初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复习讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念(1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。例如，图13-1和图13-2就是全等图形。(2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。(3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。(4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。(5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。(6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。2.全等三角形的识别(1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。(2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。(3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。(4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。(5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。3.直角三角形全等的识别(1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。(2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。4.证明三角形全等的方法1.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，且△ABC≌△DEF，BC=EF，点A的对应顶点是D，下列说法正确的是（）B.∠C与∠D互余2.如图，△ABC中，AB=AC，CE、BD分别是AB、AC边上的中线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，则图中全等三角形共有（）D.6对解释：1.根据题目条件可知，∠A对应∠D，∠B对应∠E，∠C对应∠F，而且BC=EF，所以△ABC≌△DEF是SAS全等，因此∠C与∠D互余。2.根据题目条件可知，CE=BD=BC=AC/2，所以△ABD≌△ACE是ASA全等，而且AM=AN，所以△AMN是等腰三角形。又因为BM=MC和CN=NB，所以△BMC≌△CNA，△AMB≌△ANC，△ABM≌△ACN，所以图中共有6对全等三角形。3.在三角形ACD中，AB垂直于CD且BD大于CB，三角形BCE和ABD都是等腰直角三角形。下列结论中正确的是（）A.①②③B.①C.①③④D.②③④4.在三角形ABC中，将三角形ABE和ADC沿AB和AC边分别折叠180度形成的三角形，如果∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠的度数是（）A.60°B.70°C.80°D.90°5.下列命题正确的是（）A.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等6.在三角形ABC内部取一点P使得点P到三角形ABC的三边距离相等，则点P应是三角形ABC的哪三条线交点。（）A.高B.角平分线C.中线D.垂直平分线7.下列条件能判定三角形ABC≌DEF的一组是（）A.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DFB.AB=DE，BC=EF，∠A=∠DC.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FD.AB=DE，三角形ABC的周长等于三角形DEF的周长细心填一填1.如图2-1，一长方形ABCD纸片，以EF为折痕折叠，点B落在点M，EN是∠MEC的角平分线，则∠FEN=？2.如图2-2，在三角形ABC中，∠BAC:∠ABC:∠ACB=3:5:10，且三角形ABC≌三角形DEF，则∠1:∠2=？3.如图2-3，若三角形ABC≌三角形ADE，∠E=∠C，∠1=20°，则∠2=？4.如图2-4，在正方形ABCD中，E是AD中点，F是BA延长线上一点，AB=2AF。通过平移、翻折或旋转使三角形ABE变到三角形ADF的位置，这时BE与DF之间的位置关系是？5.如图2-5，三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=4cm，则三角形BDE的周长是多少？6.已知，如图2-6，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有几个全等三角形？7.如图2-7，三角形ABC≌三角形ADE，则AB=？∠E=∠？若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=多少度？8.在三角形ABC和三角形ABD中，∠C=∠D=90°。如果利用“AAS”证明三角形ABC≌三角形ABD，则需要加什么条件？9.两根钢条AA'、BB'的中点连在一起可以制作成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图2-9所示。若测得AB=5厘米，则槽宽为多少米。10.工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，如图所示。这是利用平行四边形的性质。另外，用菱形做活动铁门是利用菱形的性质。三、问题解答1.如图，已知AB=AD，AC=AE，且∠DAB=∠CAE，BE与CD交于点P，AP的延长线交BC于F。试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明。2.如图，已知AM为△ABC的中线，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，MA的延长线交EF于点P。求证：AP⊥EF。3.已知如图，C为BE上一点，点A分别在BE两侧。AB∥ED，AB=CE，BC=ED。求证：AC=CD。4.已知如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD。求证：AB=CD。5.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称。（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=1/2∠A，请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形。（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60º的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且∠DCB=∠EBC=1/2∠A，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。6.已知如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F。求证：DE=DF。7.如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE。点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC。求证：CD＝CE。8.如图，在△ABC中AB=AC，D为BC边的点，D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。（1）求证：△BED≌△CFD。（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形。9.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F。证明：△ABE≌△CAD；求∠BFD的度数。解析：由题意得，△ABC为等边三角形，所以AB=BC=AC。又因为AE=CD，所以△AED≌△CDE，从而得到AD=CE。由于△ABE与△CAD有共边BE，所以只需证明∠ABE=∠CAD即可。连接AF，CF，则△ABF≌△CBF，从而得到∠ABF=∠CBF。又因为AB=BC，所以△ABF与△CBF全等，从而得到∠AFB=∠CFB，即∠BFD=60°。10.八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离。阅读后回答下列问题：（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。可行。因为△ACD与△BCE全等，所以DC=CE，而BC=AB+AC，所以DE=AB。（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由。可行。因为△BDE与△ABC相似，所以BD/AB=DE/BC，而BC=AB+CD，所以DE=AB×BD/CD。（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是使得△BDE为直角三角形，从而可以利用相似关系求出AB的长度。若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立，因为此时无法确定△BDE的比例关系。11.已知，如图AB//CD，BE、CE分别是ABC、BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。解析：连接AE、BD，则由平行线性质得到△AEB∽△BDC。又因为BE、CE分别是△ABC、△BCD的平分线，所以AE/EB=CD/DB，即AD/EB=CD/DB。又因为△AEB∽△BDC，所以AB/BC=EB/DB，即AB/BC=AD/CD。联立两式得到BC=AB+CD。12.一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示形式，使点B，F，C，D在同一条直线上。（1）求证：AB⊥ED。（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。解析：（1）连接AC、BD，由于ABCD为矩形，所以AC=BD，又因为三角形ABE与三角形DEC互为全等三角形，所以AE=DE，从而得到AB⊥ED。（2）由于PB=BC，所以三角形PBC为等边三角形，从而得到∠PBC=∠PCB=60°。又因为ABCD为矩形，所以AC=BD，从而得到∠BDC=∠DAB。又因为三角形ABE与三角形DEC互为全等三角形，所以∠ABE=∠DEC，从而得到∠AEB=∠CED。联立这些角度关系，得到三角形AEB与三角形CED全等。13.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。找出图中的一对全等三角形，并给予证明。解析：由于AC、BD相交于点O，所以△AOB与△COD互为全等三角形。14.如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB。（1）求证：DB为⊙O的切线。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长。解析：（1）由于AD=DB，所以∠ADB=∠ABD，又因为AP为直线l上的一点，所以∠APB=90°，从而得到∠ADB=90°，即DB为⊙O的切线。（2）由于PB=BO，所以∠PBO=∠BOC，又因为△ABD与△CBD相似，所以AD/BD=CB/BD，即AD=CB。又因为AD=1，所以CB=1，从而得到弦AC的长为2。15.已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把OA分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D(0,3)。（1）求证：△OMD≌△BAO。（2）若直线l：y=kx+b把⊙M的面积分为二等份，求证：3k+b=4。解析：（1）由于OA为⊙M的直径，所以∠OMB=90°，又因为B、C把OA分为三等份，所以OB=BC，从而得到△OAB为等腰三角形。又因为MC与OA平行，所以△OMD与△BAO互为全等三角形。（2）设直线l与x轴的交点为E，则由于直线l把⊙M的面积分为二等份，所以ME=MO/2，即OE=OA/4。又因为三角形OAB为等腰三角形，所以OB=OA/2，从而得到BE=OA/4。又因为MC与OA平行，所以三角形OMD与三角形BAO互为全等三角形，从而得到MD=AO/2=OA/2。联立这些长度关系，得到3k+b=4。17.如图，$\odotO$是$\triangleABC$的外接圆，点$O$在$AB$上，$BD\perpAB$，点$B$是垂足，$OD\parallelAC$，连接$CD$。证明：$CD$是$\odotO$的切线。18.$\triangleABC$是等边三角形，点$D$是射线$BC$上的一个动点（点$D$不与点$B,C$重合），$\triangleADE$是以$AD$为边的等边三角形，过点$E$作$BC$的平行线，分别交射线$AB,AC$于点$F,G$，连接$BE$。如图（a）所示，当点$D$在线段$BC$上时，证明：①$\triangleAEB\cong\triangleADC$；②四边形$BCGE$是菱形，且$BG=2BE$。如图（b）所示，当点$D$在$BC$的延长线上时，判断（1）中的两个结论是否成立。在（2）的情况下，当点$D$运动到什么位置时，四边形$BCGE$是菱形？19.如图，$C,F$在$BE$上，$\angleA=\angleD$，$AC\parallelDF$，$BF=EC$。证明：$AB=DE$。20.如图，在$\triangleABE$中，$AB=AE,AD=AC,\angleBAD=\angleEAC$，$BC,DE$交于点$O$。证明：①$\triangleABC\cong\triangleAED$；②$OB=OE$。21.如图，在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，以$BC$为直径作$\odotO$交$AB$于点$D$，取$AC$的中点$E$，连结$DE,OE$。证明：①$DE$是$\odotO$的切线；②如果$\odotO$的半径是$1.5$cm，$ED=2$cm，求$AB$的长。22.如图，$ABCD$是正方形。$G$是$BC$上的一点，$DE\perpAG$于$E$，$BF\perpAG$于$F$。证明：①$\triangleABF\cong\triangleDAE$；②$DE=EF+FB$。23.如图，若$\triangleABC$和$\triangleADE$为等边三角形，$M,N$分别为$EB,CD$的中点，易证：$CD=BE$，$\triangleAMN$是等边三角形。①当把$\triangleADE$绕$A$点旋转到图中的位置时，$CD=BE$是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；②当$\triangleADE$绕$A$点旋转到图中的位置时，$\triangleAMN$是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当$AB=2AD$时，$\triangleADE$与$\triangleABC$及$\triangleAMN$的面积之比；若不是，请说明理由。24.如图，$P$是$\angleBAC$内的一点，$PE\perpAB$，$PF\perpAC$。题目一：已知三角形ABC中，垂足分别为点E，F，求证：（1）PE=PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上。证明：（1）由垂足定理可知，PE是AE的中线，PF是BF的中线，因此PE=AE/2，PF=BF/2。又因为AE=BF，所以PE=PF。（2）由角平分线定理可知，点P在∠BAC的角平分线上，当且仅当AP/PC=AB/BC。由垂足定理可知，AE/EC=BF/FC，又因为AE=BF，所以AE/EC=BF/FC=1。所以AP/PC=AB/BC，即点P在∠BAC的角平分线上。题目二：已知在直角三角形ABC和ABD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E，求证：（1）AE=BE；（2）若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长。证明：（1）由题可知，AC=BD，所以AC-BE=BD-AE，即CE=DE。又因为∠AEC=∠BDC=90°，所以AE/EC=BD/DC，又因为AC=BD，所以AE/EC=1，即AE=EC，所以AE=BE。（2）由题可知，∠AEC=45°，所以∠BDC=45°。由正弦定理可知，CE/AC=sin∠AEC，BD/AB=sin∠BDC。又因为AC=BD=1，AB=√2，所以CE=sin45°=1/√2。易证△BCD≌△CBF，因此可以得出BD=CF，∠FCB=∠DBC。由于∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A，所以∠CEF=∠ABE+∠A。因此CF=CE，BF=CE，因此四边形DBCE是等对边四边形。证法一：在平行四边形ABCD中，AD//BC，因此可以得出∠OBF=∠ODE。由于O为BD的中点，因此OB=OD。在△BOF和△DOE中，可以得出△BOF≌△DOE，因此OF=OE。因为EF⊥BD于点O，所以DE=DF。证法二：因为O为BD的中点，所以BO=DO。因为EF⊥BD于点O，所以BF=DF。因此∠BFO=∠DFO。由于在平行四边形ABCD中，AD//BC，因此可以得出∠BFO=∠DEO，因此∠DEO=∠DFO，因此DE=DF。证明：因为OA=OB，AD=BE，所以OA-AD=OB-BE，即OD=OE。在△ODC和△OEC中，可以得出∠OBF=∠ODE，OB=OD，∠BOF=∠DOE，OD=OE，∠DOC=∠EOC，OC=OC。因此△ODC≌△OEC，因此CD=CE。（1）因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°。因为AB=AC，所以∠B=∠C。因为D是BC的中点，所以BD=CD。因此△BED≌△CFD。（2）因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED=∠AFD=90°。因为∠A=90°，所以四边形DFAE为矩形。因为△BED≌△CFD，所以DE=DF，因此四边形DFAE为正方形。（1）证明：因为△ABC为等边三角形，所以∠BAC=∠C=60°，AB=CA。在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD，因此△ABE≌△CAD。（2）解：因为∠BFD=∠ABE+∠BAD，又因为△ABE≌△CAD，所以∠ABE=∠CAD，因此∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°。（1）可以；（2）可以；（3）可以。因为AB//CD，所以∠ABC+∠BCD=180°。又因为BE、CE平分∠ABC，∠ACD，所以∠ABC=2∠EBC，∠ACD=2∠ECB。因此∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠BCD)/2=90°，因此∠EBC=∠BEC=90°（三角形内角和定理）。在BC上取BF=BA，连接EF。在△ABE和△FBE中，可以得出AB=FB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，因此△ABE≌△FBE（SAS）。1)。在△OMD中，∠OMD=90°，∴tan∠DOM=OD/OM=1/3，又因为∠DOM=∠1=60°，∴直线l的斜率为√3，即为y=x√3-2√3，过点M(3，1)，所以方程为y=x√3-2√3+1。代入y=kx+b，得到M(3，3k+b=16)。证明：(1)四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=∠BCD=90°。因为△PBC和△QCD是等边三角形，所以∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°。因此，∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°。于是，∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°，所以∠PBA=∠PCQ=30°。(2)因为AB=DC=QC，且∠PBA=∠PCQ，PB=PC，所以△PAB≌△PQC。因此，PA=PQ。证明CO∥OD，所以∠COD=∠ACO。又因为∠CAO=∠DOB，所以∠ACO=∠CAO，因此∠COD=∠DOB。又因为OD=OD，OC=OB，所以△COD≌△BOD，所以∠OCD=∠OBD=90°，所以OC⊥CD，也就是CD是⊙O的切线。(1)首先，因为△ABC和△ADE都是等边三角形，所以AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°。又因为∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，所以∠EAB=∠DAC。因此，△AEB≌△ADC。(2)①由①可得△AEB≌△ADC，所以∠ABE=∠C=60°。又因为∠BAC=∠C=60°，所以∠ABE=∠BAC，所以EB∥GC。又因为EG∥BC，所以四边形BCGE是平行四边形。②证出△AEG≌△ADB，得到EG=AB=BC。由①可得△AEB≌△ADC，得到