二次根式典型例题(较好)

二次根式典型例题(较好)二次根式典型例题讲解【知识要点】1、二次根式的概念：一般地，形如$a(\geq0)$的式子叫做二次根式。注意：这里被开方数$a$可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，其中$a\geq0$是$a$为二次根式的前提条件。2、二次根式的性质：$(1)$$\sqrt{2a^2}=a(\geq0)$$(2)$$\sqrt{a}=\sqrt{a}(\geq0)$$(3)$$\dfrac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}(\geq0,b>0)$$(4)$$\sqrt{ab}=a\cdotb(\geq0,a\geq0,b\geq0)$$(5)$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(\geq0,a\geq0,b>0)$3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。即$a\cdotb=\sqrt{ab}(\geq0,a\geq0,b\geq0)$。4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。即$\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(\geq0,a\geq0,b>0)$。5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式$\sqrt{a}=\dfrac{a}{\sqrt{a}}$。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：①$\dfrac{m}{\sqrt{a}}$与$\sqrt{a}$；②$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$\sqrt{a}-\sqrt{b}$；③$\sqrt{a}-\sqrt{b}$与$\sqrt{a}+\sqrt{b}$；④$m\sqrt{a}+n\sqrt{b}$与$m\sqrt{a}-n\sqrt{b}$（其中$a,b$都是最简二次根式）7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。8、二次根式的加减法：二次根式的加减，就是合并同类二次根式。二次根式加减法运算的一般步骤：（1）将每一个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。【典型例题】例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1）$2\sqrt{1/3}$（2）$-\sqrt{19}$（3）$\sqrt{x+1}$（4）$\sqrt{9/2}$（5）$-6\sqrt{a}$（6）$-\sqrt{x}-2\sqrt{x-3}$例2、$x$是怎样的实数时，下列各式有意义。（1）$\dfrac{2x-3}{\sqrt{1}}$（2）$\dfrac{3x+7}{2x-2x+2}$（3）$22(\pi-3.14)(5-7)$（4）$\dfrac{2}{4x-4x-1}$例3、（1）计算$\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{8}$；（2）设$a,b,c$为$\triangleABC$的三边，化简$(a+b+c)^2+(a+b-c)^2+(a-b-c)^2-(c-a-b)^2$。例4、化简：（1）$\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$（2）$4a^3\sqrt{2}\cdot\dfrac{2a^2}{\sqrt{5}}$（3）$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$。1、计算：$\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}$；$2(-3)^3=-54$；$\frac{2}{3-1}=\frac{1}{2}$；$8\div15=\frac{8}{15}$。2、计算：$\frac{3+1}{2-1}=4$；$\frac{8}{15}+\frac{1}{4}=\frac{47}{60}$。$\frac{20}{2}-\frac{2}{3}=\frac{58}{3}$；$\frac{2^{-3}}{5}=-\frac{1}{40}$；若$a=a^2$，则$a=0$或$a=1$；若$a=-a$，则$a=0$。5、若$222(a-5)+(2b+3)=0$，则$ab=-\frac{1}{444}$。6、当$x>-3$时，$2-x$有意义；在$|x|-2<0$中$x$的取值范围是$-2<x<2$。7、下列二次根式中，最简二次根式是$\frac{x-y}{\sqrt{2x}}$。8、当$a<-4$时，$|2-a|=a-2$。9、化简$|2|+|-4|$的结果是$6$。10、$\frac{3-2}{3+2}=-\frac{1}{5}$。11、$\frac{5}{2}+\frac{1}{-2}=-\frac{5}{2}$。12、下列各组中互为有理化因式的是$\frac{a+b}{a-2}$与$\frac{-b-a}{5-2a}$。13、如果$a<b$，则$a-b<0$。14、把$\frac{1}{a^3}$根号外的因式移入根号内，得$\frac{1}{a\sqrt{a}}$。15、计算题，求得结果为2。16、计算题，求得结果为3。17、代数式化简题，将分数化为通分后合并同类项得到：y/(2