2021-2023年高考数学真题分类汇编（全国通用）：立体几何（解答题）（文）（教师版含解析）

专题06立体几何（解答题）（文）知识点目录知识点1：线面角知识点2：直接法求体积问题知识点3：换底法求体积问题知识点4：割补法求体积问题知识点5：距离及几何体的高问题近三年高考真题知识点1：线面角1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1．（1）求证：；（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．【解析】（1）证明：取的中点，连接，底面，底面，，，，底面，底面，，，，，平面，平面，平面平面，到平面的距离为1，到的距离为1，，；（2）过作交的延长线与，连接，取的中点，连接，四边形为平行四边形，平面，，平面，平面，，，为直线与距离，，，由（1）可知平面，为与平面所成角的角，易求得，，，，．与平面所成角的正弦值为．【点评】本题考查线线相等的证明，考查线面角的求法，属中档题．2．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，．（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；（2）求直线与平面的夹角大小．【解析】（1）如图，在长方体中，；（2）连接，，四边形为正方形，则，又，，平面，直线与平面所成的角为，．直线与平面所成的角为．【点评】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题．知识点2：直接法求体积问题3．（2023•乙卷（文））如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积．【解析】（1）证明：在中，作，垂足为，设，则，因为，所以，所以，即，解得，又因为，所以，且，所以，所以，即，解得，即，所以是的中点，是的中点，又因为是的中点，所以，同理，，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）过作垂直的延长线交于点，因为，是中点，所以，在中，，，所以，因为，，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，即三棱锥的高为，因为，所以，所以，的面积为，所以三棱锥的体积为．【点评】本题考查了直线与平面平行的应用问题，也考查了几何体体积计算问题，是中档题．4．（2022•乙卷（文））如图，四面体中，，，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．【解析】证明：（1），，，，，又为的中点．，，为的中点．，又，平面，又平面，平面平面；（2）由（1）可知，，，是等边三角形，边长为2，，，，，，，又，，平面，由（1）知，，连接，则，，当时，最短，此时的面积最小，过点作于点，则，平面，，，，三棱锥的体积．【点评】本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算能力，是中档题．5．（2021•甲卷（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，．（1）求三棱锥的体积；（2）已知为棱上的点，证明：．【解析】（1）在直三棱柱中，，又，，，平面，平面，，平面，，又，故，，而侧面为正方形，，，即三棱锥的体积为；（2）证明：如图，取中点，连接，，设，点是的中点，点时的中点，，，、、、四点共面，由（1）可得平面，平面，，，且这两个角都是锐角，，，，又，，平面，平面，又平面，．【点评】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．6．（2021•乙卷（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．【解析】（1）证明：底面，平面，，又，，，平面．平面．平面，平面平面；（2）由底面，即为四棱锥的高，是直角三角形；底面是矩形，，为的中点，且．设，取的中点为．作交于，连接，，，可得，，那么．且．，，．是直角三角形，根据勾股定理：，则；由是直角三角形，可得，解得．底面的面积，则四棱锥的体积．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题．7．（2021•上海）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面．（1）若为等边三角形，求四棱锥的体积；（2）若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的大小．【解析】（1）为等边三角形，且为中点，，，又平面，四棱锥的体积．（2）平面，为与平面所成角为，即，为等腰直角三角形，，分别为，的中点，，，，或其补角即为与所成角，平面，，又，，、平面，平面，，在中，，故与所成角的大小为．【点评】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．知识点3：换底法求体积问题8．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．【解析】（1）证明：因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）过作，交于点，过作于点，连结，由题意可知，，又平面所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，则为二面角的平面角，即，又，所以，则，故，所以，因为，则，所以，则，所以，则，所以．知识点4：割补法求体积问题9．（2022•甲卷（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．（1）证明：平面；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【解析】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做于点，做于点，由于底面为正方形，，均为等边三角形，故等边三角形的高相等，即，由面面垂直的性质可知，均与底面垂直，则，四边形为平行四边形，则，由于不在平面内，在平面内，由线面平行的判断定理可得平面．（2）易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高，长方体的体积，一个三棱锥的体积，则包装盒的容积为．【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．知识点5：距离及几何体的高问题10．（2023•甲卷（文））如图，在三棱柱中，平面，．（1）证明：平面平面；（2）设，，求四棱锥的高．【解析】（1）底面，面，，又，，平面，，平面，又平面，平面平面；（2）平面，，平面，，，，，△，，底面，面，，，，，，过作于，，为的中点，，由（1）可知平面，四棱锥的高为1．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的高的求法，属中档题．11．（2023•上海）已知三棱锥中，平面，，，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点，．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求直线到平面的距离．【解析】（1）连接，，平面，为直线与平面