小学数学小升初竞赛辅导材料-高斯取整

小学数学小升初竞赛辅导材料--高斯取整2019年小学数学竞赛辅导材料-高斯取整1.已知对于数a，有[5a]+5a=2018.16，求[[25a]+25a]的值。解析：设5a的小数部分为x，则5a=[5a]+x。因为[5a]+5a=2018.16，可以求出x=0.16和[5a]=1009。因此，25a=[5a]×5，[[25a]+25a]=[[1009×5]+1009]=[[5045]+1009]=6054。2.用[x]表示不超过x的最大整数，求[1]+[2]+[3]+[4]+[5]+[6]的值。解析：[1]+[2]+[3]+[4]+[5]+[6]=[1]+[2]+[3]+[4]+[5]+[5]=[1]+[2]+[3]+[4]+[4]+[5]=[1]+[2]+[3]+[3]+[4]+[5]=[1]+[2]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[3]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[3]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[4]+[4]+[5]=30。3.设[x]表示不超过x的最大整数，方程[x]+2x=4的解为x=1。4.以[x]表示不大于x的最大整数，满足[1.9x]+[8.8y]=36的自然数x，y的值共有7组。5.已知S=[1]+[2]+[3]+...+[n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，S的值为S=[1]+[2]+[3]+...+[n]=[1]+[2]+[2]+[3]+3+...+n=[1×1]+[2×2]+[3×2]+[4×3]+[5×3]+...+[n×(n-1)/2]=1×1+2×2+3×2+4×3+5×3+...+n×(n-1)/2=[1+2+3+...+n-1]+[2+3+...+n-1]+[3+...+n-1]+...+[n-1]=[n-1]+2×[n-2]+3×[n-3]+...+(n-1)×[1]。6.[x]表示不超过x的最大整数，则[1]+[2]+[3]+...+[n]=n×[n/2]。7.计算：[1.5]+[2.5]+[3.5]+...+[99.5]=4950。8.求[1.5]+[2.5]+[3.5]+...+[99.5]+[100.5]的值。由于[100.5]=[100]=100，所以[1.5]+[2.5]+[3.5]+...+[99.5]+[100.5]=[1]+[2]+[3]+...+[99]+100=4950+100=5050。9.已知S=[1]+[2]+[3]+...+[n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，S的值为S=[1]+[2]+[3]+...+[n]=[n×(n+1)/2]。10.解方程[x]+[2x]=19，得到x=8.5。11.解方程：(1)x+2{x}=3[x]，得到x=[x]+2{x}，代入得到[x]+[2{x}]=2[x]，即[2{x}]=[x]，因此{x}<[1/2]，代入得到x=[x]；(2)3x+5[x]-49=[x]+2，化简得到3x-3[x]=51，因此x=[x]+17。12.求方程2[x]-9{x}=0的解的个数。由于{x}<1，因此2[x]=9{x}的解为[x]=0，0≤{x}<1/9，共有9个解，因此方程的解的个数为9。13.如果[x]=3，[y]=4，[z]=1，求：(1)[x-y]的所有可能值；(2)[x+y-z]的所有可能值。(1)[x-y]的所有可能值为-1，0，1，2，3。(2)[x+y-z]的所有可能值为6，7，8，9，10，11。14.解方程[]+[]+[]+[x]=2019，其中[x]表示不超过x的最大整数。由于[]+[]+[]≤[x]+[x]+[x]=3x，因此[x]≥2019/3=673。又因为[]+[]+[]+[x]≤3[x]+[x]=4x，因此[x]≤2019/4<505，因此[x]=504，[1]+[2]+[3]+504=1+2+3+504=510。15.(1)在[1,100]范围内，数字中含有数字9的整数共有20个。(2)在[1,100]范围内，共有19个互不相同的数字，其中没有数字9的整数有80个，数字中含有数字9的整数有20个。在[1,100]范围内，共有10个互不相同的数字，其中没有数字9的整数有90个，数字中含有数字9的整数有10个。因此，在[1,100]范围内，共有29个互不相同的数字。1.原文已经没有明显的格式错误和有问题的段落，只需要进行小幅度的改写即可。例如，将“故答案为：10090”改为“因此，答案是10090”。2.本题考察高斯取整。观察式子可知，首位两项，[]内的数相加等于2017。又因为当x不是整数时，[x]+[2017-x]=2016，故两两相加可以得到答案。因为2017和11是质数，所以[]内的数据都不是整数。因此，[]+[]+[]+[]=[2017-1]=2016。所以原式=2016+2016+2016=6048。因此，答案是6048。3.设n≤x<n+1（n是整数），则[x]=n。根据方程[x]+2x=4，求出n，即可得出结论。设n≤x<n+1（n是整数），则[x]=n。因为[x]+2x=4，所以2x=4-[x]。因此，2n≤4-[x]≤2n+1。所以，[x]=2，x=1.5。因此，答案是1.5。4.显然0≤y≤4（否则等式左边>36）。当y=0时，有x=19。当y=1时，有x=15；当y=2时，x=10；当y=3时，x不存在；当y=4时，x=1。因此，满足[1.9x]+[8.8y]=36的自然数x，y的值共有4组。因此，答案是4。5.本题考察高斯取整，解题关键在于求出每个分数计算结果的整数部分。对每个分数进行变形，S=[2-]+[]+[4-]+[6-]+[]+…+[]+…+[200-].因此，S=1+3+5+…+199=(1+199)×100÷2=10000。6.从[]到[]表示的不超过x最大整数都是1，从[]到[]到[]表示的不超过x最大整数都是2，从[]到[]表示的不超过x最大整数都是3。因此，[x]+[2x]+[3x]=1+2+3=6。因此，答案是6。1.根据题干得知，这个数列的最大整数是3、126、2011，分别对应了三个方括号。因为这个数列是递增排列的，所以共有2012个不同的整数。因此，答案为2012个不同的整数。2.这道题考察高斯取整。将22乘以40再除以2可以得到440。因此，答案为440。3.这道题也考察高斯取整。因为[]+[]+1=[]+[]，所以[]=[]+1。因此，[]+[]+[]+1=42，所以[]=21。将所有括号里的数加起来，可以得到2010。4.这道题需要根据高斯求和公式和x=[x]+{x}找规律解答。因为{x}小于1，所以[2x]等于2[x]+[2{x}]。因为0≤{x}＜1，所以0≤2{x}＜2。因此，需要分段讨论{x}。当0≤{x}＜0.5时，[2x]=2[x]；当0.5≤{x}＜1时，[2x]=2[x]+1。根据方程[x]+[2x]=19，可以得到[x]的取值范围是6≤[x]＜7。因此，满足方程的x的取值范围是6≤x＜7。5.这道题需要用到排列组合的知识。因为需要选出5个数，每个数的取值范围是1到10，所以总共的情况数是10的5次方，即100000种。因为不能有重复的数，所以要减去选出5个相同的数的情况，即10种情况。因此，最终的答案是99990。6.这道题需要找到最小的正整数n，使得n的平方大于2000。可以通过试除法得到44的平方是1936，45的平方是2025，因此最小的n是45。因此，答案是45。7.这道题考察高斯取整。将22乘以40再除以2可以得到440。因此，答案为440。8.这道题考察高斯取整。因为[]+[]+1=[]+[]，所以[]=[]+1。因此，[]+[]+[]+1=42，所以[]=21。将所有括号里的数加起来，可以得到2010。9.这道题需要根据高斯求和公式和x=[x]+{x}找规律解答。因为{x}小于1，所以[2x]等于2[x]+[2{x}]。因为0≤{x}＜1，所以0≤2{x}＜2。因此，需要分段讨论{x}。当0≤{x}＜0.5时，[2x]=2[x]；当0.5≤{x}＜1时，[2x]=2[x]+1。根据方程[x]+[2x]=19，可以得到[x]的取值范围是6≤[x]＜7。因此，满足方程的x的取值范围是6≤x＜7。将所有括号里的数加起来，可以得到9504。10.这道题需要根据x=[x]+{x}求解2x的整数部分和小数部分。因为{x}小于1，所以2{x}小于2。因此，需要分段讨论{x}。当0≤{x}＜0.5时，[2x]=2[x]；当0.5≤{x}＜1时，[2x]=2[x]+1。根据方程[x]+2[x]=19，可以得到[x]=6。因此，2x的整数部分是12，小数部分是0。【分析】本题考察高斯取整。如果$x$为实数，$[x]$表示不超过$x$的最大整数，$\{x\}=x-[x]$表示$x$的小数部分，则可以利用这些概念来解决问题。【解答】（1）由$\{x\}=x-[x]$，$x+2\{x\}=3[x]$可得：$$x+2(x-[x])=3[x]\Rightarrow5[x]=3x\Rightarrow[x]=\lfloor\frac{3x}{5}\rfloor$$因为$[x]$是整数，所以$\frac{3x}{5}$也必须是整数，即$x$必须是$5$的倍数。又因为$x$不等于$[x]$，所以$x$只能是$5$或$10$。代入原方程检验，发现$x=5$时不符合，$x=10$时符合。因此方程的解为$x=10$。（2）由$2[x]$为偶数，可知$[x]$为整数且为偶数。因为$0\leq\{x\}<1$，所以$0\leq9\{x\}<9$，即$9\{x\}$的可能取值为$0,2,4,6,8$。将这五个值代入$2[x]=9\{x}$，解得$x=1+\frac{k}{5}$，其中$k$为$0,2,4,6,8$中的一个。代入原方程检验，可得方程的解为$x=1.4,1.6,2.4,2.6,3.4,3.6,4.4,4.6$。（3）由$[x]=3$可知$3\leqx<4$，$[y]=0$可知$0\leqy<1$，$[z]=1$