九年级数学上册第06讲 实际问题与二次函数（解析版）

/第06讲实际问题与二次函数(重点题型方法与技巧)目录类型一：利用二次函数解决利润问题类型二：利用二次函数求图形面积的最值类型三：利用二次函数解决抛物线形问题类型一：利用二次函数解决利润问题二次函数与利润最大问题（1）调整价格分涨价和降价．（2）总利润=单件商品的利润×销售量．化．典型例题例题1．（2022·全国·九年级课时练习）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解:设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，根据题意，得，故选：C．点评：例题1主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系，列出一元二次方程．设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，根据“总利润=每件衬衫的利润×销售量”列出一元二次方程，解方程后根据题意取舍即可得．例题2．（2022·浙江·九年级专题练习）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（

）A．21元 B．22元 C．23元 D．24元【答案】B【详解】解：设每天的销售利润为元，每件的定价为元，则每件的利润为元，平均每天售出件，根据题意得：，∵∴当时，最大，即每件的定价为22元时，每天的销售利润最大．故选：B点评：例题2主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．设每天的销售利润为元，每件的定价为元，则每件的利润为元，平均每天售出件，根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，即可求解．例题3．（2022·全国·九年级课时练习）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润和月份之间的函数关系式为，则该企业一年中应停产的月份是（

）A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月【答案】C【详解】解：∵∴当y=0时，n=2或者n=12．又∵抛物线的图象开口向下，∴1月时，y＜0；2月和12月时，y=0．∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．故选：C．点评：例题3考查二次函数的应用．能将二次函数由一般式化为顶点式并理解二次函数的性质是解决此题的关键．根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．例题4．（2022·浙江·九年级专题练习）阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y（kg）与销售单价x（元）之间满足一次函数的关系.若不计其他成本（利润=售价-进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是_________元．【答案】400【详解】解：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得，，∵a=-1＜0，∴当x=30时，w最大为400元，故答案为：400．点评：例题4考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得w=-（x-30）2+400，再根据二次函数的性质可得答案．例题5．（2022·湖北武汉·九年级期末）某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人．当每日销售收入最大时，票价下调_______元．【答案】6【详解】解：总利润为y元，票价下调x元，根据题意得=∵，∴抛物线开口向下，∴当x=6时，函数胡最大值∴当每日销售收入最大时，票价下调6元故答案为6点评：例题5考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．设总利润为y元，根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出函数关系式，转化为顶点式就可以求出结论．例题6．（2022·重庆·模拟预测）某品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%；(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意得：，解得，（不合题意，舍去），答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：，整理得，解得（不合题意，舍去），，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．点评：例题6主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解．同类题型演练1．（2021·福建省福州第十九中学九年级阶段练习）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（

）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x【答案】A【详解】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．故选：A．2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（

）A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元【答案】C【详解】解：依题意得：y=（30-20+x）（240-10x）y=-10x2+140x+2400．∵每件首饰售价不能高于40元．∴0≤x≤10．∴求y与x的函数关系式为：y=-10x2+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10；∴y=-10（x-7）2+2890．∴a=-10＜0．∴当x=7时，y最大=2890．∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．故选C．3．（2022·全国·九年级课时练习）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（）元．A．60 B．65 C．70 D．75【答案】C【详解】解：每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选：C．4．（2021·全国·九年级课时练习）某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润y（元）与童装的销售价x（元/件）之间的函数解析式为y＝﹣x2+160x﹣4800．若想每天获得的利润最大，则销售价应定为（）A．110元/件 B．100元/件 C．90元/件 D．80元/件【答案】D【详解】解：∵y＝﹣x2+160x﹣4800，∴抛物线的开口向下，∴当x＝﹣＝80时，y＝＝1600，∴想每天获得的利润最大，则销售价应定为80元，故选：D．5．（2022·全国·九年级）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（

）A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月【答案】D【详解】解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，∴当y=0时，n=2或n=12，当y＜0时，n=1，故选：D．6．（2022·山东枣庄·九年级期末）将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个．设单价降价x元，则每天的利润y与x的关系式是：________；最大利润为________元．【答案】

800【详解】解：由单价降价x元，则每件商品的利润为：元，每天的销售量为件，所以由则有最大值，当时，故答案为：，8007．（2022·全国·九年级课时练习）学子书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝－3x＋108（29≤x≤36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么在这种关系下销售单价定为________元时，每天获得的利润最大？【答案】29【详解】解：由题意得∵且，∴当x=29时，y最大=189，故答案为：29．8．（2021·福建·长汀县第四中学九年级阶段练习）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．(1)如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？(2)设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)如果每天获得160元的利润，销售单价为4元(2)当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元【详解】（1）由题意得：(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80＝160，整理，得x﹣10x+24＝0，解得：＝4，＝6，∵3.5≤x≤5.5，∴x＝4，∴如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（2）由题意得：w＝(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80＝﹣80x+800x﹣1760＝﹣80(x﹣5)+240，∵3.5≤x≤5.5，∴当x＝5时，w有最大值为240．∴当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．9．（2021·四川成都·三模）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【答案】(1)y＝﹣2x+60（10≤x≤18）(2)，销售价为18元时，每天的销售利润最大(3)15元【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得：，∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）对称轴x＝20，在对称轴的左侧w随着x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x＝18时，w最大．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大．（3）由整理得：解得x＝15或x＝25（不合题意，舍去）类型二：利用二次函数求图形面积的最值求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解．典型例题例题1．（2020·甘肃武威·九年级期中）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2，则S与x的函数关系式为（

）A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x） C．S＝x（10﹣x） D．S＝2x（10﹣x）【答案】C【详解】解：由题意得：S＝x(10﹣x)，故选：C．点评：例题1主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，表示矩形的宽．根据题意可得矩形的宽为(10-x)cm，再根据矩形的面积公式S=长×宽可得函数解析式．例题2．（2023·安徽·九年级专题练习）已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且．在点从移向（与不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（

）A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小【答案】D【详解】正六边形为轴对称图形，以EF之间的对称轴为y轴，以直线AD上的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系．设六边形的边长为2，则,,设直线ED的解析式为y=kx+b，解得，故ED的解析式为，点M在线段ED上，故设M（x,y），矩形NMQP中，N与M关于y轴对称，∴N（-x,y），Q与M关于x轴对称，∴Q（x,-y），∴，，∴矩形的周长C=2（NM+MQ）=2(2x+2y)==,由于，故C的值会随x的增大而减小，点M从E移动到D的过程中，x不断增大，所以周长会不断减小；矩形的面积∵<0，抛物线开后向下，当x>1时，S随x的增大而减小，所以面积也会逐渐减小．故选：D．点评：例题2考查了正六边形的性质，一次函数和二次函数的性质，解题的关键是建立直角坐标系利用函数解题．以EF之间的对称轴为y轴，以直线AD上的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系，求出ED的解析式，从而表示M、N、Q的坐标，列出关于周长和面积的函数关系式，根据性质得出结论．例题3．（2020·浙江·湖州市第五中学九年级阶段练习）已知点与点，，是一平行四边形的四个顶点，则长的最小值是（

）A．10 B． C． D．9【答案】C【详解】有两种情况：①CD是平行四边形的一条边，那么有AB＝CD＝＝10②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，则∠BND＝∠DFA=∠CMA＝∠QFA＝90，∠CAM＋∠FQA＝90，∠BDN＋∠DBN＝90，∵四边形ACBD是平行四边形，∴BD＝AC，∠C＝∠D，BD∥AC，∴∠BDF＝∠FQA，∴∠DBN＝∠CAM，∵在△DBN和△CAM中，∴△DBN≌△CAM（AAS），∴DN＝CM＝a-2，BN＝AM＝8−a，D（10−a，6＋a），由勾股定理得：CD2＝（10−a−a）2＋（6＋a＋a-2）2＝8a2−24a＋116＝8（a−）2＋98，当a＝时，CD有最小值，是=，∵＜10，∴CD的最小值是．故选：C．点评：例题4考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．①CD是平行四边形的一条边，那么有AB＝CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN＝CM＝a-2，BN＝AM＝8−a，得出D（10−a，6＋a），由勾股定理得：CD2＝（10−a−a）2＋（6＋a＋a-2）2＝8a2−24a＋116＝8（a−）2＋98，求出即可．例题4．（2022·广东梅州·九年级期末）某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．【答案】

8

128平方米##128m2【详解】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32-2x)米，设矩形的面积为S，则S关于x的函数关系式为：S=(32-2x)x=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，当x=8时，S有最大值，最大面积为128；（当垂直于墙的一边长为8米，则平行于墙的一边长为32-2x=16米，符合题意）∴当垂直于墙的一边的长为8米时，S有最大值128平方米．故答案为：8；128．点评：例题4考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出二次函数，利用二次函数的性质求解．设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32-2x)米，根据矩形的面积公式列出关于x的二次函数，然后求出面积的最大值，即可求解．例题5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．【答案】32【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，∴围栏的面积，∴当时，S取最大值，最大值为32，故答案为：32．点评：例题5主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．例题6．（2022·浙江丽水·九年级期中）如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积．【答案】(1)S＝－2x2＋20x(1≤x＜10)(2)当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米【详解】（1）解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则另一边为米，∴；∵，解得：；∴S与x之间的函数关系式为：，（）；（2）解：由（1）可知，，∴；∵，∴当时，有最大值，最大值为50；∴当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米；点评：例题6主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系是解题关键．（1）先求出矩形的另一边，然后由矩形的面积公式，即可得到答案；（2）运用二次函数的性质进行解题，即可得到答案．同类题型演练1．（2021·北京·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，AC+BD=10，设AC=x(0<x<10)，四边形ABCD的面积为y，则y与x的函数关系式为（）A．y=x(10－x) B．y=x(10－x) C．y=x(10+x) D．y=(10－x)2【答案】B【详解】设AC的长度为x，则BD=20-x，∴y=AC×BD=x（10-x）.故选B.2．（2019·四川·树德中学九年级）设、、为实数，且，抛物线，顶点在上，与轴交于点，，与轴交于点，当为直角三角形时，的最大值是（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】D【详解】解：设交轴于点，，交轴于点、，且，由是直角三角形知，点必为直角顶点，且（射影定理的逆定理），由根与系数的关系得，，，∴，，又，即，∴，∴，，，当且仅当，，时等号成立，因此，的最大面积是4．故选D．3．（2020·重庆一中九年级阶段练习）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设菱形的高为h，∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，∴h＝，若设AP＝x，则PB＝1﹣x，∵PQ⊥AB，AQ＝2x，PQ＝x，∴DQ＝1﹣2x，∴S△CPQ＝S菱形ABCD﹣S△PBC﹣S△PAQ﹣S△CDQ＝1×﹣（1﹣x）•﹣x•x﹣（1﹣2x）•＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴△CPQ面积有最大值为，故选：D．4．（2019·浙江温州·九年级期末）如图，在矩形中，，点E，F分别是，上的点，且满足．分别以，为边向矩形内部构造正方形和正方形，记阴影部分的面积为S，则S的最小值为（

）A．9 B．10.5 C．12 D．15【答案】A【详解】解：设AE=CF=x，∵四边形AEMH和四边形CFNG是正方形，∴BE=DG=5-x，BF=DH=7-x，NP=MQ=2x-5，NQ=2x-7，则阴影部分的面积S==∵0＜x≤5，∴当x=4时，S最小，且为9．5．（2022·江苏二模）如图利用135°的墙角修建一个梯形的储料场，并使∠C=90°．如果新建的墙BCD总长24m，那么BC=________储料场的面积最大．【答案】16【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∠DAE＝∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠BAD−∠EAD＝45°，设DC＝AE＝xm，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，∴∠B＝45°，∴AE＝BE＝x

m，∴AD＝CE＝(24−2x)m，m，∴梯形ABCD面积S＝(AD＋BC)•CD＝(24−2x＋24−x)•x＝，∴当x＝8时，S最大＝96．∴此时，也就是当BC长为16m时，才能使储料场的面积最大．6．（2022·广西·南丹县教学研究室二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为_________．【答案】【详解】解：当时，，点的坐标为，当时，即，解得，，点，点，设直线的表达式为：，且过点和，得，解得，，将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，如图所示，要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，则可设直线的表达式为：，，，，则，即，由于只有一个交点，则，解得，，，，，，故答案为：．7．（2022·广西·防城港外国语学校九年级阶段练习）如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．(1)探究1：如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需_____元；(2)探究2：如果木板边长为1米，当FC的长为多少时，一块木板需用墙纸的费用最省？最省是多少元？(3)探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最省？【答案】(1)220；(2)当FC的长为m时，一块木板需用墙纸的费用最省，最省是55元；(3)当正方形EFCG的边长为时，墙纸费用最省．【详解】（1）解：∵CF＝1m，BC＝2m，∴BF＝1m，∴，＝1，＝4−1−1＝2，∴一块木板用墙纸的费用为：1×60＋1×80＋2×40＝220（元），故答案为：220；（2）设FC＝xm，则BF＝（1−x）m，总费用为y元，∴，，＝，∴，∴当x＝时，＝55元，答：当FC的长为m时，一块木板需用墙纸的费用最省，最省是55元；（3）设FC＝xm，则BF＝（a−x）m，总费用为y元，∴，，＝，∴，∴当x＝时，y有最小值，即墙纸费用最省，答：当正方形EFCG的边长为时，墙纸费用最省．8．（2022·河北秦皇岛·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；(2)若S是21cm2时，确定t值；(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．【答案】(1)S=t2－4t+24（0≤t≤4）(2)t=1或t=3(3)t=2时，S有最小值20【详解】（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴运动ts时，AP=2t，BP=8－2t，BQ=t∴S=S△ABC－S△PBQ=×AB×CB－×PB×QB=×8×6－×（8－2t）×t=t2－4t+24（0≤t≤4）（2）当S=21时，则t2－4t+24=21，解得t=1或t=3（3）∵S=t2－4t+24=(t-2)2+20，∴当t=2时，S有最小值20类型三：利用二次函数解决抛物线形问题用二次函数解决抛物线形问题（1）建立恰当的平面直角坐标系；（2）将已知条件转化为点的坐标，正确写出关键点的坐标；（3）合理地设出函数解析式；（4）将点的坐标代入函数解析式求出解析式；（5）利用解析式求解．在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意对数形结合思想的应用．典型例题例题1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（

）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【答案】D【详解】解：以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，如图：∵桥的最大高度是16米，跨度是40米，∴抛物线顶点C（0，16），A（20，0），B（20，0），设抛物线解析式为y=ax2+16，将A（20，0）代入得：0=400a+16，解得，∴抛物线解析式为，当x=5时，，∴在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是15米，故选：D．点评：例题1考查二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出抛物线的解析式．以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，根据桥的最大高度是16米，跨度是40米，求出抛物线解析式为，再将x=5代入即可得答案．例题2．（2021·安徽芜湖·九年级阶段练习）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，∴函数表达式为：，∵a＜0，故函数有最大值，∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，答：水流喷出的最大高度为2米．故选：D．点评：例题2考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解．由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．例题3．（2022·浙江·九年级专题练习）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m【答案】C【详解】解：∵实心球运动的抛物线的解析式为，点A的坐标为，∴，解得，，令，，即，解得（舍去），故选：C．点评：例题3考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求二次函数与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．例题4．（2022·湖北襄阳·二模）如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米【答案】0.64【详解】解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线的解析式为，由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，代入，有，，点A的纵坐标即为OC的长，∴0.36a＋0.28＝0.64a，解得a＝1，∴抛物线解析式为，，故OC的长为：0.64m．点评：例题4考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．例题5．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．【答案】10【详解】将y=0代入；整理得：（x-10）（x+2）=0解得：x=10或x=-2（舍去）∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．故答案为：10点评：例题5主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．例题6．（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）某大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中画出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的水平距离最大为________米．【答案】4【详解】解：∵喷出水的路径是抛物线，∴水喷出的最大水平距离为抛物线顶点横坐标的2倍．∵，∴顶点坐标为（2，4）．∴水喷出的最大水平距离为：（千米）．故答案为：4．点评：例题6考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．利用抛物线的对称性可知，水喷出的最大水平距离为抛物线顶点横坐标的2倍，利用配方法或公式法求出其顶点坐标即可求解．例题7．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0）．(1)柱子OA的高度是______米；(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】(1)(2)水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外【详解】(1)在中，令x=0，则y=，∴柱子OA的高度为米；故答案为；（2）在中，当y＝0时，，，∴，∴，·，又∵x＞0，∴解得米．答：水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外．点评：例题7考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中x轴上的纵坐标为0，y轴上的横坐标为0，解方程．（1）OA在y轴上，中，令x=0，可得y即为OA；（2）水流落得最远时，落点在x轴上，在中，当y＝0时，，求得．例题8．（2022·甘肃兰州·中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】(1)y关于x的函数表达式为；(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，∴设，∵经过点(0，)，∴解得∶∴，∴y关于x的函数表达式为；（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶∵对于二次函数，当y=0时，有∴，解得∶，(舍去)，∵>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．点评：例题8考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．同类题型演练1．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．4m B．10m C．20m D．8m【答案】C【详解】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y=﹣4代入y=x2，得x=±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB=20m．即水面宽度AB为20m．故选：C．2．（2022·全国·九年级课时练习）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则下列结论错误的是（

）A．柱子的高度为B．喷出的水流距柱子处达到最大高度C．喷出的水流距水平面的最大高度是D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外【答案】C【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，故选：C．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一小球从斜坡点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．则下列结论错误的是（

）A．当小球达到最高处时，它离斜坡的竖直距离是B．当小球落在斜坡上时，它离点的水平距离是C．小球在运行过程中，它离斜坡的最大竖直距离是D．该斜坡的坡度是：【答案】C【详解】解：，顶点坐标为，把代入得，，当小球达到最高处时，它离斜坡的竖直距离，故A正确，不符合题意；，解得，，，当小球落在斜坡上时，它离点的水平距离是，故B正确，不符合题意；小球在运行过程中，它离斜坡的竖直距离，则小球在运行过程中，它离斜坡的最大竖直距离为，C错误，符合题意；斜坡可以用一次函数刻画，该斜坡的坡度是：，D正确，不符合题意；故选：C．4．（2021·山东·青岛大学附属中学九年级阶段练习）有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨