2022-2023学年广东省东莞市虎门三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列式子中，属于最简二次根式的是()

A.B.C.D.

2.下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是()

A.，，B.，，

C.，，D.，，

3.下列计算错误的是()

A.B.

C.D.

4.在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是()

A.

B.

C.

D.

5.如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于()

A.B.C.D.

6.下列和是同类二次根式的是()

A.B.C.D.

7.如图，在中，是斜边的中线，且，，则的长为()

A.

B.

C.

D.

8.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是()

A.，B.，

C.，D.，

9.下列计算中正确的是()

A.B.C.D.

10.如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.要使二次根式有意义，则的取值范围是______．

12.在中，，则______．

13.如图，在菱形中，已知，，对角线、交于点，那么菱形的面积为______．

14.计算：______．

15.如图，在中，、分别是、的中点，，则长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

计算：；

．

17.本小题分

如图，、是平行四边形对角线上的两点，且求证：四边形是平行四边形．

18.本小题分

如图，中，，，，于，求斜边和高的长．

19.本小题分

如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．

20.本小题分

先化简再求值：，其中．

21.本小题分

如图，在中，点是边的中点，与的延长线交于点．

求证：≌；

若平分，连接试判断和的位置关系，并说明理由．

22.本小题分

如图，将长方形沿对折，使落在的位置，且与相交于点

求证：

若，求折叠后的重叠部分阴影部分的面积．

23.本小题分

在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当其中一个动点到达后就停止运动．

若，分别是，中点，求证：四边形始终是平行四边形．

在条件下，当为何值时，四边形为矩形．

若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

C、是最简二次根式，故此选项符合题意；

D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

故选：．

根据最简二次根式的定义逐项判断即可．

本题考查了最简二次根式的定义，熟知：如果二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．

【解答】

解：，

此三角形是直角三角形，不合题意；

B.，

此三角形是直角三角形，不合题意；

C.，

此三角形是直角三角形，不合题意；

D.，

此三角形不是直角三角形，符合题意．

故选D．

3.【答案】

【解析】解：，故此选项符合题意；

B.，故此选项不合题意；

C.，故此选项不合题意；

D.，故此选项不合题意；

故选：．

直接利用二次根式的乘除、加减运算法则分别判断得出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4.【答案】

【解析】解：平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，

，，

点的横坐标，纵坐标点的纵坐标，

即点的坐标是，

故选：．

根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点的坐标即可．

本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键．

5.【答案】

【解析】解：如图，

由题意得：，

，

故AB．

故AB．

故选B．

作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长．

本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．

6.【答案】

【解析】解：，

A.，与不是同类二次根式被开方数不同，故本选项不符合题意；

B.，与不是同类二次根式被开方数不同，故本选项不符合题意；

C.，与是同类二次根式被开方数相同，故本选项符合题意；

D.，与不是同类二次根式被开方数不同，故本选项不符合题意；

故选：．

根据二次根式的性质求出，，，，，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．

本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质，你那个熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．

7.【答案】

【解析】解：，，，

，

是斜边的中线，

．

故选：．

由勾股定理求出的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可得到的长．

本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

8.【答案】

【解析】解：，，

四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，

不能判断；

，，

四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

能判断；

，，

四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

能判断；

，，

四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

能判断；

故选：．

由平行四边形的判定方法得出、、能判断四边形是平行四边形，不能判断，即可得出结论．

本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．

9.【答案】

【解析】解：、和不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；

B、和不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；

C、和不是同类二次根式，不能合并，故C选项错误；

D、，所以，故D选项正确；

故选：．

二次根式的加减运算，实际是合并同类二次根式的过程，不是同类二次根式的不能合并．

同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．

二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质及为角平分线可知：，又有，可求的长．

【解答】

解：根据平行四边形的对边相等，得：，．

根据平行四边形的对边平行，得：，

，

又，

．

，

．

故选：．

11.【答案】

【解析】解：由题意得，，

解得．

故答案为：．

根据被开方数大于等于列不等式求解即可．

本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

12.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，

，

又，

，．

故答案为：．

根据平行四边形的对角相等，对边平行；可得，，又由，可得，．

此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心

13.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，

，，

在中，，，

则，

故．

故答案为：．

根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．

本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形对角线互相垂直且平分，及菱形的面积等于对角线乘积的一半．

14.【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：．

直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．

此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．

15.【答案】

【解析】解：，分别是，中点，

是的中位线，

，

故答案为：．

根据三角形中位线定理解答即可．

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

16.【答案】解：

；

．

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；

先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．

本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17.【答案】证明：连接，交于点，如图所示：

四边形是平行四边形，

，，

，

，即，

，

四边形是平行四边形．

【解析】连接，交于点，由“平行四边形的对角线互相平分”得到，；然后结合已知条件证得，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．

本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键．

18.【答案】解：在中，，，，

；

的面积，

．

【解析】根据勾股定理求出斜边，根据三角形的面积公式计算即可求出．

本题考查了勾股定理和三角形面积公式的运用，由的面积公式得到是解题的关键．

19.【答案】解：连接，

，，，

，

又，

，

又，，

，

又，

，

，

．

【解析】连接，利用勾股定理可以得出三角形和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积．

此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．

20.【答案】解：

，

当是，原式．

【解析】先算括号内的式子，然后算括号外的除法，将除法转化为乘法，再化简，最后将的值代入化简后的式子计算即可．

本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，

．

又点在的延长线上，

，

．

点是边的中点，

．

在与中，

，

≌；

解：理由如下：

如图，连接．

由知，≌，

，即点是的中点，．

平分，

，

，

，

．

【解析】由全等三角形的判定定理证得结论；

由中全等三角形的对应边相等推知点是边的中点，；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得，则由等腰三角形的“三线合一”的性质推知．

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．

22.【答案】证明：如图，

矩形沿对角线对折，使落在的位置，

，，

又四边形为矩形，

，

，

而，

≌，

；

四边形为矩形，

，，

≌，

，

设，则，，

在中，，即，解得，

折叠后的重叠部分的面积．

【解析】根据折叠的性质得到，，易证≌，即可得到结论；

根据易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，然后根据三角形的面积公式计算即可．

本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．

23.【答案】证明：四边形是矩形，

，，，，

，，

，

，

，

，分别是，的中点，

，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

同理：，

四边形是平行四边形．

解：由得：，，

四边形是平行四边形，

，

当时，平行四边形是矩形，分两种情况：

当时，，，

解得：；

当时，，，

解得：；

综上所述：当为或时，四边形为矩形．

解：连接、，如图所示：

四边形为菱形，

，，，

，，

四边形是菱形，

，

设，则，，

在中，由