《1角平分线的尺规作图与性质》教学

15.4.1角平分线的尺规作图与性质义务教育教科书（沪科）八年级数学上册新课引入问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分

线吗？

用量角器度量，也可用折纸的方法．问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？可以新知探究提炼图形新知探究

问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.新知探究挑战第二关探索新知问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该

仪器的功能吗？ABO尺规作角平分线做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明

作图方法与仪器的关系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？作法：1.以____为圆心，______长为半径画圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；2.分别以点_____为圆心，__________的长为半径画弧，两条圆弧交于∠AOB内一点____；3.作射线_____；_____就是所求作的∠AOB的平分线.点O任意M、N大于POPOP尺规作图ABNMP

Ｏ新知探究新知探究想一想：为什么OP是角平分线呢？BANMP

Ｏ已知：OM=ON，MP=NP.求证：OP平分∠AOB.证明：在△OMP和△ONP中，

OM=ON，

MP=NP，

OP=OP，∴△OMP≌△ONP,（SSS）∴∠MOP=∠NOP,

即OP平分∠AOB.新知探究如何过一点P作已知直线l的垂线呢？

由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.问题引导过一点作已知直线的垂线新知探究①在直线l

上点P

的两旁分别截取线段PA，PB，使PA=PB；(1)当点P在直线l上.②分别以A，B

为圆心以大于AB

的长为半径画弧，两弧相交于点C；③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.·PABCl这一步的目的是什么？新知探究

(2)当点P在直线l外.①以点P

为圆心，以大于点P

到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A，B；②分别以A，B

为圆心以大于AB

的长为半径画弧，两弧相交于点C；③过点C,P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.·PABCl第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于P到l的距离？新知探究例1

利用直尺和圆规作一个等于45°的角.作法:1.作直线AB；2.过点A作直线AB的垂线AC；3.作∠CAB的平分线AD.∠DAB就是所要求作的角.新知探究1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEPDE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的

任意一点猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.新知探究验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角平分线上的点到角两边的距离相等新知探究

性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如左下图，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()角平分线上的点到角两边的距离相等BDCD×BADC(2)∵

如右上图，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()角平分线上的点到角两边的距离相等BDCD×BADC新知探究新知探究例2：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.新知探究例3:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段———直接应用新知探究ABCP变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.D4温馨提示：存在一条垂线段———构造应用新知探究

ABCP变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（2）求△

APB的面积.D（3）求△PDB的周长.由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，=新知探究1.应用角平分线的性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线的性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解课堂小测1.如图所示的作图痕迹作的是（）A.线段的垂直平分线B.过一点作已知直线的垂线C.一个角的平分线D.作一个角等于已知角B2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNCOA课堂小测3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．CBAm课堂小测CNMPABD解：课堂小测4.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是

.3ABCDE课堂小测5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD与BC之间的距离为6.课堂小测6.如图所示，D是∠ACG平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.课堂小测7.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.证明：∵OD平分线∠PO