用迭代法求代数方程的近似根市公开课金奖市赛课一等奖课件

用迭代法

求代数方程近似根1第1页第1页解方程（代数方程）是最常见数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免问题之一当前还没有普通解析办法来求解非线性方程，但假如在任意给定精度下，能够解出方程近似解，则能够认为求解问题已基本处理，至少能够满足实际需要本试验主要简介一些有效求解方程数值办法：不动点迭代法和牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab来求方程近似解问题背景和实验目代数方程近似求解(教材第92-94页)2第2页第2页相关概念

若f(x)

是一次多项式，称上面方程为线性方程；不然称之为非线性方程

线性方程与非线性方程本试验主要讨论非线性方程数值求解3第3页第3页内容提纲

求解非线性方程数值算法牛顿迭代法不动点迭代法4第4页第4页不动点迭代法结构f(x)=0

一个等价方程：从某个近似根x0

出发，计算得到一个迭代序列k=0,1,2,......

(x)

不动点f(x)=0x=

(x)等价变换f(x)

零点不动点迭代基本思想5第5页第5页若收敛，即，假设

(x)

连续，则收敛性分析迭代法收敛即注：若得到点列发散，则迭代法失效！例：用迭代法求x3-3x+1=0在[0,1]中解。fuluA.m6第6页第6页定义：迭代法收敛性判断定理2：假如定理1条件成立，则有下列预计假如存在

x*某个

邻域

=(x*-

,x*+

),

使得对

x0

开始迭代

xk+1

=

(xk)都收敛,则称该迭代法在

x*

附近局部收敛。定理1：设

x*=

(x*)，

’(x)在

x*某个邻域

内连续，且对

x

都有|

’(x)|q<1,则对

x0

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到点列收敛7第7页第7页迭代法收敛性判断定理3：已知方程

x=

(x)，且(1)对

x[a,b]，有

(x)[a,b]；(2)对

x[a,b]，有|

’(x)|q<1；q越小，迭代收敛越快

’(x*)

越小，迭代收敛越快则对

x0[a,b]

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到点列都收敛，且8第8页第8页牛顿迭代法令：

牛顿法基本思想用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化办法设非线性方程f(x)=0

,f(x)在x0

处Taylor展开为9第9页第9页牛顿法迭代公式

牛顿迭代公式k=0,1,2,......

牛顿法收敛速度令牛顿法至少二阶局部收敛当f’(x*)

0时

’(x*)=0

(x)即为牛顿法迭代函数例：用牛顿法求x3-3x+1=0在[0,1]中解。fuluB.m10第10页第10页牛顿法迭代公式

牛顿法长处

牛顿法是当前求解非线性方程(组)主要办法至少二阶局部收敛，收敛速度较快，尤其是当迭代点充足靠近准确解时。

牛顿法缺点

对重根收敛速度较慢（线性收敛）

对初值选取很敏感，要求初值相称靠近真解在实际计算中，能够先用其它办法取得真解一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。11第11页第11页Matlab

解方程函数roots(p)：多项式所有零点，p

是多项式系数向量fzero(f,x0)：求f(x)=0

在x0

附近一个根，f

是函数句柄，能够通过内联函数，匿名函数或函数文献来定义，但不能是方程或符号表示式！solve(f,v)：求方程关于指定自变量解，f

是符号表示式或符号方程；solve也可解方程组(包括非线性)得不到解析解时，给出数值解linsolve(A,b)：解线性方程组12第12页第12页上机作业与要求