三重积分习题课课件

三重积分习题课重点：1.计算；2.应用

三重积分习题课重点：1.计算；2.应用1上边界曲面（上顶）下边界曲面（下底）xOy坐标面上的投影区域一、利用直角坐标系计算三重积分

“先一后二”（一）先投影，再确定上、下面上边界曲面（上顶）下边界曲面（下底）xOy坐标面上的投影区2

x0z

yc1c2

.“先二后一”zDz

（二）坐标轴投影法[c1,c2]:向z轴的投影区间

Dz:

过z[c1,c2]且垂于z轴的平面截得到的截面

x0zyc1c2.“先二后一”zDz（二）坐标轴投影30xz

yM(x,y,z)M(r,

,z)zrP(x,y,0)xyz柱面坐标M(x,y,

z)

M(r,

,

z)

z=z..

二、利用柱面坐标计算三重积分0xzyM(x,y,z)zrP(x,y,0)xyz4xz

y0

drrrd

d

z底面积：rdrd

元素区域由六个坐标面围成：半平面

及+d

;

半径为r及

r+dr的圆柱面；

平面z及

z+dz；dzdV=.柱面坐标下的体积元素.dVxzy0drrrddz底面积：rdrd元素区域50xz

yM(x,y,z)M(r,

,

)r

Pyxz.

..球面坐标

三、利用球面坐标计算三重积分0xzyM(x,y,z)rPyxz...球面坐标6r

drd

xz

y0

d

rd

元素区域由六个坐标面围成：rsin

d

球面坐标下的体积元素.半平面

及+d

；

半径为r及r+dr的球面；圆锥面

及+d

r2sin

drd

d

dVdV=rdrdxzy0drd元素区域由六个坐标面围成7(一)平面区域的面积设有平面区域D,(二)体积设曲面方程为则D上的曲顶柱体体积为:则其面积为:占有空间有界域

的立体的体积为:重积分在几何上的应用(三)曲面的面积(一)平面区域的面积设有平面区域D,(二)体积8(1)平面薄片的质心重积分在物理上的应用(一)质(重)心(2)空间物体的质心

(1)平面薄片的质心重积分在物理上的应用(一)质(重)心(9(1)平面薄片的转动惯量(二)转动惯量(1)平面薄片的转动惯量(二)转动惯量10(2)空间物体的转动惯量则转动惯量为设物体占有空间域,有连续密度函数(2)空间物体的转动惯量则转动惯量为设物体占有空间域,有11设物体占有空间区域V,体密度为区域V之外有一质量为m的质点A(a,b,c),求物体V对质点A的引力.(三)引力其中G为万有引力系数。引力F在三个坐标方向上的分量为设物体占有空间区域V,体密度为区域V之外有一质量为m12三重积分可以用直角坐标、柱面坐标和球面坐标来计算.其方法都是将三重积分化为三次积分.

三重积分的计算将三重积分化为三次积分关键：

根据被积函数和积分域选择合适的坐标系;画出投影域、确定积分序;定出积分限、计算要简便.三重积分可以用直角坐标、柱面坐标和球面坐标三重积分13z

0xy1化为球系下的方程r=2

cos

.M.r

例1例题z0xy1化为球系下的方程r=2cos.M.r例114例1

解利用球面坐标例1解利用球面坐标15z=0y=0x=00yx画图x0z

y11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1围成1...例2：x+2y+z=1DxyI=z=0y=0x=00yx画图x0zy11Dxy16x0z

y11Dyz...例3：x+y+z=1I=

解

直接积分困难，考虑改变积分次序x0zy11Dyz...例3：x+y+z=1I17例4

解例4解18ayxzo例5ayxzo例519xyzoDS=D

:...例5xyzoDS=D:...例520...例5

解S=...例5解S=21解先算前面部分的面积A1由求交线求柱面所截剩下部分的面积.被锥面例8解先算前面部分的面积A1由22三重积分习题课课件23解球例9解球例924三重积分习题课课件25解柱面坐标例10旋转曲面方程为解柱面坐标例10旋转曲面方程为26旋转曲面方程旋转曲面方程27测验题AB测验题AB28B