苏教版选择性4.4数学归纳法(2)课件（21张）

数学归纳法(2)1、数学归纳法公理一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：(1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，

证明当n＝k＋1时命题也成立。上述证明方法叫作数学归纳法。数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。复习回顾2、数学归纳法的思维过程复习回顾3、数学归纳法的使用关键(1)重点：两个步骤、一个结论；(2)注意：归纳奠基不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。①归纳奠基递推的基础(找准n0)②归纳递推递推的依据n＝k(k≥n0)时命题成立作为必用的条件运用，而n＝k＋1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明。复习回顾数学归纳法是一种重要的证明方法，应用十分广泛，一般说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明。问题情境数学应用类型一数列的通项及前n项和等问题例1、求－1＋3－5＋···＋(－1)n(2n－1)的和，请先通过有

关活动，提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想。猜想：－1＋3－5＋···＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n·n数学练习已知数列的前n和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算的结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。猜想：数学应用例2、是否存在常数a、b，使得等式：

对一切正整数n都成立？并证明你的结论。数学应用变式拓展是否存在常数a、b、c，使得等式：对一切正整数n都成立？并证明你的结论。a＝3，b＝11，c＝10数学应用例3、设n∈N*，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1，(1)当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值；(2)你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的

猜想。类型二数的整除性问题数学应用类型二数的整除性问题题后反思数学归纳法证题的关键是“一凑假设，二凑结论”，在证题过程中，归纳推理一定要起到条件的作用，即证明n＝k＋1成立时必须用到归纳推理这一条件。数学练习1、设n∈N*，求证：f(n)＝32n＋2－8n－9是64的倍数。2、试探究n3

＋5n(n∈N*)能被哪些自然数整除，并用数学

归纳法证明你的结论。数学应用例4、在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中

任何3条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多

少个部分？解：

记n条直线将平面分成rn个部分，我们通过n＝1，2，3，4，5，画出图形观察rn的情况。n＝1n＝2n＝3n＝4n＝5从上图中可以看出，r1＝2r2＝4r3＝7＝1＋1＝1＋1＋2＝1＋1＋2＋3r4＝11＝1＋1＋2＋3＋4r5＝16＝1＋1＋2＋3＋4＋5rn＝1＋1＋2＋3＋4＋···＋n由此猜想：类型三几何中数学归纳法的应用数学应用例4、在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中

任何3条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多

少个部分？rk＝1＋1＋2＋3＋4＋···＋k下面用数学归纳法来证明这个猜想：(1)当n＝1，2时，结论均成立；(2)假设当n＝k时结论成立，即那么，当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点，这k个交点将这条直线分成k＋1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，所以rk＋1＝rk＋(k＋1)＝1＋1＋2＋3＋4＋···＋k＋(k＋1)所以n＝k＋1时结论也成立。综上(1)(2)，对任何n∈N*，都有rn＝1＋1＋2＋3＋4＋···＋n，即。变式拓展平面内有n(n≥2)条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点个数为。课堂检测1、求证：3个连续自然数的立方和能被9整除。2、求凸n边形的对角线的条数f(n)。课堂小结1、数学归纳法公理一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：(1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，

证明当n＝k＋1时命题也成立。上述证明方法叫作数学归纳法。数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。2、数学归纳法的思维过程课堂小结3、数学归纳法的使用关键(1)重点：两个步骤、一个结论；(2)注意：归纳