解直角三角形

第十八讲

解直角三角形一、锐角三角函数的概念二、特殊角的三角函数值三、直角三角形中的边角关系1.三边之间的关系：________.2.两锐角之间的关系：_____________.a2+b2=c2∠A+∠B=90°3.边角之间的关系：sinA=cosB=___，sinB=cosA=___，tanA=___，tanB=___.四、解直角三角形的应用1.仰角和俯角：如图1，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线_____的叫做仰角，在水平线_____的叫做俯角.上方下方图1图22.坡度(坡比)和坡角：如图2，通常把坡面的铅直高度h和__________之比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母__表示，即i=___；坡面与_______的夹角叫做坡角，记作α.所以i=____=tanα.水平宽度li水平面3.方位角：指北或指南的方向线与目标方向所成的_________的角叫做方位角.小于90°【自我诊断】(打“√”或“×”)1.如果直角三角形各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值也扩大为原来的2倍. ()2.30°角的正弦值等于60°角的余弦值. ()×√3.正切值随角度的增加而增加. ()4.解直角三角形就是由直角三角形中的已知元素求出未知元素的过程. ()5.坡度就是坡角的度数. ()6.方位角都小于90°. ()√√×√考点一求三角函数值【示范题1】(2018·枣庄中考)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是 (

)A. B. C. D.

【思路点拨】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案.【自主解答】选A.∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，∴==，∴EF=AF，∴EF=AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得AE=DE，∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF==2x，∴tan∠BDE===.【答题关键指导】根据定义求三角函数值的方法(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(有时也可以设为1)，在求三角函数值的过程中约去k.(3)正确应用勾股定理求第三条边长.(4)应用锐角三角函数定义，求出三角函数值.【跟踪训练】(2018·衢州中考)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为 (

)A. B. C. D.【解析】选C.设圆锥的母线长为R，由题意得15π=π×3×R，解得R=5.∴圆锥的高为4，∴sin∠ABC=.考点二特殊锐角三角函数值的应用【示范题2】(2018·绍兴、义乌中考)计算：2tan60°--(-2)0+.【思路点拨】首先计算特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂，然后再计算加减即可.【自主解答】原式=2-2-1+3=2.【答题关键指导】熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)按值的变化：30°，45°，60°角的正余弦的分母都是2，正弦的分子分别是

1，，，余弦的分子分别是，，1，正切分别是，1，.(2)特殊值法：①在直角三角形中，设30°角所对的直角边为1，那么三边长分别为1，，2；②在直角三角形中，设45°角所对的直角边为1，那么三边长分别为1，1，，再根据锐角三角函数的定义推导即可.【跟踪训练】(2018·大庆中考)2cos60°=(

)A.1 B. C. D.

【解析】选A.根据cos60°=计算即可.考点三解直角三角形【示范题3】(2018·自贡中考)如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°，求AC和AB的长.【思路点拨】作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中求出CH，BH，在Rt△ACH中求出AH，AC即可解决问题.【自主解答】如图作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=BC=6，BH==6，在Rt△ACH中，tanA==，∴AH=8，∴AC==10，∴AB=AH+BH=8+6

【答题关键指导】解直角三角形的类型及方法(1)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法：∠B=90°-∠A，a=csinA，b=ccosA(或b=).(2)已知一直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法：∠B=90°-∠A，c=，b=(或b=).(3)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法：b=，由sinA=，求出∠A，∠B=90°-∠A.(4)已知两条直角边a和b，其解法：c=，由tanA=得∠A，∠B=90°-∠A.【跟踪训练】(2018·齐齐哈尔中考)四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=_____________.

【解析】作AH⊥BD，CG⊥BD，垂足分别为H，G.如图，有两种情况，四边形ABCD或四边形ABCD′.在Rt△ABH中，∵tan∠ABD==，∴可设AH=3x，BH=4x，则由勾股定理得AB=5x=20，∴x=4，∴AH=12，BH=16.∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°，∠CBD+∠GCB=90°，∴∠GCB=∠ABD.∴tan∠BCG=.同上可得BG=6，CG=8.在Rt△ADH中，DH==5，∴DG=BH-BG-DH=16-6-5=5.∴CD==.在Rt△AD′H中，D′H=5，∴D′G=BH-BG+D′H=16-6+5=15.∴CD′==17.∴线段CD=或17.答案：或17考点四解直角三角形的应用

【考情分析】利用解直角三角形解决实际问题是中考的热点，这一类题型通常以解答题为主，利用直角三角形求物体的高度、宽度和长度，解决仰角、俯角，坡度，坡角，方位角等问题.命题角度1：利用解直角三角形解决高度、宽度或长度问题【示范题4】(2018·随州中考)随州新厥水一桥(如图1)设计灵感来源于市花——兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车.斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内，BC在水平桥面上.已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD.(1)求最短的斜拉索DE的长.(2)求最长的斜拉索AC的长.【思路点拨】(1)证明∠BDE=90°后，在Rt△BDE中，已知∠ABC=45°及斜边BE的长，求∠ABC的对边DE的长，需用∠ABC的正弦求解.(2)根据BD=DE，AB=5BD，先求得AB长，再过点A作AM⊥BC于点M，利用解直角三角形知识和直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半求解.【自主解答】(1)∵∠ABC=∠DEB=45°，∴∠BDE=90°，BD=DE，在Rt△BDE中，DE=BE·sin∠ABC=6×sin45°=3(米).即最短斜拉索DE的长为3米.(2)过点A作AM⊥BC于点M，由(1)知，BD=DE=3，AB=5BD=5×3=15.在Rt△ABM中，AM=AB·sin∠ABC=15×sin45°=15(米).∵∠ACB=30°，∠AMC=90°，∴AC=2AM=2×15=30(米).即最长斜拉索AC的长为30米.命题角度2：利用解直角三角形解决仰角、俯角问题【示范题5】(2018·娄底中考)如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度.【思路点拨】作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可.【自主解答】作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC-BC=480-452=28，答：发射塔AB的高度为28m.命题角度3：利用解直角三角形解决方位角问题【示范题6】(2018·恩施中考)如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离.(结果精确到米，参考数据≈1.41，≈1.73)【思路点拨】先根据题目给出的方位角，求出三角形各个内角的度数，过点B作BE⊥AC构造直角三角形.利用三角函数求出AE，CE，再求和即可.【自主解答】由题意知：∠MAC=30°，∠NBC=15°，∴∠BAC=60°，∠ABC=75°，∴∠C=45°，过点B作BE⊥AC，垂足为E.在Rt△AEB中，∵∠BAC=60°，AB=100米，∴AE=cos∠BAC×AB=×100=50(米)，BE=sin∠BAC×AB=×100=50(米)，在Rt△CEB中，∵∠C=45°，BE=50米，∴CE=BE=50≈86.5(米)，

∴AC=AE+CE=50+86.5=136.5≈137(米).答：旗台与图书馆之间的距离约为137米.命题角度4：利用解直角三角形解决坡角、坡度问题【示范题7】(2018·安顺中考)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB=45°，在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，

使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(最后计算结果保留一位小数).(参考数据：≈1.414，≈1.732)【思路点拨】在Rt△ABC，Rt△DBC中，利用锐角三角函数分别计算AB，DB，然后计算DH的长，根据DH与3的关系，得结论.【自主解答】由题意得，AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，∴AB=BC=10，在Rt△DBC中，∠CDB=30°，∴DB==10，∴DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-10+10=20-10≈2.7(米)，∵2.7米<3米，∴该建筑物需要拆除.【答题关键指导】解决解直角三角形的实际问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：(1)根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系.(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形.【跟踪训练】1.(2018·哈尔滨中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为 (

)A. B.2 C.5 D.10【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD==，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5.2.(2018·重庆中考A卷)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)(

)A.12.6米 B.13.1米C.14.7米 D.16.3米【解析】选B.延长AB交地面于点H.作CM⊥DE的延长线.易得CM=1.6，DM=1.2，=tan58°，∴=1.6，∴AH=14.72，∴AB=14.72-1.6≈13.1(米).3.(2018·临沂中考)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆