高中数学-椭圆经典练习题-配答案

高中数学-椭圆经典练习题-配答案椭圆练习题一、选择题：1.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为7。（选D）2.中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为2，则椭圆方程是x^2/16+y^2/4=1。（选C）3.与椭圆9x+4y=36有相同焦点，且短轴长为4√5的椭圆方程是x^2/25+y^2/20=1。（选B）4.椭圆5x-ky=5的一个焦点是(0,2)，那么k等于1。（选B）5.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于1/2。（选B）6.椭圆两焦点为F1(-4,0)，F2(4,0)，P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆方程为x^2/16+y^2/25=1。（选B）7.椭圆的两个焦点是F1(-1,0),F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是x^2/169+y^2/121=1。（选C）8.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为90度。（选C）9.椭圆x^2/25+y^2/9=1上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|为4。（选A）10.已知△ABC的顶点B、C在椭圆x^2/9+y^2/16=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是12。（选D）二、填空题：11.方程x^2/m^2+y^2=1表示焦点在y轴的椭圆时，实数m的取值范围是|m|>1。（填-1）12.方程y^2/x^2+1=2y/x表示焦点在x轴的椭圆时，椭圆的离心率为1/2。（填1/2）2212.过点(2,-3)且与椭圆$9x+4y=36$有共同的焦点的椭圆的标准方程为$x^2/9+y^2/4=1$。151013.设$M(-5,0)$，$N(5,0)$，$\triangleMNP$的周长是36，则$\triangleMNP$的顶点$P$的轨迹方程为$(x^2/25+y^2/16)=1$。14.如图：从椭圆上一点$M$向$x$轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点$F_1$，且它的长轴端点$A$及短轴的端点$B$的连线$AB\parallelOM$，$MF_1=2MB$，则该椭圆的离心率等于$1/2$。15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率$e=\sqrt{3}/2$，短轴长为85，求椭圆的方程。椭圆的标准方程为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，由离心率公式$e=\sqrt{1-b^2/a^2}$，可得$a/b=2\sqrt{3}$，又$b=85/2$，代入得$a=85\sqrt{3}$，所以椭圆的方程为$x^2/2295+y^2/7225=1$。16.已知点$A(3,4)$和圆$O_1:x^2+y^2-2x-4y+4=0$，点$M$在圆$O_1$上运动，点$P$在半径$OM$上，且$PM=PA$，求动点$P$的轨迹方程。设$P(x,y)$，则$OM=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$，$PA=\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}$，由题意得$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}$，解得$y=1-x$，代入圆的方程得$x^2-2x+1=0$，解得$x=1$，故$P$的轨迹方程为$y=2$。17.已知$A$、$B$为椭圆$4x^2+y^2=1$上两点，$F_a$，$AB$为椭圆的右焦点，若$|AF_a|+|BF_a|=2\sqrt{a^2+9/5}$中点到椭圆左准线的距离为$2\sqrt{5}$，求该椭圆方程。设椭圆的标准方程为$4x^2+y^2=b^2$，则左准线方程为$x=-b/2$，右焦点坐标为$(a\sqrt{5},0)$，根据右焦点的定义可得$2a=\sqrt{5}b$，又由中点到左准线的距离为$2\sqrt{5}$可得$b=2\sqrt{5}$，代入解得$a=1$，故椭圆的方程为$4x^2+5y^2=20$。18.根据条件，分别求出椭圆的方程：（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为$1/2$，长轴长为8。设椭圆的标准方程为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，由离心率公式$e=\sqrt{1-b^2/a^2}$，可得$a/b=4$，又长轴长为8，故$a=4$，$b=1$，所以椭圆的方程为$x^2/16+y^2=1$。（2）中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在$x$轴上，短轴的一个顶点$B$与两个焦点$F_1$，$F_2$组成的三角形的周长为$4+\sqrt{23}$，且$\angleF_1BF_2=\pi/3$。设椭圆的标准方程为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，由$\angleF_1BF_2=\pi/3$可得$b^2=a^2-3F_1B^2$，又由三角形周长可得$a+b+F_1F_2=4+\sqrt{23}$和$2a=F_1F_2$，解得$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$F_1F_2=2\sqrt{2}$，故椭圆的方程为$x^2+y^2/2=1$。19.已知$F_1$，$F_2$为椭圆$y^2/100-x^2/64=1$右焦点，$P$是椭圆上一点。（1）求$|PF_1|\cdot|PF_2|$的最大值；（2）若$\angleF_1PF_2=60^\circ$且$\triangleF_1PF_2$的面积为$64\sqrt{3}$，求$b$的值。（1）由椭圆的性质可知$|PF_1|\cdot|PF_2|$为定值$c^2-a^2$，其中$c$为焦距，$a$为长轴长，代入可得最大值为$3600$。（2）由$\angleF_1PF_2=60^\circ$可知$\triangleF_1PF_2$为正三角形，设长轴长为$2a$，短轴长为$2b$，则$a^2-b^2=100$，$c^2=a^2+b^2$，又由面积公式可得$b^2\sqrt{3}=64\sqrt{3}/4$，解得$b=2$。1.根据题意，整理出以下公式：|PF1|·|PF2|=233|PF1|²+|PF2|²-4c|PF1|=4a²|PF1|+|PF2|-4c=2|PF1|·|PF2|·cos60°c=6,b=82.椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0)，过点(0,-2)，根据椭圆的定义式，可得椭圆方程为x²/4+y²/16=1。3.将椭圆方程转化为标准形式，得x²/4+(y+3)²/16=1，焦点坐标为(0,-5)和(0,-1)。根据题意，PF1+PF2=a，因此点P的轨迹为椭圆或线段。4.根据题意，PF1+PF2=2a，因此点P到两个焦点的距离之和为常数2a。根据椭圆的定义式可得2a=2√(a²+b²)，整理得b²=a²-9。因此椭圆的方程为(x²/9)+(y²/(a²-9))=1。5.相同的离心率意味着a和b的比值相同，即a/b=k。根据椭圆的定义式可得k²a²-b²=k²a²/(1-k²)，整理得b²=a²(1-k²)。因此两个椭圆的长轴和短轴比值相同，即具有相同的长、短轴。6.椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，即2b²/a=4a，解得b²=2a²。根据椭圆的定义式可得离心率为e=√(1-b²/a²)=1/2。7.根据题意，设P的坐标为(x,y)，则P到右准线的距离为a-x，到左焦点的距离为√((x+2)²+y²-1)，根据题意得到方程(a-x)/√((x+2)²+y²-1)=1/4，整理得16(x+2)²+25y²=400，即16x²+25y²=264。P到左焦点的距离为√((x+2)²+y²-1)-√(x²+y²-1)，可用拉格朗日乘数法求得最大值为77/8。8.椭圆的方程为x²/16+y²/9=1，直线x+2y-2=0的法向量为(1,2)，对称直线的方程为x+2y+2=0。设点P到直线x+2y-2=0的距离为d，则点P到对称直线的距离也为d，因此点P到直线x+2y+2=0的距离为|d-2|。点P到椭圆的距离为√(x²/16+y²/9-1)，根据题意可得d-2=e√(x²/16+y²/9-1)，其中e为椭圆的离心率，代入椭圆方程可得(x²/16+y²/9)(1-e²)=1，解得e=4/5。将d-2=4/5√(x²/16+y²/9-1)代入(x+2y-2)²/5²=(d-2)²/16可得(x+2y-2)²/25=(4/5√(x²/16+y²/9-1))²/16，整理得16x²+9y²=144，即4x²+y²=36。将4x²+y²=36代入d-2=e√(x²/16+y²/9-1)中，可得d的最大值为11。9.根据题意，设椭圆的方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，根据椭圆的定义式可得焦距为c=√(a²-b²)，准线间距为2b，因此2b=4c，解得b²=4a²/3。将b²=4a²/3代入椭圆方程可得3x²+4y²=4a²，即椭圆的标准方程为(x/2a)²+(y/√(4a²/3))²=1。1.由题意，需要求与直线x+2y-2=0平行且切点最远的点，或者求与直线x+2y+c=0平行且切点最近的点，其中c为常数。将直线x+2y+c=0化简得8y+4cy+c-16=0，解得c=±42。所以与直线x+2y-2=0平行且切点最远的点为(-42,-2)，切点距离为10。2.由已知，椭圆的右焦点为F，坐标为(1,0)，离心率为e=√(1-9/16)=√(7/16)，所以长轴长度为2a=2e=√(7/2)。椭圆标准方程为(x-1)²/7+y²/16=1。设P点坐标为(x,y)，则根据椭圆的定义，有PF/PM=e，即PF²=(x-1)²+y²=7/16[(x+1)²+y²]。化简得8x+15y=1。设PN垂直于椭圆的准线于N，PN的长度即为MP+2MF的最小值。由椭圆的几何性质，椭圆右准线方程为x=4，所以N的坐标为(4,y)。设PN的长度为d，则有d=√[(x-4)²+y²]，代入8x+15y=1得d=√(265)/17。所以|MP|+2|MF|=d-2a=√(265)/17-√(7/2)。3.过点M(-2,0)的直线m的斜率为k，代入椭圆方程得4x²+9k²x²=36，化简得x²=4/(4+9k²)。设P1(x1,y1)和P2(x2,y2)为m与椭圆的交点，则有x1+x2=-2，y1+y2=0，代入椭圆方程得4x1x2+9y1y2=36。化简得x1x2=-9k²/4。又因为P1和P2在m上，所以有k(x1+2)=y1，k(x2+2)=y2。代入x1x2=-9k²/4得到4k²(x1+2)(x2+2)=9k²，化简得x1x2+2x1+2x2=9/4。将x1+x2=-2代入得x1x2-4=9/4，即x1x2=-25/4。解得x1=5/2，x2=-7/2。代入椭圆方程得y1=±3/2，y2=∓3/2。所以m与椭圆的交点为(5/2,3/2)和(-7/2,-3/2)。过点(-3,2)且与椭圆4x+9y=36有相同焦点的椭圆方程为(x+3)²/25+y²/4=1。4.设椭圆的标准方程为(x/13)²+(y/11)²=1，即a=13，b=11。根据椭圆的定义，有x²/a²+y²/b²=1。将其化简为11x²+13y²=11a²=1859。由于x²和y²都非负，所以11x²+13y²≥0，所以x²/a²+y²/b²≥1，即x²/169+y²/121≥1。所以|x|≥13，|y|≥11，即x+y的取值范围为[-24,24]，所以x+y的最小值为-24。已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于4/5。已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2/3。如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为2/3。若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y=2bx的焦点为F，若F1F=ab/3F2，则此椭圆的离心率为1/2。已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2=b^2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(0，1)。过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为2/3。在△ABC中，AB=BC，cosB=-1/2。若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=3/4。（余弦定理）设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点分别为A、B、C、D，若菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为√2-1。（只能求出e的平方）在平面直角坐标系中，椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a^2=2b^2。则椭圆的离心率为√3/2。本文存在格式错误和明显有问题的段落，已经进行了删除和改写。以下是修改后的文章：假设有一个圆，以a为半径。过点P作该圆的两条切线，记为线段AB和线段CD。若线段AB和线段CD互相垂直，则该圆的离心率e等于多少？根据公式e=√(1-b²/a²)，其中b为圆的另一个焦点到圆心的距离，需要利用45°-4