《一元二次不等式及其解法》

一元二次不等式及其解法在2010年温哥华冬奥会跳台滑雪比赛中，一位跳台滑雪运动员在90米级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68米．他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110千米/小时．那么他能实现自己的目标吗？2．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在Δ＝b2－4ac>0时，有两不等实根，此时对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有________公共点，Δ＝0时，有两相等实根，此时，对应二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有________公共点．上下两个一个1．一元二次不等式的概念观察下列不等式：(1)x2－2x>0；(2)3x2－1≤0；(3)－2x2＋4x－3≥0.它们含有几未知数？未知数的最高次数是多少？它们有何共同特点？只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．“元”是未知数，“一元”就是含有一个未知数．如：x2－5x<0,2x2＋6x－10>0，－3x2＋5x＋7<0,5x2>3等都是一元二次不等式．注意：(1)在一元二次不等式的表达式中，一定有条件a≠0，即二次项的系数不为零．(2)对于ax2＋bx＋c>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，应特别注意分类讨论．判断下列不等式中哪些是一元二次不等式．①x2>0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6>0；④mx2－5y<0(m为常数)；⑤ax2＋bx＋c>0.[解析]

①②是．③不是，因为x3的最高次数是3，不符合定义．④不是．当m＝0时，它是一元一次不等式，当m≠0，它含有两个未知数x，y.⑤不一定是．当a＝0时，它不符合一元二次不等式的定义；当a≠0时，是．2．一元二次不等式的解法分别画出下列几个函数的图象(草图)，观察图象回答当x取何范围内的值时，y>0，y<0.(1)y＝(x＋1)(x－2)；(2)y＝－(x－3)2；(3)y＝(x＋2)2＋3；(4)y＝－x2＋4x－3.通过上面的观察，你发现了什么？设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个不等实根分别为x1，x2(x1<x2)，则不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式Δ<0时，此方程无实数根，y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方，所以ax2＋bx＋c>0的解集是R，而ax2＋bx＋c<0的解集是∅.2．画出函数y＝x2－2x－3的图象，观察图象．可见(1)x∈________时，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根为________．(2)x∈________时，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集为________；(3)x∈________时，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集为________．[答案]

(1){－1,3}

x1＝－1，x2＝3

(2){x|x<－1或x>3}

{x|x<－1或x>3}

(3){x|－1<x<3}

{x|－1<x<3}[解析]方程x2－2x－3＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝3，函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．由图象可知，当x∈{－1,3}时，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根为x1＝－1，x2＝3.当x∈{x|x<－1或x>3}时，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}．当x∈{x|－1<x<3}时，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－1<x<3}．3．解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x>2.

解下列不等式：(1)x2－3x＋5>0；(2)－6x2－x＋2≥0；(3)－4x2≥1－4x；(4)2x2－4x＋7<0.一元二次不等式的解法(2015·昆明市质检)设集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{x|x>1}，则A∩B＝(

)A．(1,4)

B．(－1,1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)[答案]

A[解析]

A＝{x|－1<x<4}，∴A∩B＝{x|1<x<4}，选A．“三个二次”关系的应用[方法规律总结]

1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．

某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？一元二次不等式的实际应用汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车略超过12m，乙车的刹车略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？[解析]要分清谁是应付主要责任者，就需分析行车速度，要弄清速度问题，就要利用刹车距离函数与实测数据，构建数学模型，由题意列出不等式甲：0.1x＋0.01x2＞12，乙：0.05x＋0.005x2＞10，∵x＞0，∴解得