定积分应用市公开课金奖市赛课一等奖课件

第六章定积分应用定积分元素法定积分在几何学上应用定积分在物理学上应用第1页第1页定积分几何应用平面图形面积体积平面曲线弧长Ｏxy第三节定积分在物理学上应用第2页第2页定积分物理应用之一变力沿直线作功问题从物理学知道，若物体在作直线运动过程中受常力作用从a移至b（力方向与物体运动方向一致），力对物体所作功为问题提出：ab若为变力，力对物体所作功W=？第3页第3页解:在上述移动过程中，电场例1带电量为q0与q1正电荷分别放在空间两点，求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作功。如图建立坐标系：aborq0q1对q1作用力是改变。(i)取r为积分变量，则(ii)相应于[a,b]上任一小区间[r,r+dr]功元素(iii)所求功第4页第4页解:等温条件下，压强p与体积V乘积为常数，即

pV=k

而F=pS例2在底面积为S圆柱形容器中盛有一定量气体。在等温条件下，由于气体膨胀，把容器中一个活塞（面积为S）从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作功。如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。ab注意到气体膨胀过程中V=V(x)即F=F(x),故采用元素法。(i)取x为积分变量，则(ii)相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]功元素(iii)所求功oxxx+dx第5页第5页解:如图选取x轴。(i)取x为积分变量，则(ii)相应于[0,5]上任一小区间[x,x+dx]一薄层水重力为(iii)所求功例3一圆柱形储水桶高5米，底圆半径3米，桶内盛满了水。问把桶内水所有吸出需作多少功？（水比重为）这薄层水吸出桶外需作之功近似为x3m5moxx+dx第6页第6页解:如图建立坐标系。(i)取x为积分变量，则(iii)所求功(ii)相应于小区间[x,x+dx]，相应薄片由A升至B在水中行程为r+x,在水上行程为2r-(r+x)=r-x。思考练习

半径为r球沉入水中，球上部与水面相切，球比重与水相同。欲将球从水中取出，需作多少功？（水比重为

）

由于球比重与水相同，薄片所受浮力与重力合力为零，不作功，由水面再上升到B时需作功，即功元素yxorAB2r第7页第7页定积分物理应用之二水压力从物理学知道，在水深为h处压强为问题提出：若平板铅直放置在水中，平板一侧所受水压力P=？p=

h（

为水比重）。xhA因此，一面积为A平板水平放置在水深为h处时，其一侧所受水压力为第8页第8页定积分元素法问题处理办法：设平板铅直位于液体中形状如图。距离液面x、高为dx、宽为f(x)矩形平板所受压力近似值，即压力元素为以液面为y轴，x轴铅直向下。xyoaby=f(x)所求压力xx+dx（为液体比重）第9页第9页解:依题意，如图建立坐标系。则端面周界方程为：(i)取x为积分变量，则(iii)所求压力(ii)相应于[0,R]上任一小区间[x,x+dx]窄条上各点压强例4

一个横放着圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（如图1）。设桶底半径为R，水比重为，计算桶一个端面上所受压力。

xx+dxxyoR，窄条面积近似于，即压力元素为第10页第10页解:如图建立坐标系,则腰OB方程为：(i)取x为积分变量，则(iii)所求压力(ii)相应于[0,6]上任一小区间[x,x+dx]

窄条上各点压强例5

一个底为8cm，高为6cm等腰三角形片，铅直地淹没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm，试求它每面所受压力（水比重为）。

窄条面积压力元素xyoAB(6,4)xx+dx第11页第11页解:如图建立坐标系。(i)取x为积分变量，则(iii)所求压力(ii)相应于小区间[x,x+dx]，相应薄板宽为思考练习边长为a和b矩形薄板，与液面成

角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深h处，设a>b，液体比重为

，试求薄板每面所受压力。

，窄条面积为压力元素xyo

ahdx第12页第12页定积分物理应用之三引力从物理学知道，质量分别为m1、m2，相距为r两质点间引力大小为问题提出：其中G为引力系数，引力方向沿着两质点连线。oxrm1m2如何计算一根细棒对一个质点引力F=？第13页第13页解:例6设有一长度为l、线密度为

均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m质点M。试计算该棒对质点M引力。如图建立坐标系：(i)取y为积分变量，则(ii)相应于(iii)引力oxMy上任一小区间[y,y+dy]引力元素yy+dyra第14页第14页解:练