证：．

23.本小题分

在边长为的正方形中，点是射线上一动点，与相交于点，或其延长线与或其延长线相交于点，是的中点，连结．

如图，当点在边上时．求证：≌；．

如图，当点在的延长线上时，中的结论是否成立？请写出结论，不用证明．

试问当点运动到什么位置时，是等腰三角形？请说明理由．

24.本小题分

综合与实践

如图，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，，垂足为．

【证明与推断】

四边形的形状是______；

的值为______；

【探究与证明】

在图的基础上，将正方形绕点按顺时针方向旋转角，如图所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；

【拓展与运用】

如图，在的条件下，正方形在旋转过程中，当、、三点共线时，探究和的位置关系，并说明理由．

25.本小题分

如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴的另一交点为，与轴正半轴交于点，其顶点为，抛物线的对称轴与相交于点，与轴相交于点．

求抛物线的解析式及对称轴．

抛物线的对称轴上存在一点，使得，求点的坐标．

连接，在抛物线上是否存在一点不与点重合，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，是负数，共有个，故B正确．

故答案为：．

根据负数的定义进行解答即可．

本题考查了负数的定义，掌握负数的定义是关键．

2.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C符合题意；

D、，故D不符合题意；

故选：．

利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．

本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】

【解析】解：由题意知，从左边看从左到右第一列是个小正方形，第二列是个小正方形，第三列是个小正方形，

这个几何体的左视图为：

故选：．

根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图，重点是对空间观念的考查．

4.【答案】

【解析】解：由统计图得，出现了次，出现次数最多，

所以数据的众数为分；

共有个数，最中间的两个数分别为，，

所以数据的中位数为分．

故选：．

利用众数和中位数的定义求解．

本题考查中位数、众数的意义，众数就是一组数据中出现次数最多的数，中位数则是将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数．

5.【答案】

【解析】解：由表格可得，

众数是，

年龄按照从小到大，第个数据是，第个数据是，则中位数为，

故选：．

根据表格中的数据，可以直接写出众数，然后再找出第个数据和第个数据，计算出这两个数据的平均数，即可得到中位数．

本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，会找一组数据的中位数和众数．

6.【答案】

【解析】解：，，

是等腰直角三角形，

点为的中点，

，，

是直角，

，

，

在和中，

，

≌，

，

当点不是的中点时，，

此时，

故错误；

，，

为等腰直角三角形，

故正确；

≌，

，

，

，

故正确；

根据等腰直角三角形的性质，，

所以，随着点的变化而变化，只有当点为的中点时，，

故错误；

，，

，

当不是的平分线时，，

此时，

故错误；

故正确，

故选：．

证明≌得，当点不是的中点时，，由此判断；

由全等三角形性质得，，，则为等腰直角三角形，判断；

由≌，得，进而得，可判断；

根据等腰直角三角形的性质，，根据随着点的变化而变化，只有当点为的中点时，，从而判断；

当不是的平分线时，，此时，由此判断．

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：方程，

移项得：，

配方得：，即．

故选：．

方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．

此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8.【答案】

【解析】解：共换了斗酒，

；

一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，拿斗谷子换了斗酒，

．

所列方程组为．

故选：．

根据“一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，拿斗谷子换清酒、醑酒共斗”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．

根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．

【解答】

解：抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，

新抛物线顶点坐标为，

所得到的新的抛物线的解析式为．

故选B．

10.【答案】

【解析】解：连接，过作于，

平分，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形，

，，

，

，

故选：．

连接，过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形是菱形，得到，，于是得到结论．

此题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的判定与性质定理及作出合适的辅助线是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：，，

，，

将绕点逆时针旋转，

，，，，，

，，

又，

四边形是矩形，

，，，

由旋转可得，

，

，，

≌，

，，，

平分，故正确；

，，

，

，

，，

，

，故正确；

如图，连接，

，

，

，

，，

，

，，

，，

，

，

点是的中点，故正确，

如图，过点作于，

，

∽，

，

，

，，

，

，，

，

，

，

，故正确；

，，

，

，

，故不合题意，

故选：．

由旋转的性质可得，，，，，通过证明四边形是矩形，可得，，，由“”可证≌，可得，，，可判断；由角的数量关系和等腰三角形的判定和性质，可判断；由相似三角形的判定和性质可得，由线段的和差关系可判断；由，可得，可判断，即可求解．

本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．

12.【答案】

【解析】解：连接，如图：

，，

，

，

四边形是矩形，

，

要使最小，只要最小即可，

当时，最短，

，，，

，

的面积，

，

即，

故选：．

先证四边形是矩形，得，要使最小，只要最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出即可．

本题考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．

13.【答案】

【解析】解：

．

故答案为：．

先计算二次根式的乘法和负整数指数幂，再算加减，即可解答．

本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：如图，过点作垂直于延长线于点，

在中，

，，

，

，

，

，，

，

则，

故答案为：．

过点作垂直于延长线于点，在中求得，在中求得、，利用勾股定理求得，根据可得答案．

本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得出的长是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：连接；如图所示：

是的切线，

，

，

，

，

，

是直径，

，

即，

，

，

，

．

故答案为：．

连接，先证，再证明，得出，阴影部分的面积等于的面积，即可得出结果．

本题考查了切线的性质和扇形面积的计算方法；证出阴影部分的面积的面积是解题的关键．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于的一元一次不等式．

由方程有两个不相等的实数根即可得出，代入数据即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．

【解答】

解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

解得：．

故答案为：．

17.【答案】

【解析】解：在矩形纸片中，，，

，，，

将沿翻折，翻折后点与点重合，

，，，

，

设，

，，

，

，

解得：，

，，

将沿翻折，翻折后点与点重合，

，，，

，

设，

则，

，

，

，

线段长为，

故答案为：．

根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，，由折叠的性质得到，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．

本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．

18.【答案】

【解析】解：观察图中的数字得出框中右下角的数字计算分别为：

，

，

，

，

所以在最后一个空格中填上适当的数字为：

，

故答案为：．

通过观察得出：，，，，为等差为的等差数列，则表格中，，，，根据此规律求解．

此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，此类型题应该仔细观察分析给出的数据，从而发现规律根据规律解题．

19.【答案】解：

，

当时，原式；

，

解不等式，得：；

解不等式，得：，

该不等式组的解集是．

【解析】先把除法转化为乘法，同时将分式的分子和分母分解因式，然后约分，再算加法，最后将的值代入化简后的式子计算即可；

先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．

本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．

20.【答案】

【解析】解：被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为，

故答案为：、；

被调查学生的总数为人，

最喜欢篮球的有人，

最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为，

故答案为：、、；

根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数为人，

列表得，

标号

所有等可能的结果数有种，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有种结果，

两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为．

根据表格和扇形图可直接得出答案；

由羽毛球人数及所占百分比可得总人数，总人数乘以对应百分比可得篮球人数，用足球人数除以总人数可得其所占百分比；

总人数乘以样本中排球人数所占比例即可；

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和扇形统计图．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：反比例函数经过，

，

反比例函数解析式为，

在反比例函数的图象上，

，

，

直线经过，，

，解得，

一次函数的解析式为；

观察图象，的的取值范围是或；

设，

：：，

：：，

即，

，

解得舍去，，

点坐标为

【解析】用坐标代入可得解析式，继而求出，用待定系数法求出一次函数解析式；

根据图象直接写出的的取值范围即可；

利用：：得出，设坐标利用勾股定理建立方程求出即可．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．

22.【答案】证明：，，

，

，

；

解：；；证明如下：

如图，

在和中，

≌，

，，

，

，

；

证明：过点作交于点，

，

即．

又，

，

在和中，

≌，

，

又，

．

【解析】根据可得；

利用证明≌，得，，从而说明与垂直且相等；

过点作交于点，利用证明≌，得，即可证明结论．

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】证明：四边形是正方形，

，，

在和中，，

≌．

≌，

，

又，是的中点，，

，

又，

，

，

，

；

解：成立；理由如下：

四边形是正方形，

，，

在和中，，

≌

，

又，是的中点，

，

，

又，

，

，

，

；

解：分两种情况：当点在边上时，

，要使是等腰三角形，必须，

，

，

，

，

；

当点在的延长线上时，同知．

综上，当戓时，是等腰三角形．

【解析】由正方形的性质得出，，由证明≌即可．

由全等三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出，由平行线的性质得出，因此，得出，即可得出结论；

同，即可得出结论；

当点在边上时，由，要使是等腰三角形，必须，得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出，得出；

当点在的延长线上时，同知；即可得出结论．

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．

24.【答案】正方形

【解析】解：正方形．

理由：如图中，四边形是正方形，

，，

、，

，

四边形是矩形，，

，

四边形是正方形，

，，

，

．

故答案为：正方形，．

结论：，

理由：如图中，连接由旋转可得，

四边形是正方形，

，，

为等腰直角三角形，

，

由得四边形是正方形，

，，

为等腰直角三角形．

，

，

∽