2023年福建省宁德市中考数学质检试卷含解析

第第页2023年福建省宁德市中考数学质检试卷（含解析）2023年福建省宁德市中考数学质检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的相反数是()

A.B.C.D.

2.如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是()

A.B.

C.D.

3.点在数轴上的位置如图所示，将点向左移动个单位长度得到点，则点表示的数是()

A.B.C.D.

4.下列运算正确的是()

A.B.C.D.

5.下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是()

A.B.C.D.

6.下列事件中，属于必然事件的是()

A.打开电视机，正在播放新闻B.翻开书，页码是偶数

C.购买一张体育彩票，能够中奖D.掷一枚质地均匀的骰子，点数小于

7.甲、乙两名同学在相同条件下次射击训练的成绩单位：环如图所示则下列叙述正确的是()

A.甲的平均数大，甲的方差大B.甲的平均数大，乙的方差大

C.乙的平均数大，甲的方差大D.乙的平均数大，乙的方差大

8.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为若，则此时云梯顶端离地面的髙度的长是()

A.B.C.D.

9.为落实“数字中国”的建设工作，一市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装相同数量的教室多用天求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装间教室，则列出的方程正确的是()

A.B.

C.D.

10.五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成按如图方式分割的一幅五巧板，若从中拿走一块，使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，则拿走的那块板的序号是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.计算：．

12.将一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则______．

13.计算：______．

14.某校午托服务提供、两种午饭套餐供学生选择，每位学生只能从中任选一种，甲、乙两位同学都选中套餐的概率是______．

15.如图，已知，，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，点的对应点是点若点落在射线上，则点到距离等于______．

16.已知抛物线的顶点为，交轴于点；抛物线的顶点为，交轴于点若，且以，，，四点为顶点的四边形为矩形，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

解不等式组：．

18.本小题分

如图，在矩形中，点，在对角线上，，求证：．

19.本小题分

若一组实数，满足：，则称这组数，为“和谐轮换数”．

下列两组数中，，是“和谐轮换数”的是______；填序号

，；，；

已知，，请说明，是“和谐轮换数”．

20.本小题分

为了落实国家教育数字化战术行动的有关精神，某校组织全体学生参加“信息素养提升”知识竞赛现从中随机抽取男、女学生各名的成绩进行分析，并绘制成如下不完整的统计表和统计图数据分为组：组：，组：，组：，组：，表示成绩，成绩为整数，其中女生成绩处于组的有人，成绩分别为：，，，，，，，，，，，．

男生信息素养知识竞赛成绩统计表

组别

男生人

请根据以上信息，完成下列问题：

抽取的男生成绩落在组的频率是______；抽取的女生成绩的中位数是______分；

从平均数的角度分析，竞赛成绩更好的是男生还是女生？每组中各个数据用该组的中间值代替，如的中间值为

该校有名学生，且男女生比例相当若及分以上的成绩记为优秀，估计该校在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数．

21.本小题分

如图，在中，，．

尺规作图：在和上分别确定点，的位置，使得是以为底边的等腰直角三角形；保留作图痕迹，不写作法

在的条件下，若，，求的长．

22.本小题分

某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩年该市投入资金万元，安装型充电桩个和型充电桩个；年又投入万元，安装型充电桩个和型充电桩个已知这两年安装、两种型号的充电桩单价不变．

求安装型充电桩和型充电桩的单价各是多少万元？

为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划年再安装、两种型号的充电桩共个考虑到充电容量等综合因素，决定安装型充电桩的数量不多于型充电桩的一半在安装单价不变的前提下，当安装型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？

23.本小题分

如图，为的半径，且，点为的中点，过点作交于点，，点在优弧上运动，将沿方向平移得到；连接，．

求的度数；

如图，当点在延长线上时，求证：是的切线．

24.本小题分

如图，点为矩形对角线的中点，直线过点，分别交，于点，，将矩形沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点，交于点，交于点，连接．

求证：；

求证：；

如图，连接交于点，连接判断，和的数量关系，并说明理由．

25.本小题分

已知抛物线与轴分别交于，两点点在点的左侧，与轴交于点直线经过点，与轴正半轴和抛物线分别交于，两点．

如图，当点的坐标为，且的面积为时，求该抛物线的表达式；

在的条件下，若，求的值；

如图，过点作轴于点判断的面积与的面积之间的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据概念，的相反数是．

故选：．

根据相反数的概念，求解即可．

本题考查了相反数的概念．

2.【答案】

【解析】解：是中心对称图形，故此选项符合题意；

B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：．

根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可．

本题考查的是中心对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．

3.【答案】

【解析】解：由题意可得，

点向左移动个单位长度得到点，

点代表的数字是：，

故选：．

根据数轴上点平移规律：左减右加，直接求取即可得到答案．

本题主要考查数轴，掌握数轴上点平移规律：左减右加是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：，故A错误，不符合题意；

，故B错误，不符合题意；

，故C错误，不符合题意；

，故D正确，符合题意；

故选：．

根据合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方法则，同底数幂的乘，除法法则分别判断即可．

本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．

5.【答案】

【解析】解：、，不符合题意；

B、，符合题意；

C、，不符合题意；

D、，不符合题意；

不在这个函数图象上的点是，

故选：．

由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与相等就可以了．

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

6.【答案】

【解析】解：由题意可得，

打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，故A不符合题意；

翻开书，页码是偶数，是随机事件，故B不符合题意；

购买一张体育彩票，能够中奖，是随机事件，故C不符合题意；

掷一枚质地均匀的骰子，点数小于，是必然事件，故D符合题意；

故选：．

根据事件定义逐个判断即可得到答案．

本题考查事件的定义：一定发生的叫必然事件，一定不发生的将不可能事件，可能发生的叫随机事件．

7.【答案】

【解析】解：甲的平均数，乙的平均数，

从折线图可以看出甲的波动比乙的大，所以甲的方差大．

故选：．

根据平均数的概念计算出平均数，从折线图可以看出甲的波动比乙的大，所以甲的方差大．

本题主要考查折线统计图，算术平均数，方差的知识，熟练根据折线统计图获取相应的数据是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：在直角三角形中，，

，

根据题意可得：，

；

故选：．

根据的正切可得，而，进而即可求解．

本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：由题意可得，

，

故选：．

根据乙公司安装间教室比甲公司安装相同数量的教室多用天列式即可得到答案．

本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．

10.【答案】

【解析】解：如图，

依题意可得，

剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，

取下来的是，

故选：．

根据仍要拼得正方形求解即可得到答案．

本题考查正方形的分割图，解题的关键是根据题意，确保剩下的四块板仍然能拼成一个正方形．

11.【答案】

【解析】

【分析】

主要考查了零指数幂的意义，即任何非数的零次幂等于．

根据零指数幂的运算法则进行计算．

【解答】

解：．

故答案为

12.【答案】

【解析】解：，，

，

故答案为：．

根据平角的定义求出即可．

本题考查了余角和补角、平角的定义，能根据图形和平角的定义求出结果是解此题的关键．

13.【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：．

由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．

本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

14.【答案】

【解析】解：根据题意画图如下：

所有等可能的情况有种，其中甲、乙两位同学都选中套餐的有种，

则甲、乙两位同学都选中套餐的概率为；

故答案为：：

画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出甲乙两人选择同款套餐的情况数，然后根据概率公式求解即可．

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】

【解析】解：过点作于点，

将绕点沿逆时针方向旋转得到，

，

，，

≌，

，

点到距离等于．

故答案为：．

过点作于点，由旋转的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：由题意可得，

当时，，当时，，

，，

当时，，当时，，

，，，

该四边形是、作对角线，

四边形为矩形，，

，即：，

化简得：，

解得，不符合题意，舍去，

故答案为：．

根据抛物线的性质分别求出，，，四点坐标，结合矩形性质列式求解即可得到答案；

本题考查二次函数的性质，矩形的性质，解题的关键是求出，，，四点坐标，并确定其位置，利用矩形性质列式求解．

17.【答案】解：

解不等式，得．

解不等式，得．

原不等式组的解集是．

【解析】先分别求出每个不等式的解集，再找出两个不等式解集的公共部分即可．

本题考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题型，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．

18.【答案】证明：四边形是矩形，

，，

，

在和中，

，

≌，

．

【解析】由矩形的性质可得，，由“”可证≌，可得．

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．

19.【答案】

【解析】解：当，时；

，；

，不是“和谐轮换数”；

当，时；

，；

，是“和谐轮换数”；

故答案为：；

，，

．

．

．

，是“和谐轮换数”．

根据“和谐轮换数”的定义计算判断即可；

根据“和谐轮换数”的定义解答即可．

本题是新定义问题，主要考查了整式的运算，正确理解“和谐轮换数”的定义、熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

20.【答案】

【解析】解：，

抽取的男生成绩落在组的频率是：，

女生成绩有小到大排列第，第个数据分别是，，

抽取的女生成绩的中位数是分，

故答案为：，；

男生成绩的平均数；分，

女生成绩的平均数分；

，

女生的竞赛成绩更好．

男生优秀人数：，

女生优秀人数：，

优秀人数是：．

答：估计该校在本次知识竞赛成绩优秀的学生人数有名．

先求出，再用的值除以即可求出抽取的男生成绩落在组的频率；关键中位数的意义确定抽取的女生成绩的中位数即可；

分别求出男生和女生的平均数，再比较作出判断即可；

分别估计出男生和女生的人数，再相加即可作出估计．

本题考查频数分布表，扇形统计图，加权平均数，中位数，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，以及从统计图表中获取有用信息是解题的关键．

21.【答案】解：如图，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，以适当长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，过点作，交于点，是以为底边的等腰直角三角形；

由作图可知：，

，

，

，

，

，

，

，

是以为底边的等腰直角三角形；

是以为底边的等腰直角三角形，

，，

，，

∽，

，

设，则，，

，

解得：，

的长等于．

【解析】以点为圆心，以适当长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，以适当长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，过点作，交于点，即为所求；先证，再证，即可得答案；

先证∽，得，设，则，，得，解方程即可得答案．

本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．

22.【答案】解：设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价万元，根据题意，

得，

解这个方程组，得；

答：安装型充电桩和型充电桩的单价分别是万元和万元．

设型充电桩安装了个，则型充电桩安装了个，投入的总费用为万元，根据题意，得

．

解这个不等式，得．

投入的总费用．

，

，

随增大而减小，

为正整数，当取最大值时，的最小值为万元．

答：当型充电桩安装个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为万元．

【解析】设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价万元，根据题意即可列出关于、的方程组，解方程组即可求出答案；

设型充电桩安装了个，则型充电桩安装了个，投入的总费用为万元，根据题意可列出不等式，进而可求出的取值范围，然后得出关于的函数关系式，再根据一次函数的性质求最值即可．

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，正确理解题意、列出方程组、不等式及一次函数关系式是解题的关键．

23.【答案】解：如图，连接，．

点为的中点，且，

，，

，

在中，．

，

又，

，

，

．

证明：如图，连接，，，

由平移得：，，

四边形是平行四边形，

，点在延长线上，

，

，，

，

垂直平分，

，

，

为等边三角形，

，

平行四边形是菱形，

，

在和中，

，

≌，

，

又是的半径，

是的切线．

【解析】连接，，先根据特殊角的正弦值可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆周角定理即可得；

连接，，，先证出四边形是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得，根据菱形的判定可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，然后根据定理证出≌，根据全等三角形的性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证．

本题考查了特殊角的正弦值、圆周角定理、圆的切线的判定、菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定方法是解题关键．

24.【答案】证明四边形是矩形，

，，

，．

点为的中点，

．

≌，

，

．

证明：由对称可得，．

，

．

．

．

由得，

．

．

．

，

．

．

解：数量关系是：．

≌，

．

由对称可得，

，

，

由知，