2023-2024学年人教版九年级数学上学期知识点归纳

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第二十一章一元二次方程

一、一元二次方程

1、一元二次方程

含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

3、一元二次方程的解（根）

①概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解

也叫做一元二次方程的根。

②判断一个数是否是一元二次方程的根：

将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不

相等，则该数不是这个方程的根。

③关于一元二次方程根的三个重要结论：

Ⅰ.a+b+c=0一元二次方程有一个根为x=1；

Ⅱ.a-b+c=0一元二次方程有一个根为x=-1；

Ⅲ.c=0一元二次方程有一个根为x=0。

二、解一元二次方程

1、降次

把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)。

2、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x2=b或的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b0）或向下（k0）或向左（hr1+r2)

（2）内含(0≤d<r2r1)

2、相切：如果两个圆只有一个公共点。

（1）外切(d=r1+r2)

（2）内切(d=r2r1)

3、相交：如果两个圆有两个公共点(r2r1<d<r1+r2)。

4、由两圆组成的图形都是轴对称图形，对称轴是过这两个圆的圆心的直线。

四、正多边形与圆

（一）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。

（二）圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆。

（三）与正多边形有关的概念

1、中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。

3、中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

4、边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

（四）正多边形有关计算

1、中心角：∠α=；

2、半径、边长、边心距的关系：R2=r2+()2；

3、正n边形的周长：C=na；

4、正n边形的面积：S=ar·n=Cr。

（五）正多边形的对称性：正多边形都是轴对称图形，当n为偶数时，是中心对称图形，几何中心就是对称中心。

五、弧长和扇形面积

（一）弧长公式：n°圆心角所对的弧长为l=。

（二）扇形

1、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

2、扇形的周长公式：C=2R+l=2R+。

3、扇形面积公式

（1）S扇形=；

（2）S扇形==R=lR。

六、反证法

概念：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得

到原命题成立。反证法是一种间接证明命题的方法。

注：运用反证法在进行推理论证时，要把假设作为新增条件参与论证。

第二十五章概率初步

一、随机事件与概率

（一）确定性事件与随机事件

1、确定性事件

（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件；必然事件一定会发生，即发生的可能性是100%；

（2）不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件；不可能事件一定不会发生，即发生的可能性是0。

注：一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述违背真理或客观存在的事实的事件是不可能事件。

2、随机事件（不确定性事件）

（1）概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

（2）随机事件发生的可能性都在0～100%之间（不包括0和100%)。

注：比较随机事件发生的可能性大小时，可在相同的条件和总数一定的情况下，通过可能出现的结果数进行比较，结果数越多，则这个事件发生的可能性越大。

（二）概率

1、概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。

2、概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=。

注：运用上述计算概率的方法时，试验需满足两个共同特点：

（1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；

（2）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。

3、概率的取值范围

（1）当A为必然事件时，P(A)=1；

（2）当A为随机事件时，0<P(A)<1；

（3）当A为不可能事件时，P(A)=0；

（4）事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。

4、计算简单事件的概率的主要类型

（1）个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果的试验；P(A)=。

（2）面积类型：如果随机试验是向区域S内掷一点，那么掷在区域A(A在S内)内的概率P(A)=。

二、用列举法求概率

1、用直接列举法（枚举法）求概率

（1）用直接列举法（枚举法）求概率：当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式P(A)=求事件发生的概率。

（2）适用条件：①对象比较单一；②等可能结果数目较少。

2、用列表法求概率

（1）用列表法求概率：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，常采用列表格的方式列举出所有的等可能结果，再利用概率公式P(A)=求事件发生的概率。

（2）适用条件

①当一次试验涉及两个因素；②可能出现的等可能结果数目较多。

3、用画树状图法求概率

（1）用画树状图法求概率：当一次试验涉及两个或更多个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，通常采用画树状图法列举出所有的等可能结果，再利用概率公式P(A)=求事件发生的概率。

（2）适用条件：①当一次试验涉及两个或更多个因素时；②可能出现的等可能结果数目较多。

三、利用频率估计概率

（一）频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率。

（二）利用频率估计概率：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性；因此，可以用随机事件发生的频率来估计它的概率。

（三）适用条件

当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发