理论力学课件二五

第十七章拉格朗日方程1

动力学本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。2§17–1动力学普遍方程§17–2拉格朗日第二类方程§17–3拉格朗日第二类方程的积分第十七章拉格朗日方程3

动力学设质点系有n个质点，第i个质点

若质点系受有理想约束，将作为主动力处理，则：解析式：§17-1动力学普遍方程动力学普遍方程。4

动力学

例1三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为

。试求三棱柱A的加速度。解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。

在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。5

动力学由动力学普遍方程：系统为二自由度，取互不相关的为独立虚位移，且，所以解得：6动力学§17-2拉格朗日第二类方程设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度k=3n-s。下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。质点。若取系统的一组广义坐标为，则称为广义速度。7动力边学代入尿质点槽系动英力学链普遍吨方程顺，得散：8动力愁学称 为广义力

广义惯性力9动力须学广义滥惯性摆力可扭改变蕉为用勉质点步系的振动能屿表示,因此为简巷化计催算,需要嘱用到盘以下眠两个规关系示式：下面来推导这两个关系式：第一式只须将(b)式两边对求偏导数即可得到。10第二业式可球比较(a)式先巩对ql求偏轮导数椅再惰对t求导厚数与(b)式对ql求偏素导数或的结灿论得碍出。动力由学拉格全朗日珍第二元类动云力学饰方程勾，简筹称拉蕉格朗重日方早程。11动力而学如果保作用籍于质很点系皆的力支是有鼓势力乖，则亏广义渣力糊可挽用质槽点系惧的势倘能来贪表达悠。而拉氏方程为：引入钉拉格奶朗日屡函数马：L=T-U则：保守足系统永的拉歌格朗售日方才程。12动力闷学应用好拉氏您方程锅解题肢的步愿骤：1.判定享质点淡系的铺自由沿度k，选取车适宜远的广夫义坐义标。装必须妻注意提：不慎能遗凤漏独事立的顺坐标蹄，也先不能盼有多挡余的丘（不腿独立宵）坐为标。2.计算伯质点辩系的屡动能T，表示俩为广语义速毒度和夕广义晌坐标筑的函上数。3.计算逝广义乖力震，齿计算睛公式仪为：或若主勿动力泄为有赢势力逃，须累将势捷能U表示术为广使义坐像标的珠函数手。4.建立都拉氏松方程倾并加债以整曲理，瓶得出k个二趣阶常求微分润方程地。5.求出肺上述黎一组夫微分遥方程玻的积非分。13动力豆学[例1]水平优面内叫运动宾的行镇星齿蜓轮机散构。峰均质贱杆OA：重P，可绕O点转宽动；忧均质宿小齿贩轮：真重Q，半径r，沿半皮径为R的固菌定大蛮齿轮任滚动埋。系逗统初罢始静渠止，证系杆OA位于按图示OA0位置锤。系姻杆OA受大启小不熄变力雀偶M作用渐后，泛求系拾杆OA的运误动方脱程。所受晶约束脑皆为扮完整岭、理狂想、市定常揉的，狂可取OA杆转驻角

为广敢义坐分标。解：图缸示机贞构只纤有一石个自课由度14动力狡学15动力惨学代入督拉氏面方程葱：积分倾，得逆：故：代入初始条件，t=0时，得16动力绕学[例2]与刚滚度为k的弹售簧相请连的蒸滑块A，质量鸭为m1,可在藏光滑馆水平浴面上球滑动古。滑袋块A上又搜连一拆单摆哄，摆咐长l，摆锤伏质量俱为m2，试列冲出该哑系统志的运增动微夸分方柜程。解：将道弹簧控力计卖入主绢动力掉，则维系统食成为榜具有或完整霜、理语想约稿束的什二自陪由度店系统术。保禾守系冬统。腹取x,

为广仅义坐允标，x轴原点象位于贿弹簧剃自然严长度棕位置墙，

逆时零针转恳向为攻正。17动力老学系统动能：18动力鲁学系统援势能：（爷以弹敢簧原跌长为猴弹性结势能概零点鲁，滑喇块A所在矩平面做为重助力势翼能零芒点）拉格至朗日舰函数选：19动力打学代入：并适当化简得：20动力御学系统绵的运秘动微按分方捎程。上式雹为系派统在滤平衡喊位置(x=0屑,

=0饭)附近今微幅终运动物的微辜分方滤程。若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时

<<1o,cos

1,sin

，略去二阶以上无穷小量，则21动力请学§1膜7-殃3拉格耀朗日逐第二年类方居程的砖积分对于运保守葛系统危，可羽以得聋到拉程格朗瓣日方乱程的伤某些用统一晨形式趣的首含次积深分，辽从而谋使得役保守袄系统挽动力着学问阁题的渡求解亮过程姿进一饺步简休化。保守礼系统娱拉格捉朗日付方程良的首收次积章分包赔括：战能量耍积分去、循颗环积涉分。一、督能量农积分设系绝统所尾受的骄主动游力是齐有势岭力，粉且拉询格朗悄日函疗数L=T-U中不条显含t，则22动力熔学广义钳能量羊积分艳。保守奋系统议的拉车格朗涨日函和数不港显含动时间t时，筑保守芽系统拐的广义忌能量果守恒。可篇以证茄明，假当系睁统约额束为医定常副时，摇上式篇为=023系统待的广透义能撒量积为分式捧就是水系统赞的机匠械能抱守恒煎方程晒式。动力画学二、计循环撒积分如果棕拉格引朗日判函数L中不保显含睛某一脸广义决坐标qr,则该谱坐标典称为成保守颤系统俱的循环宾坐标疯或可笼遗坐撕标。当为系统的循环坐标时，必有于是颂拉氏兵方程翻成为24动力饮学积分得：循环曾积分因L=T-U，而U中不显含，故上式可写成Pr称为悠广义腊动量俯，因撞此循添环积鱼分也之可称软为系铁统的泪广义良动量拔积分出。保守祝系统溉对应习于循卫环坐或标的雅广义番动量呀守恒买。一个霸系统侧的能绘量积霞分只嫁可能绸有一域个；亿而循蜜环积失分可膝能不笼止一利个，番有几挠个循扣环坐袄标，运便有笔几个剥相应艇的循桶环积沾分。能量际积分颜和循权环积稻分都争是由脂保守蚊系统僻拉格怜朗日痒方程喘积分愿一次眼得到霸的，捕它们蚁都是绿比拉仍格朗汉日方庆程低罩一阶辫的微读分方戴程。25动力树学[例3]楔形黑体重P，斜面勉倾角

，置跪于光筐滑水震平面栗上。影均质班圆柱剖体重Q，半径兄为r，在楔形袜体的兴斜面碧上只既滚不己滑。践初始英系统划静止叮，且股圆柱绒体位炒于斜柴面最都高点省。试缠求：(1罚)系统道的运戚动微掉分方主程；(2盲)楔形写体的景加速团度；(3牺)系统蜻的能喘量积弟分与挠循环竹积分穴。解：研究洒楔形抓体与锄圆柱绣体组敏成的疼系统尼。系鲜统受末理想夹、完责整、袜定常阅约束化，具离有两捷个自弱由度戒。取饰广义叔坐标解为x,s；各坐挨标原条点均雄在初蚀始位焰置。26动力勿学系统铃的动弯能：系统遣的势似能：取水匆平面楼为重歇力势烤能零贿点。拉格魔朗日酷函数绣：27动力量学代入抛保守殊系统朝拉氏河方程重，并馋适当坡化简根，得艘到系槽统的降运动针微分挺方程片。（d）解得扑楔形牙体的灭加速尽度为拉格地朗日饮函数L中不漆显含t，故系统然存在损能量衬积分御。28动力药学当t=0时，，x=

s=0,代入上式中，得

29动力演学由于筑拉格烤朗日适函数L中不将显含贝广义钢坐标x