函数的奇偶性公开课一等奖课件省赛课获奖课件

3.1.3

函数奇偶性函数第1页第2页一二知识点一、奇、偶函数定义1.思考提醒:y=定义域为{x|x≠0},通过对一系列互为相反数x值代入函数式可得:若x取值互为相反数,则其函数值相等.即对x∈{x|x≠0}总有f(-x)=f(x)成立,我们把此类函数称为偶函数.②你还能得出函数f(x)=x5在x∈R时仍有上述(1)问中规律吗?提醒:f(x)=x5满足规律是对x∈R,总有f(-x)=-f(x)成立,我们把此类函数称为奇函数.(2)一种函数具有奇偶性,其定义域有什么特点?提醒:一种函数若具有奇偶性,其定义域一定有关原点对称,这等价于定义中“对D内任意一种x,都有-x∈D”这一说法.第3页一二2.填写下表:设函数y=f(x)定义域为D,假如对D内任意一种x,都有-x∈D,第4页一二3.做一做(1)下列函数是偶函数为(

)A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]答案:D(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数为(

)A.y=x-1 B.y=3x2答案:D第5页一二知识点二、奇、偶函数图像特性1.思考(1)假如f(x)图像有关原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?提醒:f(x)图像有关原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).由于f(x)在x=0处有定义,因此f(0)=-f(0),即f(0)=0.(2)若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图像上,则哪一种点一定在其图像上?若f(x)为偶函数呢?提醒:若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图像上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x))一定在其图像上.第6页一二2.填空(1)偶函数图像有关y轴对称;反之,结论也成立,即图像有关y轴对称函数一定是偶函数.(2)奇函数图像有关原点对称;反之,结论也成立,即图像有关原点对称函数一定是奇函数.名师点拨

奇函数在其对称区间上单调性相同,偶函数在其对称区间上单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[-b,-a]上最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同最大(小)值.第7页一二3.做一做图中表达偶函数图像是

(填序号).

第8页一二解析:①中函数定义域不有关原点对称,因此①表达不是偶函数图像;②中函数图像不有关y轴对称,因此②表达不是偶函数图像;③中函数定义域有关坐标原点对称,而图像又有关y轴对称,因此③表达是偶函数图像;④中函数定义域有关原点对称,且图像有关y轴对称,因此④表达是偶函数图像.故填③④.答案:③④第9页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测判断函数奇偶性例1判断下列函数奇偶性:分析:先求定义域,验证定义域是否有关原点对称,再看f(-x)与f(x)关系,进而做出判断.第10页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测第11页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测第12页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测第13页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟如何判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性一般不用其定义,而是利用定义等价形式,即考查f(-x)与f(x)关系,详细步骤如下:(1)求f(x)定义域;(2)若定义域不有关原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域有关原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)关系.2.对于某些较复杂函数,也能够用如下性质判断函数奇偶性:(1)偶函数和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;(2)奇函数和、差仍为奇函数;(3)奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;(4)一种奇函数与一种偶函数积为奇函数.第14页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1下列函数是偶函数为(

)A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]解析:选项A中,函数定义域不有关原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)≠f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也有关原点对称,因此函数是偶函数.答案:D第15页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测由函数奇偶性求函数解析式例2

已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)体现式.分析:已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上解析式.解:令x<0,则-x>0.∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时,f(x)体现式为f(x)=x|x+2|.第16页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由函数奇偶性求函数解析式解题策略1.函数具有奇偶性,若只给出了部分区间上解析式,则能够利用函数奇偶性求出对称区间上解析式,其解题理论为函数奇偶性定义.正用定义能够判断函数奇偶性,逆用能够求出函数在对称区间上解析式.2.结论:(1)若f(x)是奇函数,且已知x>0时解析式,则x<0时解析式只需将原函数式y=f(x)中x,y分别替代为-x,-y,然后解出y即可.(2)若f(x)是偶函数,且已知x>0时解析式,则x<0时解析式只需将原函数式y=f(x)中x替代为-x,y不变,即得x<0时解析式.第17页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测若本例题中题干不变,如何求当x≤0时,f(x)体现式?解:只需将f(0)单独求出.由于f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,因此f(0)=0.又由于f(x)=x|x+2|,x<0,因此f(x)=x|x+2|,x≤0.延伸探究

第18页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测奇、偶函数图像应用例3若函数f(x)是定义在R上偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)<0x取值范围是(

)A.(-∞,2) B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)解析:由偶函数f(x)在(-∞,0]上为增函数,且f(2)=0,可知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如图草图.由图可知使f(x)<0x取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞),故选C.答案:C第19页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟函数奇、偶性应用1.研究函数图像时,要注意对函数性质研究,这样可避免作图盲目性和复杂性.2.利用函数奇偶性作图,其根据是奇函数图像有关原点对称,偶函数图像有关y轴对称.因此在研究此类函数性质(或图像)时,可通过研究函数在y轴一侧性质(或图像),便可推断出函数在整个定义域上性质(或图像).第20页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2奇函数f(x)定义域为[-5,5],它在y轴右侧图像如图所示,则f(x)<0x取值集合为

.

解析:奇函数f(x)在[-5,5]上图像如图所示,由图像可知,x∈(2,5)时,f(x)<0;x∈(0,2)时,f(x)>0.由于其图像有关原点对称,因此x∈(-5,-2)时,f(x)>0;x∈(-2,0)时,f(x)<0,因此使f(x)<0x取值集合为{x|-2<x<0,或2<x<5}.

答案:{x|-2<x<0,或2<x<5}第21页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用函数单调性与奇偶性解不等式典例

设定义在[-2,2]上奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)<f(m),求实数m取值范围.解:由于f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数,因此f(x)在[-2,2]上是减函数.办法点睛

利用函数奇偶性和单调性解不等式处理此类问题时一定要充足利用已知条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)形式,再根据奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反,列出不等式(组),同步不能遗漏函数本身定义域对参数影响.第22页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.(多项选择)下列函数是偶函数为(

)A.f(x)=x2 B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x2+x4答案:AD第23页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.有下列说法:①偶函数图像一定与y轴相交;②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;③既是奇函数也是偶函数函数一定是f(x)=0,x∈R;④若一种图形有关y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数图像.其中不正确是(

)A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④解析:①中可举反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0处也许无定义;③中也能够是f(x)=0,x∈A(A为有关原点对称数集);④中该图形也许不是函数图像.故①②③④均错误.答案:D第24页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=

.

解析:∵f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,∴25+5×23+2b=-18.∴f(2)=25+23×5+2b-8=-18-8=-26.答案:-26第25页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知函数f(x)是定义在R上偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当x∈(0,+∞)时,f(x)=

.

解析:办法一:由于是填空题,故可采取直接代换法,将x用-x替代,即答案为-x-x4.办法二:设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又y=f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x).∴f(x)在区间(0,+∞)上函数体现式为f(x)=-x-x4.答案:-x-x4第26页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.函数f(x)(x∈R),若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数.证明:令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得f(-x+x)=f(-x)+f(x).即f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.第27页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分析:先判断f(x)奇偶性,再根据图像特性补全函数f(x)图像;证明f(x)+g(x)=1关键是先求出g(x)解析式.(1)如图是f(x)在区间[0,+∞)内图像,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内图像,请说明你作图根据;(2)求证:f(x)+g(x)=1(x≠0).第28页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测第29页我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次失败打垮。不过人生不允许我们停留在失败瞬间，假如不前进，不会自我鼓励话，就注定只能被这个世界抛弃。自我鼓励能力是人自我调整系统中主要组成部分，主要表目前对于在压力或者困境中，个体自我抚慰、自我积极暗示、自我调整能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性作用。具有自我鼓励能力人，富有弹性，经常体现出反败为胜、后来居上、东山再起倾向，而缺乏这种能力人，在逆境中体现就大打折扣，体现为过度依赖外界鼓励和支持。一种小男孩在自家后院练习棒球。在挥舞球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒棒球手！”然后扔出棒球，挥舞……不过没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒棒球手！”扔出棒球，挥舞依旧没有击中。男孩子停下来，检查了球棒和球，然后用更大力气对自己喊：“我是世界上最棒棒球手！”可是接下来成果，并未如愿。男孩子似乎有些灰心，可是转念一想：我抛球这样刁，一定是个很棒挥球手。接着男孩子又对自己喊：“我是世界上最棒挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬自我鼓励，可是，这故事却深深反应了这个男孩子自我鼓励下执著，而这执著是很多人并不具有……而许多奇迹往往是执著者造成。许多人惊奇地发觉，他们之因此达不到自己孜孜以求目标，是由于他们主要目标太小、并且太含糊不清，使自己失去动力。假如你主要目标不能激发你想象力，目标实现就会遥遥无期。因此，真正能鼓励你奋发向上是确立一种既宏伟又详细远大目标。实现目标道路绝不是坦途。它总是展现出一条波浪线，有起也有落，但你能够安排自己休整点。事先看看你时间表，框出你放松、调整、恢复元气时间。虽然你目前感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出一大段时间让自己隐退一下，虽然是离开自己挚爱工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰苦比赛。真正运动者总是盼望比赛。假如把困难看作对自己诅咒，就很难在生活中找到动力，假如学会了把握困难带来机遇，你自然会动力陡生。因此，困难不可怕，可怕是回避困难。大多数人通过他人对自己印象和见解来看自己。取得他人对自己反应很不错，尤其正面反馈。不过，仅凭他人一面之辞，把自己个人形象建立在他人身上，就会面临严重束缚自己。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中点缀。人生棋局该由自己来摆。不要从他人身上找寻自己，应当经常自省。有时候我们不做一件事，是由于我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做事放在一边，或静等灵感来临。你可不要这样。假如有些事你懂得需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式风趣。抱一种打趣心情来看待自己做不好事情，一旦做起来了尽管乐在其中。因此，这次犯错，是为了下次接收挑战后，要尽也许放松。在脑电波开始平和你中枢神经系统时，你可感受到自己内在动力在不停增加。你很快会懂得自己有何收获。自己能做事，放松能够产生迎接挑战勇气。事过境迁，面向人生，面向社会，面向工作，一切将来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一种不努力人，更不会去同情一种懒惰人，一切都需要自己去努力。谁都不也许一生一世帮你，一时享有也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会迅速发展，各行各业疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有稍微有点意识年轻人都想努力提升自己。看着身边一种个同龄人那么优秀，看着朋友圈老同窗个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，胆怯被这个社会抛弃。因此努力、焦躁、急迫这些名词缠绕着越来越多年轻人，我们太想变化自己，太想早一日成为自己梦想中那个自己。收藏多种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行多种付费社群，忙人仰马翻；于是科比看四点钟洛杉矶成为大家励志伎俩，纷纷开始早起打卡行动。其实……其实我们不以为太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到。我时常恐慌，胆怯自己挥霍时间，就连在医院打点滴时候，都以为是对时间一种挥霍。想快点结束，因此乘着护士不在，自己偷偷拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适速度。打完点滴走在回家路上，我就在想，平时做事和打点滴何尝不是同样，都是有一种度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了。身体是革命本钱，我们还年轻，尚有大把时间够我们变化，够我们学习成长。身体就像是1000前面那个若是1都不存在了，背面再多0又有什么用？我是一种急性子，做事风风火火，因此对于想变化自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全是没有方向、不分主次一通乱忙乎才造成，病倒换来努力主线是一钱不值。生病那几天，我跟自己大学老师打了一种电话，想让老师帮我解惑一下，自己究竟是怎么了。他人也很努力啊，并且他们取得成就远远超出我了，为啥他们反到身体倍棒而一无所获自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲第一种故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子，你假如每次砸倒9个瓶子，最后得分是90分，而你假如每次能砸倒10个瓶子，最后得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大约猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力了，都累病了，我讲这个故事是告诉你，你目前就是那个每次砸倒9个瓶子人。你累倒原因是由于你同步在几个场馆玩，每一种场馆得分都是9