线性变换总结复习计划练试题

线性变换总结复习计划练试题线性变换总结复习计划练试题/线性变换总结复习计划练试题线性变换习题一、填空题1.设是P3的线性变换，(a,b,c)(2bc,a4b,3a)，a,b,cP，1(1,0,0),2(0,1,0),3(0,0,1)是P3的一组基，则在基1,2,3下的矩阵为_______________，又123P3,则()_________。2.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换：()A，Pn，则dim1(0)＝，dim(Pn)＝。1123.设P上三维列向量空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵是201，则121在基2,1,3下的矩阵是。4.若是矩阵A的特色值等于，则行列式|AE|=。15.设A=211，(X)AX是P3上的线性变换，那么的零度=。1211126.若APnn，且A2E，则A的特色值为。7.在P[x]n中，线性变换D(f(x))f'(x)，则D在基1,x,x2,L,xn1下的矩阵为。在P22中，线性变换10A在基E110018.:A00,E20,200E300001,E40下的矩阵是。013219.设A502的三个特色值为1，2，3，则1+2+3=，114123=。10.数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为维线性空间，它与同构。11.已知n阶方阵A满足A2A，则A的特色值为。12.已知3阶矩阵A的特色值为1,2,3,则|A|。13.设为数域P上的线性空间V的线性变换,若是单射,则1(0)=。14.设三阶方阵A的特色值为1,2,-2,则|2A|=。15.在[]中，线性变换Df(x))f'(x)，则D在基2,L,nxn1下的矩阵Pxn(1,2x,3x为。a11a12a1316.已知线性变换在基1,2,3下的矩阵为a21a22a23，则在基2,3,1下的矩a31a32a33阵为。11217.设P上三维列向量空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵是201，则121在基2,1,3下的矩阵是。18.1,112,设线性变换在基2的矩阵为，线性变换在基1下的矩阵为01101,1，那么在基2下的矩阵为.119.已知n阶方阵A满足A2A，则A的特色值为。a11a12a1320.已知线性变换在基1,2,3下的矩阵为a21a22a23，则在基3,2,1下的a31a32a33矩阵为。21.在R3中，若向量组1(1,t1,0)，2(1,2,0)，3(0,0,t21)线性相关，则t。21122.若线性变换在基1,2,3下的矩阵为011，则在基3,2,1下的矩阵为121矩阵为。23.若APnn，且A2E，则A的特色值为。二、选择题1.以下哪一种变换必然是向量空间Fxn的线性变换（）。A．fxfxxB．fxfxdxC．fxfxD．fxf2xfx2.当n阶矩阵A适合条件（）时，它必相似于对角阵。A．A有n个不一样样的特色向量B．A是三角矩阵C．A有n个不一样样的特色值D．A是可逆矩阵3.设是向量空间V上的线性变换，且22，则的全部特色值为（）。A．2B．0，2C．0D．0，2，14.设是3维向量空间上的变换，以下中是线性变换的是（）。A．x1,x2,x3=x13,x23,x33B．x1,x2,x3=2x1x2,x2x3,x3C．x1,x2,x3=cosx1,sinx2,0D．x1,x2,x3=x12,0,05.设1,2,L,r是向量空间V的线性相关的向量组，是V的一个线性变换，则向量组1,2,L,r在下的像(1),(2),L,(r)（）。A．线性没关B．线性相关C．线性相关性不确定D．全部是零向量6.n阶方阵A有n个不一样样的特色值是A能够对角化的（）。A．充要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7.设是向量空间V的线性变换且2，则的特色值（）。A．只有1B．只有1C．有1和1D．有0和118.若是方阵A与对角阵D1相似，则A10=（）。1A.E

B.

A

C.

E

D.

10E9.

设A、B为n阶矩阵，且

A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（

）。A．

E

A

EB

B

．A与B有相同的特色向量和特色值C．

A与B相似于同一个对角矩阵

D．

A

B10.设4级矩阵

A与B相似，

B的特色值是

1，2，3，4，则

A的行列式是（

）。A．-24

B

．10C．24D．不能够确定11.设是n维线性空间V的线性变换,那么以下说法错误的选项是（）。A.是单射Ker(){0}B.是满射Im()VC.是双射Ker(){0}D.是双射是单位照射12.设A为3阶矩阵,且AE,AE,A2E均不能够逆,则错误的选项是（）。A.A不相似于对角阵B.A可逆C.|AE|0D.|AE|013.设A为3阶矩阵,且其特色多项式为f()(1)(1)(2),则错误的选项是（）。A.A相似于对角阵B.A不能够逆C.|AE|0D.|AE|014.n维线性空间V的线性变换能够对角化的充要条件是（）。A．有n个互不一样样的特色向量B．有n个互不一样样的特色根C．有n个线性没关的特色向量D.不存在n个互不一样样的特色根15.设是3维向量空间上的变换，以下中是线性变换的是（）。A．x1,x2,x3=x3,x3,x3B．x1,x2,x3=2xx,x25x,6x1231233C．x1,x2,x3=cosx,x,0D．x,x,x3=x2,0,x212121316.设是向量空间V上的线性变换，且2E，则的全部特色值为（）。A．2B．-1，1C．0D．0，2，117.n维线性空间V的线性变换能够对角化的充要条件是（）。A.有n个互不一样样的特色向量B.有n个互不一样样的特色根C.有n个线性没关的特色向量D．是可逆线性变换18.2.设矩阵A的每行元素之和均为1，则()必然是A23A2E的特色值。A.0B.1C.2D.319.设是3维向量空间上的变换，以下中是线性变换的是（）。A．x1,x2,x3=x1,x22,x33B．x1,x2,x3=2x1,x2x3,x3x2C．x1,x2,x3=cosx1,sinx2,sinx3D．x1,x2,x3=x12,x2,020.设L(V)，则以下各式成立的是（）。A.dimImdimKernB.ImKerVC.ImKerVD.ImIKer{0}三、计算题设R[x]3表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而f1(x)1x，f2(x)1x2，f3(x)x2x2是R[x]3的一组基，线性变换满足f1(x)2x2，f2(x)x，f3(x)1xx2（）求在已知基下的矩阵；（2）设f(x)12x3x2，求f(x)。2.设是二维列向量空间P2的线性变换：设xx1P211x2，定义xx。11（1）求值域P2的基与维数；（2）求核1(0)的基与维数。1113.设线性变换在基1,2,3下的矩阵是A222111（1）求矩阵A以及线性变换的特色值与特色向量；（2）判断可否能够对角化（即线性变换可否在某组基下的矩阵为对角形），若不能够对角化，说明原由；若能够对角化，求可逆阵T，使T1AT为对角形。1114.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，令A111，若R3，作变换222()A。（1）证明为R3上的线性变换；（2）求ker()及其维数；（3）求Im()及其维数。1215.设矩阵A000，000（1）求A的特色值和特色向量；（2）求可逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵。110106.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，A011，10，21，12100130。0（1）若112,223,331，证明1,2,3为R3的一组基；（2）求1,2,3到1,2,3的过渡矩阵；（3）若R3，作变换()A，证明为R3上的线性变换；4）求ker()及其维数；5）求Im()及其维数。7.设是R3的线性变换,(x1,x2,x3)(x12x2x3,x2x3,x1x22x3)。（1）求ker()及其维数；（2）求Im()及其维数。1118.设线性变换在基1,2,3下的矩阵是A222。111（1）求矩阵A以及线性变换的特色值与特色向量；（2）判断可否能够对角化（即线性变换可否在某组基下的矩阵为对角形），若不能够对角化，说明原由；若能够对角化，求可逆阵T，使T1AT为对角形矩阵。1119.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，令A012，若R3，作变换123()A。（1）证明为R3上的线性变换；（2）求ker()及其维数；（3）求Im()及其维数。10010.设1,2,3为V的基，且线性变换在此基下的矩阵为A350。361（1）求的特色值与特色向量；（2）求可逆矩阵T，使T1AT是对角矩阵。11211.设三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵为A011。101（1）求的值域及其维数；（2）求的核及其维数。设R[x]3表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而f1(x)1x，f2(x)1x2，f3(x)x2x2是R[x]3的一组基，线性变换满足f1(x)2x2，f2(x)x，f3(x)1xx2（1）求在已知基下的矩阵；（2）设f(x)12x3x2，求f(x)。13.给定P3的两组基1(1,0,1),2(2,1,0),3(1,1,1)；1(1,2,1),2(2,2,1),3(2,11)。定义线性变换：ii,i1,2,3。（1）写出由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵；（2）写出在基1,2,3下的矩阵；（3）写出在基1,2,3下的矩阵。32114.设线性变换在基1,2,3下的矩阵是A222,求可逆矩阵T,使得361T1AT为对角形矩阵。10115.设A020。101（1）求A的全部特色值；（2）求A的属于每个特色值的特色向量；（3）求一个可逆矩阵X，使X1AX为对角形。12216.设L(V)，且在V的基1,2,3下的矩阵A=224。问242可否能够对角化?(2)若能对角化，求出V的一个基，使在此基下的矩阵为对角矩阵。17.设数域P上三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵A

460350。361（1）求在基1212,22123，3123下的矩阵；（2）设1223，求在基1,2,3下的坐标。四、证明题1.设是数域F上的n维向量空间V的线性变换，又1,2,,n是V的一个基，证明VL1,2,Ln。2.设，都是向量空间V的线性变换，S是，的不变子空间，证明S也是的不变子空间。3.设是数域P上线性空间V的线性变换且2。证明：（1）的特色值为1或0；（2）1(0){()|V}；（3）V1(0)(V)。4.设W1,W2是向量空间V的两个子空间，是V的一个线性变换，证明：若W1,W2都是的不变子空间，则W1W2也是的不变子空间。5.设是向量空间V的一个线性变换，W1,W2都是的不变