《常微分方程》(第三版)课后答案

1.dy=2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得1dy=2xdx,两边同时积分得：lny=x2+c,即y=cex2把x=0,y=1代入得yc=1,故它的特解为y=ex2。x+1y2yc+lnx+11y3xy22yxcx2cxdxdxy+xxdxdx26：xdy=y+x2y2xuxdxdx=uxxnysgnxlnxcxdxyyxxxx1+lnuxdydtdydtdxdxdxt2=12．dy1=dx(x+y)2解dydtdt1令x+y=t，则=1，原方程可变为dydtdt1dxdxdxt2变量分离变量分离dt=dx，两边积分tarctgt=x+c，代回变量tdy2xyxy解：方程组2xy1=0,x2y+1=0;的解为x=,y=33xXyY,则有dY=2XY'33dXX2YXdX12U变量分离dy2x3+3xy+x=dy2x3+3xy+x=y解：令xy=5=t,则dy=1dt,dxdxtdxdxt7两边积分两边积分t27t=7x+c22dxdx4dx4cdu=3u26x2=6x2，这是齐次方程，令dxxux2u+1x xdxdx2z+1dxdx2z+1yxyxzzzdzdxzz+2)3=x5c,zdx即(y33x)7(y3+2x)3=x5c，又因为y3=3x或y3=2x包含在通解中当c=0时。故原方程解：原方程化为dy=x(2x2+3y2+1);;;;;dy2=2x2+3y2+1dxy(3x2+2y21)dx23x2+2y21则有〈|(2z+3y=0，，，，从而方程(1)化为dy=2+33z+2y=0dz3+2令当当22t20时，，分离变量得3+2tdt=1dz两边积分的y2+x2=(y2x2+2)5c22t2zy18.证明方程x=dy=f(xy)经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程yydx(2).xdy=2+x2y2ydx2x2y2证明：因为xy=u,关于x求导导得y+xdy=dy,所以xdy=duydxdxdxdxydxdx=y(f(u)+1)xxydxdx=y(f(u)+1)xx解(1):当x=0或y=0是原方程的解，当xy0s时，方程化为xdy=1+x2y2ydxdxx2u+u3xuy2u2+2x2y2+22dxx2u+u3xuy2u2+2x2y2+22x2y2+2解(2)令xy=u，则原方程化为du=1(u2+u2+u)=14udxx2u2x2u2分离变量得2u2du=1dx，两边积分得lny=x2y2+c，这也就是方程的解。4uxx4fxfxdtxfx)的一般表达式.0解：设y=1y'y2y则原方程化为f(x)dt=1y0两边求导得y3=dy;;;;;;;;;;dx=1;;;;;;;;;;;;两边积分得x+c=11;;;;;所以y=士dxy3dy2y2把y=士1代入f(x)dt=12x+cy01tc2x020.求具有性质x(t+s)=x(t)+x(s)的函数x(t),已知x’(0)存在。2所1x(0)1x(0)x()0x(0)=0.xtdx(t)=x'(0)(1+x2(t))dtxtx’(0)t+cdx(t)=x'(0)dt1+x2(t)两边积分得arctg所以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=01．dy=y+sinx222tt解：原方程可化为：dx=-3x+e2t3t5t3t5t53t2t=ce+3t2t5dt22dxndxn5．dy+12xy1=0解：原方程可化为：=y+1是原方程的解.==令=x3+yy2xy=uxy则y=uxdu13dxdx (*)中得：是原方程的(*)中得：是原方程的xcxx解：dy=2y+(x+1)3dxx+12即：2y=c(x+1)2+(x+1)为方程的通解。=x+y3y则P(y)=,Q(y)=y2yy=+=+cy2解.y3即x=+cy是方程的通解，且解.y32dyayx+1dxxxdyayx+1xxay=aadxxP(P(x)=,Q(x)=x3xx方程的通解为：=+cx方程的通解为：y=+cx两边除以yy3dxydz=2(xz+x3)12.(ylnx2)ydx=12.(ylnx2)ydx=xdylnxy424dxxxdxxx两边除以y2y2dxxx==dxxx令y1=z=zdz2=zdxxxP(x)=2,Q(x)=lnxxxxx2x=x2++=x2++方程的通解为:y(cx2+lnx+1)=1,且y=0也是解。424dy2y2xy1dx2xyx2yydyy=令y2令x2=zdzdy=2ydxxxP(x)=2xQ(x)=-1xxc14dyey+3x=dxx2yydy(ey)2+3xeyey=dxx2dzdy=eydxdxdxx2xx222z2dxzdxdxz2dxdxxx2xx2x2x=x3(1x2+c)2222x2ey+cey=x32=2x 3x1dxyx3dy1dxy令令=2x3dyx22y3=y2+1+cey2t0t0t0t00dy=ex+y(x) x x0Vt(∞,+∞)'(t)=lim(t+t)(t)=lim(t)(t)(t)ttyyttt0dt(1)一阶非齐线性方程(2.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解；的解，则方程(2.28)的通解可表为y=cy(x)+y(x)，其中(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.dy=P(x)y (1)设1则y是(2.28)的任意两个解2dy1=P(x)y+Q(x)(1)dx1dy2=dy2=P(x)y+Q(x)dx2(1)-(2)得d(y1y2)=P(x)(yy)即y=yy是满足方程(2.3)2(2)(2)dy(x)=P(x)ydy(x)=P(x)y(x)+Q(x)(3) 1)先证y=cy+y是(2.28)的一个解。于是c(3)+(4)得cdy+dy=cP(x)y+P(x)y+Q(x)=P(x)(cy+y)+Q(x)故y=cy+y是(2.28)的一个解。2)现证方程(4)的任一解都可写成cy+y的形式设y是(2.28)的一个解1(4’)则dy1=P(x)y+Q(x)(4’)dx1于是(4’)-(4)得d(y1y)=P(x)(yy)dx1即1yycy1(3)设y，y是(2.3)的任意两个解34则dy3=P(x)y(5)dx3dy4=P(x)y(6)dx4于是(5)c得cdy3=cP(x)ydx3即d(cy3)=P(x)(cy)其中c为任意常数dx3也就是y=cy满足方程(2.3)3(5)士(6)得dxdx34dyyPxyy)dx34也就是y=y士y满足方程(2.3)3421.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标(6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和解：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线Yy=y'(Xx)(xy,0),(0,yxy')xy，(5)yxdxxx=x(x+c)=x2+cx所以，方程的通解为y=x2+cx。(6)yxy'=x+y2dyyxdyyxdx2x22222(1)(x21)y'xy+=0y'=yxx21cx21/x21/=/x21/[jdx+c]3/x21/2=c/1x2/+x(2)(2)dyysin2dyysin2xQ(x)=sin2Q(x)=sin2xy=ej1?M?N=1.则?M=?N3?M?N.?x则?M=?N.得(x一y)2xy(x一y)2==?N2x(xy)22x2(xy)2xy==?x(xy)4(xy)3则?M?N.?x=(xy)?x=(xy)2x?u=1x2(1)?yy(xy)2(2)对(1)做x的积分，则u=j对(1)做x的积分，则u=jy2dxj1dx+(y)=y2lnx+(y)(3)y?y=(xy)2+dy对(y?y=(xy)2+dy+(x(xy)2dyy(xy)2则d(y)=1x2y22xy=1x22xy+y2=11dyy(xy)2(xy)2y(xy)2yyxyxxyxxyxyxxyxxy?M?N?y?x?M?N.yyx2xxyyx2xxy2yy2xxy2yy21y2?M1y21y21y2yy3yx2yy3yx2cosy+ysinyxx3xcosy+ysinyxx3x所以，?M=?N，故原方程为恰当方程?y?xyyx2xxxy2yy2sxdsinydxdyxyxyyxyy?y,Nxex?x所以，?M=?N，故原方程为恰当方程?y?xx2x2x2223x232x232x23222d(xy)+dy=0222解：两边同除以x2+y2得ydx-xdy=dx (y) (y)y2ydx-xdy=dxx2x (x)xaMaNay-ax1=Nx3x---M山故通解为： papx令令apdpazdp，apdp.Mdp-Ndp=p(aN-aM)，dzdzaxay(M-N)dp=p(aN-aM)，dzaxay?N?M?N?M?N?M?N?MMNMNMN(2)令z=x.y?xdz?xdz?ydz?ydzMxdNyd=(?N?M)?=?xdz?xdz?ydz?ydzMxdNyd=(?N?M)dzdz?x?y(MxNy)d=(MxNy)d=(?N?M)?N?Md?x??N?M18.设f(x,y)及?f连续,试证方程dyf(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.dy=P(x)y+Q(x),从而?(一(x)f(x,y))d(x)?y?ydx,?f(x),(x)(x)(x)(x)(x)有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])则?uyf=uf+uy?f+yf?u=f+y-yfx(f一g)+xy+xyyyyxyfgxyfgxy2(f一g)2?g?f?g?xy?f?xyxyyxyfgx(f一g)2?g?f而?uxg=ug+ux?g+xg?u=g+-?g?xy?f?xy?g?f =xf?xy?x_xg?xy?x=f?xy_g?xy xy(f_g)2(f_g)221．假设方程(2.43)中得函数M(x,y)N(x,y)满足关系?M?N=?y_?x证方程(2.43)有积分因子u=exp(jf(x)dx+jg(y)dy)即证?(uM)?(uN)u?M+M?u=u?N+N?uu(?M-?N)=N?u-M?u一u(?M-?N)=Nejf(x)dx+jg(y)dyf(x)?y?x?x?y?y?x-Mejf(x)dx+jg(y)dyg(y)一u(?M-?N)=ejf(x)dx+jg(y)dy(Nf(x)-Mg(y))?y?x22、求出伯努利方程的积分因子.使得dUMdxNdy.试证x,y也是方程yMuMuNyyyyy21212iiMMN，i1,2NiMiiyxxy212yx12yx12yx是方程的解。证毕！d12xy1xyd12xy1xy22222MM1dx2dx2dxMM2xNy1xNy22N22N1MxMN22N1MxM00N2211c22求解下列方程dxttt2ytyt22tc2dxttt2ttdtc (t2)2t于是求得方程参数形式得通解为〈|x=-t1y=5t5-2t2+t+cppptgQ2224t (t) (t2)t于是求得方程参数形式的通解为〈|(x=y=t+t因此方程的通解为y=1+x-c.x-cx得：ydx-xdyx2x24．dyy=dxx-xy=yxyyxxdxdxdxdx1-uu2即x=y(|c-1lny)|2 (2)y2yy28.dyyy2dxxx3解：令y=uxdydudydu1dxdxx即xdu=1u2dxx得到dudx=故1=1+cuxyxx2dxdx解：令dy=pp而dy=p故两边积分得到y=1p2lnp+c2x=p，x=p，y=1p2lnp+c。2dx令x+y=udxdx=1=xeu1dxdx即du=xdxu1212则1+dy=dudxdx那么那么dy=du1=udxdx=dxu+1解：令ey=u则y=lnu11u(2u1)du=x+1dx=+c2u1=+c即方程的解为ey(x+y)=2x+cdy2y4y2令z=x3则dz=3z332333219.X(dy)22y(dy)+4x=0dxdx解：方程可化为2y(dy)=x(dy令ayax-2xy-2xyydy=p,则y=xp2-4x=xp+2x,两边对x求导得p=p+xdp+2-2xdpdx2p2p22dxpp2dxayax-2xy-2xyy(p-2)=(x-2x)dp,(p-2)dx+(x-2x)dp=0,(p3-4p)dx+(-xp2+4x)dp=02p2p2dx2p2p2xp=,y=c22xccdxcosapsinasinacos2acos2adxcosapsinasinacos2acos2ayydydyzzydz-zzydz-yaMaN=2x,=-6x,==-所以方程有积分因子=2x,=-6x,==-所以方程有积分因子yyyy3yy2y2yy2所以方程的解为x=-1+y+c即(x+1)=y(y+c),另外y=0也是解。ydxxdyxydxxdyxdydy-40-y2dx2dydydydydyptxtetdypdxyjt(1+et)dt+c=t2+ettet+cdx223?M?N解：?M=2x+x2+y2,?N=2x,?y?x=1所以方程有积分因子ex方程两边同乘ex?M?N?y?xx2+y227.dudydxdx2u+5，，91791772728.xdyy=2x2y(y2x2)x即即29.dyy+=exydxx即dy=y+2xy(y2x2)dxxxdu+u=u+2ux2(u2x2x2)du=2x3(u3u)，du=2x3dxu3u(+)du=2xu2(u1)u1u2lnuy=，x1dulnulnuuxdxx2x2du=xdxu212dx3x2y26y5+dx3x2y26y5+3y2yx4+x2+y6y3x2y3=c即故即即故即令x=pcos9，y=psin9，则即将1p代入得，=sin9yx4+x6+c=(x2+1)(y31)xdx+ydx+y2y1d(x2+y2)+xdx=0dy1p=+cy(x2+y2)(y2+1)2=c2y2=d(x+y)xy(x2y2)=d(**)=d(xy)d(xy)x2y21=dvv21uv21vv21即xx2y21lylydy即dy=1y1dxx两边同除以x2，得ydx+xdy=dxx2x即d(y)=dlnxx速时停发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至v=3米/13120a=合(其中a3120a=合(其中a为质点的加速度，mdt1dv=kv其中k=k1，解之得mlnv=kt+c。v=3。55时刻起，有一个和时间成正比(比例系数为k)的力1作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和2解：由物理知识得：FF为质点受到的合外力)合F=ktkv2dt122dv=(k2)v+k1tdtmm(*)有mk21k2k2因此，此质点的速度与时间的关系为：k2kk222(1)ypex+y22yex=1e2x代入(*)式得到：exexz)2+2e2x(ex+z)+exe3x(**)1z1y=ex+1c+exnx个解为y=sinx+z，故zdx变量分离再两边同时积分得：1=x+c即z=1zx+c故原方程的解为y=sinx+1x+c(3)x2yp=x2y2(3)x2yp=x2y2+xy+1xx2由观察得到，它的一个特解为y=1，设它的任一x个解为y=1+z，故xdz=1z+z2，该式是一个n=2的伯努利方程dxx两边同除以z2得到：1dz=1.1+1z2dxxz1dxxzz齐线性du=1u齐线性1z=x(cen|x|)xy=xy=1(4)4x2(ypy2)=1y=y=个解为y=1+z，于是2xdz=1z+z2，这是n=2的伯努利方程dxx两边同除以z2得到：1dz=1.1+1z2dxxz1dddxxzzz=x(cen|x|)(5)x2(yp+y(5)x2(yp+y2)=2x2x由观察得，它的一个特解为y=1，故设它的任一x个解为y=1+z，于是xdz=2zz2，这是n=2的伯努利方程dxx两边同除以z2得到：1dz=2.11z2dxxz1dxxzzx23y=3x21，x3+cx即xy=2x3c.c+x3(6)xx2由观察得到它的一个特解为y=1，设它的任一个x解为y=1+z，于是xdz=2zz2，这是n=2的伯努利方程dxx两边同除以z2得到：1dz=2.11z2dxxz1dxxzzx23zx23x(x3+c)ypx)y2+(12x)y+xdx两边同除以z2得：1dz=1+(x1)xz1zy=1+z=1+1x+cex1求方程dy=x+y通过点(0,0)的第三次近似解；2(x)=00(x)=y+jx(x+y2)dx=jxxdx=1x2100002xy+jx[x+2(x)]dx=jx[x+(1x2)2]dx=1x2+1x5200102220(x)=y+jx[x+(1x2+1x5)2]dx300220=1x2+1x5+1x8+1x112求方程dy=x-y通过点(1,0)的第三次近似解；2令(x)=0令0(x)=y+jx[x2(x)]dx=jx[x(1x2)2]dx=1x21x5200102220(x)=y+jx[x(1x21x5)2]dx300220x1x5+1x81x111;31;33M404令中(X)=0;0x10300203339186342-1又4题讨论方程：dy=3y在怎样的区域中满足解的存dx2并求通过点(0，0)的一切解；y故或y故或232由dy=3y有：y=(x+c)32dx2=x32x"0aaa(T)-R(t)g(t)=f(t)g(t)-R(t)g(t)R'aaaaaaaasassta00dx00000000x000x0x00xx00xdx0x0000x0000cx000000000000000由解关于初值的对称性，(3，1)的两个解y=y(x,x,y)00及y=y(x,x,y)都过点(x,y)，由解的存在唯一性00000000000000100010000000对一切x=(x,x]有0000100011000Prooffxyf都在G内连续，从而f(x,y)在00x,x,x,x,y000000000000000000x0000x000x?y0因?f及、连续，因此?yQv?y?y1?y?y1这里r具有性质：当编y)0时，；r)0且当编y=0时r=0，1010100000|=z|=z000000初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定x,x,z,编x,x,z,编yy00y)0编y?y000000x?yx?y0x,x,x,x,y003．解：这里f(x,y)=p(x)y+v(x)满足解对初值的可微性定理条件=-(p(x)y+Q(x))expjxp(x)dx0000x0?Q=expjx?f(x,Q)dx=expjxp(x)dx0?yx0?yx0000000000?ydy=p(x)y+Q(x)满足y(x)=y的解为?ydx0000x0xx00000000000000=(p(x)y+Q(x))expjxp(x)dx0000x0?xxxx0?xxxx000000x00=p(x)(x,x,y)+Q(x)004．解：这是f(x,y)=sin(y)在(1，0)某领域内满足解对x初值可微性定理条件，由公式?x(1,0)00x?y(1,0)?y(x,x0,y0)=f(x,y)exp(jx?f?x(1,0)00x?y(1,0)00?x(1,0)x?y(1,0)xxx(1,0)?x(1,0)x?y(1,0)xxx(1,0)0001xxxyx0=11xyx0=11x0y=0(一)、解下列方程，并求奇解(如果存在的话)：dx(dx)dxxp2p+2xdp+2xp4+4x2p3dpdxdx (dx)p4p2dxp2p2、x=y-(|dy)|2 (dx)=dx2pdx(dx)|x-=0 (dx)dx解：这是克莱洛方程，因此它的通解为lx+2c=0 (dx)dxdx两边对x求导，得p=2p+2xdp+2pdpdxdxdpp33程没有奇解. (dx)(dx) (dx)21c2 (dx)(dx)程没有奇解.8、x(|dy)|2-(x-a)2=0 (dx) (dx)xdyx程没有奇解.dx3(dx)dx3dxdxdpp-2=pc3且y=2x-2也是方程的解，但不是方程的奇解.3 (dx)dxdxdx(dx)(二)求下列曲线族的包络.xx2244y-x2是原方程的包络.42y，按条件有x-y+y-xy，=a，化简得y=xy，-ay，，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线y=cx-ac，(ac它的包络是|y=cx-1-c，证：克莱洛方程y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-从(y=cx+f(c)中消去p后而得的曲线；〈l0=x+f,(c)c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的显然一a为常数，与题矛盾，即假设不成立x(t)，y(t)b2.证明非齐线形方程的叠加原理：设x(t)，1非齐线形方程x(t)分别是2dnx+a(t)dn1x+^+a(t)x=f(t)dtn1dtn1n1dnx+a(t)dn1x+^+a(t)x=f(t)dtnn的解，则x(t)+x(t)2(1)(2)是方程dnx+a(t)dn1x+^+a(t)x=f(t)+f(t)的解。证明：由题可知x(t)，x(t)分别是方程(1)，(2)的解则(3) (4)：dnx(t)1+a(t)dn1x(t)1+^+a(t)x(t)=f(t)dtn1dtn1n11+a(t)dn1x(t)2+^+a(t)x(t)=f(t)dtnn2那么由(3)+(4)得：+a(t)+^+a(t)(x(t)+x(t))=f(t)+f(t)dtn1dtn1n1212即x(t)+x(t)是方程是dnx+a(t)dn1x+^+a(t)x=f(t)+f(t)的dtndtnn12x=x=14124224.试验证d2x+tdx_1x=0有基本解组t，et，并求方dt21_tdt1_t程dx+tdx_1x=t-1的通解。dt21_tdt1_t解：由题将t代入方程d2x+tdx_1x=0得：dt21_tdt1_tdt21_tdt1_t1_t1_t故t，et是方程d2x+tdx_1x=0的基本解组dt21_tdt1_t211221200211c=c=1222221cc=c=_2xt1et_1e_t22222^^00|lc1e0-c2e0=x0，x-xc=c=0