2023届上海市宝山区高三二模数学试卷及答案

宝山区2022学年第二学期期中混合式教学适应性练习高三年级数学学科练习卷考生注意：121题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题47～12题每题5分要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．已知集合A,B2,ABxx1不等式0的解集为yxa的图像经过点3，则此幂函数的表达式为3若幂函数已知复数m2mmm325（其中i为虚数单位）,则实数m6i3a2an2已知数列an的递推公式为n1n，则该数列的通项公式an1262xx在的展开式中，常数项为（结果用数字作答）从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为ABPBA若数列a为等差数列，且aS20，则该数列的前n项和为Sn25nAC△的内角A、B、C的对边分别为a、b、cabAB2如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出5060，的数据）和频率分布直方图，则xy11已知函数a且a1的不等式fxax12fax2c0的解集为bx（0，a则实数的取值范围是34142bcb当与的已知非零平面向量babac4aab夹角最大时，的值为41813～14题每题4～16题每题5.第1页共4页若：x24，：x2是）条件.充分非必要C..必要非充分.既非充分又非必要fxxm12ab已知定义在R上的偶函数fafbm、，12则的最小值为（）ab985..9C..8n1k5nk1、kk1、k15.将正整数分解为两个正整数两数差的绝对值最222如1245fn1k45的最优分解，当k、k是的最优分解时，定义n，则数列f5n项的和为122（）.1C.5.5116.在空间直角坐标系O的面积为S、A、B、C为顶点的锥体的体积为VVB0,2,0和动点Ct,t2t0．）S215445.5.5C.5.5三、解答题（本大题共有5题，满分78应的题号）内写出必要的步骤．14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）3已知函数f(x)xx3cos2x.21）求函数yfx的最小正周期和单调区间；2）若关于x的方程fxm0在x，上有两个不同的实数解，求实数m的2取值范围.14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）四棱锥P的底面是边长为2的菱形，60，对角线与相交O，，与底面所成的角为60，E是的中点.（1）求异面直线与（2）证明：并求点E到平面的距离.PEBD-ACO第2页共4页16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量x4x20，xZ产成本y（万元）的四组对照数据.x4681084y122028(1)试建立x与y的线性回归方程；(2)研究人员进一步统计历年的销售数据发现，在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化.经分析,每件产品的销售价格qxqxxx141214P假设产品月利润=月销售量×销售价格－成本.（其中月销售量=生产量）x根据（1）进行计算，当产量为何值时，月利润的期望值最大？最大值为多少？16分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分）已知抛物线y24x：1）求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；12）过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点B，求线段的长；23PQQ的直线与抛物线交于两个不同的点M、N(均不与点P重合)，且以线段为直径的圆恒过点P?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如：方程y1中，当k取给定的实数时，表示一条直线；当k在实数范围内变化时，表示过点的直线族（不含y轴）.第3页共4页2(a2)x4y4aa20(其中aR)为，直线族ytxt3(其2记直线族中t0)为.(1)分别判断点,B是否在的某条直线上，并说明理由；(2)对于给定的正实数x，点P(x,y)不在的任意一条直线上，求y的取值范围00000(3)的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求的包络和的包络.第4页共4页宝山区2022学年第二学期期中混合式教学适应性练习高三年级数学学科练习卷参考答案2.yx4.15.32n16.3127.8.nn9.10.11.12.43313.B14.A15.Bx16.C31212x317.解：f(x)x3cos2xsin2x322213sin2x2xsin2x分223最小正周期T……4分……6分……8分12当2x22即x，kZ32212函数为增函数.212当2x22即x，kZ3212函数为减函数.fxm0有两个不同的实数解2等价于ysin2x和直线ym的图像在x，上有两个不同的交点.……10分323333x，2x，sin2x……12分分32，3由图知m1218.解（取的中点FEF,.由E是的中点得以是异面直线与所成角(或其补角)，在Rt中AB303，6于是,在等腰Rt6.2和正△,3，1643EF242DEcosFED2所以异面直线与所成角的大小是arccos.42）证明：易知O为的中点，又E是的中点.又面,面从而点E到平面的距离等于点O到平面D的距离313312OA3,ODSAOD，OP3从而VPAOD32215AP6,DPADS，O到平面的距离为d,又2131521155155由OVP得dE所以点到平面的距离为d2另解2O为坐标原点OB,OC,分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角0,0，B，D，P3坐标系.在Rt中3,31，于是（1）E是的中点，则E,0，22332,0，，3设与的夹角为,2322有,93433442所以异面直线与所成角的大小是.4(2)设nx,y,z是平面一个法向量3，3由n3y3z0,nPDx3z0令y1则zx3n3331230，则OEnOE，n222O到平面的距离为d,332，233232EDn则155dn5E到平面的距离为.5ˆyaxbˆ……2分分分ˆ代入公式或应用计算器求得回归系数ˆb42.4x与y的线性回归方程为y11.2x，2）设月利润为YYqxyY的分布列为Y100xx2x42.4)90xx2x42.4)80xx2x42.4)141214P从而，112EY100xx2x42.4)290xxx42.4)4180xx2x42.4)x278.8x42.44fxx278.8x42.4,4x20，易知函数fx在4,20上是增函数，……12分故f(x)f(20)1218.4.……14分即产量为件时，月利润期望最大，最大值为万元.……16分Fl：x1……3分分12）F，则直线的方程为yx，2x18x102代入抛物线方程并化简得设x,y,Bx,y，则由韦达定理得xx分112212由抛物线定义可知，ddBlxxxx2Al1212所以线段的长为.分另解：用弦长公式求解，相应给分.3Q,n,使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M,N(均不与点P重合，以线段为直径的圆恒过点Pkk1……9分PMPN设直线的方程为xtynm，代入抛物线方程y24x得：y2tytnm0设Mx,y,Nx,y，由韦达定理得yyt,yytnm……11分33443434y2y2y32y4216y2y2kPMkPN34x1x111y321y421343444164tnm2t41整理得tn2m50对任意的tR恒成立，……15分nm5此时Δt所以存在定点Q2,使得过点Q的直线与与抛物线C交于两个不同的点M,N(均不与2t1625160t2点P重合)，以线段为直径的圆恒过点P分另解：借助PMPN0计算，则相应给分。2a2a4aa0将代入得关于的方程，解为，A在的直线y1上.分Ba284aa的方程a20将代入得关于Ba2a40无实数解，故的任意一条直线上.…...4分2化简得（2）若点P(x,y)的任意一直线上,t的方程yt020t3无解…...6分00ttx0tt0t.x0.20t3f'2令ft)tf'x.当t(0,)f当tx)0'0.3ft)f(0)03，ft),x…...8分0y03.0…...10分（3）由（2）的结论猜测的包络是曲线yx3(x.…...11分x3x3xtxt.'3222yxx0上任取一点t,tt0，33则过该点的切线方程是yttxt即3ytxt.3223t0，ytyx2xt3的确为曲线yx(x.0整理为a的方程a3(x的切线.故的包络是曲线3…...13分2