全等三角形经典编辑题型

.\全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，谢谢阅读对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．谢谢阅读(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．感谢阅读(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．精品文档放心下载要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．谢谢阅读全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．感谢阅读(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．精品文档放心下载(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．精品文档放心下载(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．谢谢阅读(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．精品文档放心下载全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．感谢阅读拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证精品文档放心下载明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．精品文档放心下载例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，A60o，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．谢谢阅读

E

AO DB C【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?感谢阅读DNA M B E.\【变式拓展训练】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与∠ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？感谢阅读D CNA M B E【例3】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.精品文档放心下载A DFB E C【例4】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分DOE．谢谢阅读D A D AE EFO OB C B C.\【例5】(北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．谢谢阅读ANMB CD【例6】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，感谢阅读求证：AD平分∠CDEAB EC D板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分线，且ACABBD，精品文档放心下载求ABC的度数.AB D CA.\【例8】在等腰ABC中，ABAC，顶角A20，在边AB上取点D，使ADBC，精品文档放心下载BDC.【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题)如图所示，在ABC中，ACBC，C20，精品文档放心下载M在AC上，N在BC上，且满足BAN50，ABM60，求NMB.感谢阅读CMN【例10】在四边形ABCD中，已知ABAC，ABD60，ADB76，BDC28，求DBC的度数.感谢阅读DCA B【例11】(日本算术奥林匹克试题)如图所示，在四边形ABCD中，DAC12，谢谢阅读CAB36，ABD48，DBC24，求ACD的度数.感谢阅读D CA B【例12】(河南省数学竞赛试题)在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.精品文档放心下载AEDB C.\【例13】(北京市数学竞赛试题)如图所示，在ABC中，BACBCA44，M为ABC内一点，使得MCA30，MAC16，求BMC的度数.精品文档放心下载BMA C全等三角形证明经典50题（含答案）已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADA精品文档放心下载B CD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBDBE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6感谢阅读又AD是整数,则AD=512. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD2AB谢谢阅读ADC B已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2精品文档放心下载A12B EC F D证明：连接BF和EF。因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。感谢阅读所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以∠EBF=∠BEF。又因为∠ABC=∠AED。所以∠ABE=∠AEB。所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。感谢阅读所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC感谢阅读证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G精品文档放心下载则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS） EB

.\A2FCD.\∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA谢谢阅读B D证明：

CAC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD谢谢阅读又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD感谢阅读AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C精品文档放心下载已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE谢谢阅读证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB＝∠CEF＝90°因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF感谢阅读所以∠B＝∠CFE因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°所以∠D＝∠CFA谢谢阅读因为AC平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因为AC＝AC所以△ADC≌△AFC（SAS）所以AD＝AF.\所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD谢谢阅读上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;谢谢阅读AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.精品文档放心下载所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C感谢阅读EDAB//ED,AE//BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BCC所以三角形AEF全等于三角形FDCB，所以:∠C=∠FAB14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CAD证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。BC则：△AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE(等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC是等腰三角形所以：角B=角C.15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB感谢阅读作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，精品文档放心下载.\C因为AB较短）因为PC<PB’+B‘C,PC-PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABADPB16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C延长BE交AC于F因为，∠1=∠2，BE⊥AE所以，△ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC感谢阅读AG∥BD交DE延长线于GAGE全等BDEAG=BD=5FCAGF∽CDFABAF=AG=5E所以DC=CF=218．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．感谢阅读延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD;.\AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA精品文档放心下载因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB所以MA=MB感谢阅读所以∠MAB=∠MBA因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA谢谢阅读20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线感谢阅读AP于D．求证：AD+BC=AB．证明：PC做BE的延长线，与AP相交于F点，E∵PA//BCD∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线AB∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线精品文档放心下载∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF感谢阅读在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC感谢阅读21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B证明：在AB上找点E，使AE=AC精品文档放心下载A ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE感谢阅读∠B=∠EDBCB∠C=∠B+∠EDB=2∠BD22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，谢谢阅读AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF谢谢阅读（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．感谢阅读.\分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFABEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．解答：解：（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，谢谢阅读∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．感谢阅读∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；精品文档放心下载（2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，E在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，B∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．

以及垂线的性质得出四边形ADC23．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，谢谢阅读（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：精品文档放心下载(1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠感谢阅读BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．感谢阅读求证：BD=2CE．证明：延长BA、CE，两线相交于点F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC精品文档放心下载

FAEDB C.\∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°谢谢阅读又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°精品文档放心下载∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴BD=2CE26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥ACF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。F证明：∵BE‖CFBMC∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCME∵BE=CFA∴△BEM≌△CFM∴BM=CMDBC∴AM是△ABC的中线.27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。感谢阅读三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC精品文档放心下载28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF谢谢阅读证明：在△ABD与△ACD中AB=ACABD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC

DB CF.\∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。感谢阅读AB因为AB=DCAE=DF,FCE=FBCE+EF=EF+FBE所以三角形ABE=三角形CDFCD因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路谢谢阅读旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰谢谢阅读好在一条直线上.证：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF中BE=CF（已知）∠B=∠C（已证）EM=FM（已证）∴△BME全等与△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）感谢阅读∴E，M，F在同一直线上.\31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，感谢阅读BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．证明：∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。精品文档放心下载连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等DE腰△两底角相等得：角ABC=角ADC在结合已知条件证得：△ADE≌△ABFAC得AE=AFFB33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．感谢阅读因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.感谢阅读D又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三感谢阅读角形ABC.A153C2E64所以BC等于DC，角3等于角4,EC=ECB三角形DEC全等于三角形BEC所以∠5=∠634．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．感谢阅读因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）谢谢阅读然后SSA（角角边）三角形全等.\35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求精品文档放心下载证：BE=CD．证明：因为AB=AC，所以∠EBC=∠DCB因为BD⊥AC，CE⊥AB所以∠BEC=∠CDBBC=CB(公共边)

CDFBE A则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE＝CD36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。精品文档放心下载求证：DE=DF． AAAS证△ＡＤＥ≌△ADFEFB D C37.已知：如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的感谢阅读长？AC=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACEDBC=AEBC△ABC≌△DAEAD=AB=5A38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。精品文档放心下载求证：MB=MC证明∵AB=AC E F∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC

B M C.\39.如图，给出五个等量关系：①ADBC②ACBD③CEDE④DC⑤精品文档放心下载DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．精品文档放心下载已知：Ｄ C求证：Ｅ证明：A B已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD，在四边形ADBC中，连AB感谢阅读所以△ADB全等于△BCA所以角D=角C以4,5为条件，1为结论。即：在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC因为∠A+∠B+∠C+∠D=360精品文档放心下载∠D=∠C，∠A=∠B，所以2(∠A+∠D)=360°，∠A+∠D=180°，所以AB//DC40．在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌CEB；感谢阅读DEADBE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.感谢阅读（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，精品文档放心下载∴∠ACD=∠CBE．Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，精品文档放心下载.\∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，感谢阅读∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF谢谢阅读F（1）证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直ACEA所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAFM因为AE=ABAF=ACBC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BFECA=角F（2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G精品文档放心下载因为角ECA=角F(已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。精品文档放心下载N A43

证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥ABF ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°精品文档放心下载∴∠ABM=∠ACN1M2BC

∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN.\43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF连接BF、CE，感谢阅读证明△ABF全等于△DEC（SAS），然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF谢谢阅读44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由精品文档放心下载AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形谢谢阅读EAN所以∠ANE=∠ACEAC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN