湖北省恩施市沙溪民族中学高三数学文摸底试卷含解析

湖北省恩施市沙溪民族中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A．

－2

B．2

C．

D．参考答案：D2.“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B3.如图，虚线部分是平面直角坐标系四个象限的角平分线，实线部分是函数y=f（x）的部分图象，则f（x）可能是（）A．x2sinx B．xsinx C．x2cosx D．xcosx参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数图象的特征，判断函数的解析式即可．【解答】解：由函数的图象可知函数是偶函数，排除选项A，D，因为x＞0时，xsinx≤x恒成立，x2cosx≤x2，即xcosx≤x，x=π时，不等式不成立，所以C不正确，B正确；故选：B．4.已知数列的通项公式为，设其前项和为，则使

成立的最小自然数等于

（

）

A.83

B.82

C.81

D.80参考答案：C5.若数列满足，，则称数列为“梦想数列”。已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】B依题意可得，则数列为等比数列。又，则。，当且仅当即该数列为常数列时取等号.【思路点拨】先判断数列，再根据所给定义求结果6.已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为A.

B.

C.2

D.3参考答案：B7.已知，则下列区间为函数的单调递增区间的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.执行右面的程序框图，当输入n=4时，输出S的值为

(A)6

(B)13

(C)25

(D)46参考答案：C略9.函数的图像大致是（

）参考答案：A试题分析：，所以函数为偶函数，所以排除C、D，令时，，所以排除B，所以答案为A.考点：函数图象.10.设，则的值为(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是虚数单位，实数满足则

▲

.参考答案：0略12.函数（）的最小正周期为_____，最大值为____.

参考答案：略13.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则

．参考答案：.6314.是函数的导数，则的值是

.参考答案：15.关于方程有唯一的解，则实数的取值范围是________.参考答案：

16.已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的最小值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意知﹣θn是直线OAn的倾斜角，化==tan（﹣θn）=，再求出+++…+的解析式g（n），利用g（n）＜t恒成立求出t的最小值．【解答】解：根据题意得，﹣θn是直线OAn的倾斜角，∴==tan（﹣θn）===﹣，∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+﹣﹣=﹣﹣；要使﹣﹣＜t恒成立，只须使实数t的最小值为．故答案为：．17.若函数f（x）=x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a=．参考答案：1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得a的方程，即可得到所求值．【解答】解：函数f（x）=x﹣alnx的导数为f′（x）=1﹣，由在点（1，1）处的切线方程为y=1，可得在点（1，1）处的切线斜率为1﹣a=0，解得a=1．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分15分)已知．（1）求函数的图像在处的切线方程；

(2)设实数，求函数在上的最大值；（3）证明对一切，都有成立。参考答案：（1）定义域为

又

函数的在处的切线方程为：，即

（2）令得

当，，单调递减，当，，单调递增．在上的最大值

当时，

当时，，

(3)问题等价于证明，

由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得.高考资源网设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．……15分19.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲．已知函数。(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)若，且，求证：.参考答案：（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}．

…………5分（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|．

……………6分因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．

……………10分20.（本小题满分14分）

将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数。定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.（1）若，求；（2）如果，计算的特征值，并求相应的；（3）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②,并验证满足这两个条件.参考答案：解：（1）由于此时，又因为是在的条件下，有

（时取最大值），所以此时有。……4分（2）由，可得：，解此方程组可得：，从而。当时，解方程

此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且。当时，同理可得，相应的（写出一个即可），其中且

………9分（3）解方程组从而向量与平行，从而有应满足：。当时，有唯一的特征值，且。具体证明为：由的定义可知：对任意的有：，所以为特征值。此时。满足：，所以有唯一的特征值。在的条件下，从而有。……………14分21.（本小题满分12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T.其范围为[0，10],分别有五个级别：T畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.在晚高峰时段，从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(I)在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(II)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望.参考答案：【知识点】直方图；离散形随机变量的分布列及期望.K6,K8【答案解析】解析：(I)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是个，中度拥堵的路段个数是(II)X的可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列为【思路点拨】由直方图可找出各种情况数据，再根据条件求出分布列与期望.22.已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）若在区间上单调递增,求的取值范围；（Ⅲ）讨论函数的零点个数.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，函数无零点，当或时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.

所以.

……8分（III）因为，所以，.考点：1