《1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》

分类加法计数原理与

分步乘法计数原理问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:

从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法,乘火车，有4种方法;

第二类方法,乘汽车，有2种方法;

第三类方法,乘轮船,有3种方法;

所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。问题2:

如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南

分析:

从A村经B村去C村有2步,

第一步,由A村去B村有3种方法,

第二步,由B村去C村有2种方法,

所以从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的方法。分类记数原理:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

N=m1+m2+…+mn种不同的方法。分步记数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有

N=m1×m2×…×mn种不同的方法。例题：例1.

书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法,从第1层中任取一本书,共有m1=4种不同的方法;第二类办法,从第2层中任取一本书,共有m2=3种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有m3=2种不同的方法所以,根据分类记数原理,得到不同选法种数共有

N=4+3+2=9种。点评:

解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”。例2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

分析1:

按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是

1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个.

则根据分类记数原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:

按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是

8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.

则根据分类记数原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)例3.

一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？

分析:

按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,第四位、需分为四步完成;

第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=10，第四步，m4=10.

根据分步记数原理,共可以设置N=10×10×10×10=104种四位数的号码。

答:首位数字不为0的号码数是N=9×10×10×10=9×103

种,

首位数字是0的号码数是N=1×10×10×10=103

种。由此可以看出,

首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号码数之和等于号码总数。例3.

一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？问:

若设置四个、五个、六个、…、十个等号码盘,号码数分别有多少种？答:它们的号码种数依次是104,105,106,……种。

点评:

分类记数原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交为空集,n类的并为全集。

分步记数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。

在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。课堂练习

1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

课堂练习

1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:

按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

第一步,m1=3种,