正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理正弦定理表明，在三角形ABC中，有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R为三角形的外接圆半径。同时，sinA=sinB=sinC=abc/2R^2。常见的变形包括a:b:c=sinA:sinB:sinC和a/(sinBsinC)=b/(sinAsinC)=c/(sinAsinB)。三角形中常用的面积公式包括S=ah/2（h为边a上的高）、S=bcsinA/2=acsinB/2=absinC/2和S=r(a+b+c)/2（r为三角形的内切圆半径）。利用正弦定理和余弦定理解三角形时，需要注意三角形内角和定理对角的范围的限制。同时，三角形解的判断也需要根据角的范围和解的个数来确定。在三角形中，射影定理表明a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=bcosA+acosB。判断题部分：(1)√，根据正弦定理和余弦定理的公式可以求解。(2)√，已知两角和一边或已知两边和一角可以唯一确定三角形。(3)×，sinA>sinB的充分必要条件是A<B。(4)√，“a^2+b^2<c^2”是“△ABC为钝角三角形”的充分必要条件。(5)×，已知三个量无法唯一确定三角形，需要根据角的范围和解的个数来确定。自主测评部分：根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入a=5，b=7，c=8可得cosC=-3/14，进而求得cosA=4/7，cosB=25/28。根据余弦定理和角的范围，可以判断出A为锐角，C为钝角，因此A+C=90°。选项A为正确答案。题目：在三角形ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，且C=120°。求a的长度和AB边上的高CD的长度。解法：(1)由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入C=120°和b=a+2，c=a+4，化简得a^2-a-6=0，解得a=3或a=-2（舍去负数解），故a的长度为3。(2)解法一：利用三角形面积公式，得absin∠ACB=c×CD，代入a=3，b=5，c=7，解得CD=15/7。解法二：由勾股定理得AC=6，BC=4√3，因为∠ACB=60°，故CD=ABsin∠ACB=4√3/2×3/2=3√3。两种解法得到的结果不同，故该题有多解。在直角三角形Rt△ACD中，根据正弦定理可得：$\frac{CD}{AC}=\frac{\sinA}{\sin120°}$，又因为$\sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{CD}{AC}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$，又因为$AC=5$，所以$CD=2\sqrt{3}$，即$CD$为$AB$边上的高。在三角形△ABC中，已知$B=\frac{\pi}{3}$，且$BC$边上的高等于$BC$，则根据余弦定理可得$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$，又因为$\cosB=\frac{1}{2}$，所以$b^2=a^2+c^2-ac$，又因为$c=b$，所以$b^2=2a^2-a^2=2a^2$，即$b=\sqrt{2}a$，代入$b^2=a^2+c^2-ac$中可得$a=\frac{c}{2}$，即$c=2a$，所以$b=\sqrt{2}a=\sqrt{2}c$，所以$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}$，所以$A=\frac{\pi}{3}$。在三角形△ABC中，已知$a,b,c$分别是$\angleA,\angleB,\angleC$所对的边，且$c=2$，$C=\frac{\pi}{3}$，若$\sinC+\sin(B-A)=2\sin^2A$，则根据正弦定理可得$\sinA=\frac{a}{2}$，又因为$\sinC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{a}{2}+\sin(B-A)=\frac{3}{4}$，即$\sin(B-A)=\frac{1}{4}-\frac{a}{2}$。根据正弦定理可得$b=2a$。代入余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$中可得$a^2+b^2-ab=4$，即$5a^2=4$，所以$a=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$b=\frac{4}{\sqrt{5}}$，所以$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}$，即$A=\frac{\pi}{3}$，或者$\sinB=2\sinA$，即$\frac{b}{2}=a$，所以$b=2a$，代入余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$中可得$a^2+b^2-ab=4$，即$5a^2=4$，所以$a=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$b=\frac{4}{\sqrt{5}}$，所以$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}$，即$A=\frac{\pi}{3}$。所以$A$的取值为$\frac{\pi}{3}$或$\frac{5\pi}{6}$。求解三角形角度和、利用三角形的正弦、余弦定理求解角度或边长是解三角形问题中的基本方法。其中，正弦定理可用于已知两角和一边或两边和一角的情况下求解另一角或边，余弦定理可用于已知三边或两边及其夹角的情况下求解第三边或夹角。在解题过程中，还需要灵活应用公式和变形，如利用a²+b²-c²=λab的形式用余弦定理，利用等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理等。例1：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=b，且a>b，则求角B。解析：根据正弦定理，可得sinB(sinAcosC+sinCcosA)=b/2。由于a>b，所以∠A<∠B，∠C<∠B，因此sinA<sinB，cosC<1，sinC<1，cosA<1，所以sinAcosC+sinCcosA<sinB。又因为sinB≠0，所以sinAcosC+sinCcosA≠0，因此sinB=sinB(sinAcosC+sinCcosA)/(sinAcosC+sinCcosA)=b/(2(sinAcosC+sinCcosA))。根据余弦定理，可得a²=b²+c²-2bccosA，即cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)。代入上式，可得sinB=b/(2bc(sinBcosC+cosBcosA))，即sinB=1/(2sinC)，因此B=π/6。例2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知23cos²A+cos²A=1/25，且△ABC为锐角三角形，a=7，c=6，求b的值。解析：根据余弦定理，可得b²=a²+c²-2accosB。由于△ABC为锐角三角形，所以cosB>0，因此b²<a²+c²。又因为23cos²A+cos²A=1/25，所以cosA=1/5，因此a>b/2。代入上式，可得b²<85/4，因此b<23/2。又因为b>a/2，所以b>7/2。综上所述，b的取值范围为(7/2,23/2)，因此b=5。注：第二题中的解法一利用正弦定理求解，解法二利用余弦定理求解。在△ABC中，已知a²+b²-c²=ab，且2cosA*sinB=sinC，试判断△ABC的形状。解法一：通过边的关系判断根据正弦定理，sinC/c=sinB/b，所以sinC=b*sinB/c。根据2cosA*sinB=sinC，得cosA=(sinC/sinB)/2=sinB/(2c)。根据余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，所以b²+c²-a²=2bc*cosA=2b²*sinB。将a²+b²-c²=ab代入上式，得2b²-c²=b²，所以b²=c²，因此a=b=c，即△ABC为等边三角形。解法二：通过角的关系判断由三角形的内角和定理，得A+B+C=180°，即sinC=sin(A+B)。将2cosA*sinB=sinC代入上式，得2cosA*sinB=sinA*cosB+cosA*sinB，即sin(A-B)=0。因为A和B都是△ABC的内角，所以A=B。将a²+b²-c²=ab代入余弦定理，得cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=b/(2a)。因为0°<C<180°，所以C=60°，即△ABC为等边三角形。『名师点津』判定三角形形状的两种常用方法：角的关系和边的关系。在角的关系判断中，可以利用三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理等公式推导出角的关系。在边的关系判断中，可以利用正弦定理、余弦定理等公式推导出边的关系。需要注意化简式子时要用因式分解、配方法等方法，避免出现错误。变式训练：在△ABC中，若(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)，则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：选D，因为(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)，所以b²[sin(A+B)+sin(A-B)]=a²[sin(A+B)-sin(A-B)]，所以2sinAcosB*b²=2cosAsinB*a²，即a²cosAsinB=b²sinAcosB。解法一：由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，所以sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB，又sinA*sinB≠0，所以sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B。在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，π<2C<3π，所以A=B或A+B=π，即△ABC为等腰三角形或直角三角形。根据正弦定理和余弦定理，可以得到2A＝2B或2A＝π－2B，进而推出A＝B或A＋B＝π。因此，可以得出△ABC为等腰三角形或直角三角形的结论，选项为D。另一种解法是利用正弦定理和余弦定理，得出a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，进而推出(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2。因此，可以得出△ABC为等腰三角形或直角三角形的结论，选项为D。在第二个例子中，根据正弦定理和余弦定理，可以得到2ccosB＝2a＋b，进而推出2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB。化简后得到2sinBcosC＋sinB＝0，因为sinC≠0，所以cosB＝－1/2，进而得到C＝π/3。另一方面，根据已知条件a＋b＝6和ab＝8，可以解得a＝2，b＝4。利用余弦定理可以求出c＝2√3。因此，△ABC的面积为23，c＝2√3。由余弦定理，得$c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab=28$，$\thereforec=27$。【例3】已知$\triangleABC$的三个内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，面积为$S$，且满足$4S=a^2-(b-c)^2$，$b+c=8$，则$S$的最大值为________．【解析】由题意得：$4bcsinA=a^2-b^2-c^2+2bc$，又$a^2=b^2+c^2-2bccosA$，代入上式得：$4bcsinA=2bc(cosA-1)+a^2-b^2-c^2$，即$sinA+cosA=1$，$2sinAcosA=2bc(cosA-1)$，即$sin2A=-2cosA+2$，$\therefore\sin(A+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$A+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}$，$\thereforeA<\frac{3\pi}{4}$，$\thereforeA+=\frac{3\pi}{4}$，$\thereforeA=\frac{\pi}{4}$，$S=bcsinA=bc$，又$b+c=8\geq2bc$，当且仅当$b=c$时取“$=$”，$\thereforebc\leq16$，$\thereforeS$的最大值为$8$。【答案】$8$『名师点津』………………|品名师指点迷津|与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积。对于面积公式$S=absinC=acsinB=bcsinA$，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。(2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题。一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解。|变式训练|1．$\triangleABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。若$\triangleABC$的面积为$a^2+b^2-c^2$，则$C=$A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{3\pi}{4}$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{3}$解析：选B。根据题意及三角形的面积公式知$absinC=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}$，所以$sinC=\frac{\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{2ab}$，$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，所以在$\triangleABC$中，$C=\frac{\pi}{2}-A-B=\frac{3\pi}{4}$。2．$\triangleABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。已知$\triangleABC$的面积为$\frac{3}{2}sinA$。(1)求$sinBsinC$；(2)若$6cosBcosC=1$，$a=3$，求$\triangleABC$的周长。解：(1)由题设得$acsinB=\frac{3}{4}sinA$，即$csinB=\frac{3}{4}sin\frac{C}{2}$，$ab\sinC=\frac{3}{4}sinA$，即$2RsinC=\frac{3}{4}sinA$，$\thereforesinC=\frac{3}{8R}sinA$，$sinBsinC=sinB\cdot\frac{3}{8R}sinA=\frac{b}{2R}\cdot\frac{3}{8R}sinA=\frac{3}{16}sinA$。(2)由余弦定理得$c^2=a^2+b^2-2abcosC$，$a=3$，$cosB+cosC=\frac{1}{3}$，$\thereforecosBcosC=\frac{1}{9}-\frac{1}{2}sinBsinC$，$\therefore6cosBcosC=\frac{2}{3}-4sinBsinC$，$\thereforesinBsinC=\frac{1}{12}$，$c^2=9+b^2-6bsinC$，$\thereforeb^2-6bsinC+(c^2-9)=0$，$\thereforeb=3sinC