三角形的中线与面积的三个重要结论

三角形的中线与面积的三个重要结论三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，三角形的面积是指三角形所覆盖的平面面积。在三角形中，中线和面积有着密切的关系，下面将探讨三角形中线与面积的三个重要结论。一、三角形的一条中线与面积如图1所示，若AD是三角形ABC的中线，则三角形ABD的面积等于三角形ACD的面积，且它们的面积都是原始三角形ABC面积的一半。证明：因为AD是三角形ABC的中线，所以BD=CD。过点A作AE⊥BC，垂足为E，则有S三角形ACD=1/2×CD×AE，S三角形ABD=1/2×BD×AE，因此S三角形ABD=S三角形ACD，且它们的面积都是原始三角形ABC面积的一半。由此得到如下结论：1、等底同高的两个三角形面积相等。2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等。二、三角形的两条中线与面积如图2所示，若AD、BE是三角形ABC的中线，则①三角形BDF的面积等于三角形AEF的面积；②三角形ABF的面积等于四边形CDFE的面积；③四边形CDFE的面积等于不对顶三角形面积的2倍，即等于原始三角形ABC面积的一半。证明：因为AD、BE是三角形ABC的中线，所以S三角形ABD=S三角形ACD，S三角形ABE=S三角形BCE。连接CF，易得S三角形BDF=S三角形CDF=S三角形AEF=S三角形CEF，因此S三角形BDF+S三角形ABF=S三角形AEF+S四边形CDFE，又因为S三角形AEF+S三角形ABF=S三角形BDF+S四边形CDFE，将两式相减可得S三角形BDF=S三角形AEF，S三角形ABF=S四边形CDFE。因此，①三角形BDF的面积等于三角形AEF的面积；②三角形ABF的面积等于四边形CDFE的面积；③四边形CDFE的面积等于不对顶三角形面积的2倍，即等于原始三角形ABC面积的一半。由此得到如下结论：1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等。2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍。综上所述，三角形的中线与面积有着重要的关系，掌握这些结论可以更深入地理解三角形的性质。如图3，三角形ABC的中线AD，BE，CF分别连接了三角形的对边中点，设△BGD的面积为S1，△BGF的面积为S2，△AGF的面积为S3，△AGE的面积为S4，△CGE的面积为S5，△CGD的面积为S6，△ABC的面积为S。则有S1=S6，S2=S3=S4=S5，S1+S2+S3=S4+S5+S6，且S1=S2=S3=S4=S5=S6=S/3。证明：因为AD是三角形ABC的中线，所以BD=CD，且△ABD和△ACD的高相同，所以S1+S2+S3=S4+S5+S6。又因为BG和CG是三角形BGD和CGD的中线，所以S1=S6。又因为BF=AF且△BGF和△AGF的高相同，所以S2=S3。同理可证S4=S5。因此，S1=S2=S3=S4=S5=S6，且S1+S2+S3=S4+S5+S6，即S1=S2=S3=S4=S5=S6=S/3。由此可得结论：三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面积的六分之一。二、结论在解题中的应用例1（2015•广东省）如图4，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若三角形ABC的面积为12，则图中阴影部分面积是多少。分析：根据结论，阴影部分的面积应该是三角形面积的六分之一，即12/6=2。因为三条中线分割三角形成六个小三角形，每个小三角形的面积相等，所以阴影部分的面积为2。例2：三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题：（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；解：方法一：如图6，三角形ABC的中线AD将三角形分成两个面积相等的三角形，再将△ABD和△ACD的中线分别连接，即可将三角形分成四个面积相等的小三角形。方法二：如图7，三角形ABC的中线AD将三角形分成两个面积相等的三角形，再将△ABD和△ACD的高分别平分，即可将三角形分成四个面积相等的小三角形。（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块，则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？分析：根据结论，四边形的一块应该是三角形面积的六分之一，即84/6=14。因为阴影部分是由三角形的两条中线分成的四个小三角形组成，且每个小三角形的面积相等，所以阴影部分恰好可放养14只羊。分析：利用三角形的中线性质和等底同高的原理，可以求解出各个图形的面积。在解题过程中，需要认真分析每个图形的特点，找到相应的关系，才能得出正确的答案。解题步骤：1.对于例3，根据中线分割图形与原来三角形面积之间的关系，可以得出阴影部分的面积为1。2.对于例4，分别延长BC、CA、AB，找到三角形的中线和等底同高的关系，得出阴影部分的面积分别为a、2a、4a、6a。同时，根据阴影部分与三角形ABC的面积之和，可以求出三角形DEF的面积为7a。解题时，我们可以利用三角形的中线性质和等底同高的原理，来求解各个图形的面积。需要仔细观察每个图形的特点，找到相应的关系，才能得出正确的答案。在例3中，根据中线分割图形与原来三角形面积之间的关系，我