2021届高考临考卷数学（二） 解析

绝密★启用前

C.y=ex+\-xD.y=cosx+

2021年普通高等学校招生全国统一考试

答案：C

数学(二)

解：对于A选项，当x>0时，y=x+->2.当且仅当*=-,即x=l时，等号成立；

XX

注意事项：当尢<0时，y=x+：=-([v)+(-g)]w-2,当且仅当=即x=-l时，等号成立,

1.本试卷分第1卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自

己的姓名、考生号填写在答题卡上。故A错误；

2.回答第1卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，IX—1

对于B选项，y=x-lnx-l,/=1——=---,

XX

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

当x>i时，y>o；当o<x<i,y<o,

3.回答第n卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。所以当x>l,函数y=x-ln工一1单调递增；当()<XV1时，/(x)=x-lnx-l单调递减，

第I卷(选择题)所以当x=l,函数取得最小值为0,故B错误；

对于C选项，y=ex+1—x,y1=ex-1»

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.当x>o时，y>o；当x<o,y<o,

1.设集合A={y|y=J7=5},集合则08)DA等于O

所以当x>0,函数y=e'+l—x单调递增；当x<0,函数y="+l—x单调递减，

A.(0,4]B.[4,+oo)C.[0,4]D.(4,+oo)

即当x=0取得最小值为2,故C正确：

答案：CTT

对于D选项，因为0<x<一,所以0<cosx<l,

解：集合集={y|y=G3}={y|N0},2

Xy=cosx+—5—2Jcosx•―—=2,当且仅当cosx=---,即8sx=1时，等号成立,

集合B={x|f-4X>0|={x|x(x-4)>0)={x|x<0Wtx>4),

scosXVcos工cosx

则"B={x[0Wx<4},.•.(\A)nA={x|0WxW4}=[0,4],故选C.但COSXH1，故D错误，

2.复数z=(a—2i)(l+i),4£R,i是虚数单位.若同=4,则a=()故选C.

4.以斐波那契数：1,1,2,3,5,…为边的正方形拼成一个长方形，每个正方形中画圆心角为90。

A.2B.-2C.0D.±2

的圆弧，这些圆弧连接而成的弧线也称作斐波那契螺旋线，下图为该螺旋线的前一部分，如果用接

答案：D

下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的表面积为()

解：•.•z=(a-2i)(l+i)=a+2+(a-2)i,

/.z=«+2-(a-2)i,/.|z|=4=A/2«2+8,解得a=±2,

故选D.

3.下列函数中，y的最小值为2的是()

1

A.y=x+—B.y=x-\nx-\

M8屈it4y/\5n

A.207rB.------C.I671D.------7.已知实数a>0,b>e,则是的（）

33

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

答案：A

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：根据已知可得所求扇形半径为，-=3+5=8,即圆锥母线长为/=8,

答案：D

7T

解：令/（犬）=半,r（x）二1-lnx

设圆锥底面半径为R,则2TIR=2X2兀x8,R=2,2,

2兀

可得当0<xve时，/'（x）>0：当时，/'（力<0,

所以圆锥表面积为S=7t/，+7rR2=16%+47r=20兀，故选A.

所以f（X）在（0,e）上单调递增，在（%+8）单调递减，

5.已知当尤=0时，函数/（x）=2cosx-sinx取得最小值，则cos6=（）

卜亚H26,26后因为3">3",所以a>b>e,所以少〈以，即所以“"<〃；

A.----n.----C.-----IJ.ab

5555

答案：C可得当。=2,匕=5时，可得空=小>地，可得2；>5；而3?<35,

245

解：函数/（x）=2cosx-sinx,

综上可得当实数。>0,力>e时，"3">3"”是“加>加”的既不充分也不必要条件，

由辅助角公式化简可得/（x）=J5sin（x+e）,tan（p=-2,夕为第一象限角，

故选D.

因为当x=e时,函数取得最小值，

22

3兀3718.已知丹、尸?分别为双曲线C：鼻一亲■=1卜/>。力>0）的左右焦点，”为双曲线左支上一点,

所以6+0=；+2E/eZ,则6=3-0+2E/wZ,

所以cos6=cos（费-e+2E）=cos（募一°）=-sin*=-^^,故选C.6与y轴上•点p正好关于“居对称，则双曲线c的离心率为o

A.l<e<----B.e>----C.e>V3D.\<e<-73

6.“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，现安排A，B，C,O，E，F,G,

33

H共8名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一位老人，考虑

答案：B

到学生与老人住址距离问题，学生A不安排看望老人甲，学生8不安排看望老人乙，则安排方法共

解：设点片（-c,0）,设点M在第二象限，则点P在》轴正半轴上.

有（）

由对称性可得|尸鸟|=伊用=田用|=2c,俨。|=,尸国2—|。制2=辰,

A.1260种B.2520种C.1440种D.1890种

答案：C所以NP5耳=60。，则/“6”=30。，

解：8名学生看望四位老人，每两位学生看望一位老人共有C：C：C：=2520种安排方法，所以，双曲线的渐近线y=—今4的倾斜角。满足90。vav150。，

a

其中A看望老人甲的情况有C；或C：=630种：

则-2<ianl5（T=-3，即2>且，

aa3

8看望老人乙的情况有C；C：C：=630种；3

A看望老人甲，同时B看望老人乙的情况有C：C[C：=180和"

•••符合题意的安排方法有2520-630-630+180=1440种，本题选项为C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项a2+c2-b2

对于D,。=8,c=10,4=60°,cosB=

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.-<p<l,随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有()即cos60°=艾土⑼二"，解得后,只有一个解，故D不正确，

4b=2

2x8x10

X012

故选AC.

Pp-p2T-Pp'11.已知函数/(X)是奇函数，是偶函数，并且当xe(O,l］,/(x)=2|x-2|-3,则下

列选项正确的是<)

A.Pk=2)的值最大B.P/=0)<P(S=l)

A.f(x)在(-3,-2)上为减函数B./(x)在gg［上〃x)<()

C.E(4)随着。的增大而减小D.£(4)随着。的增大而增大

答案：BDC./(x)在［1,2］上为增函数D./(X)关于x=3对称

解：P=；时，P«=2)=1,而P(g=l)=l_g=g>:,A错；

答案:ABD

p-p2=/?(1-/?)<1-/?,所以B正确：解：因为“X)是奇函数，"X+1)是偶函数，

17

由题意七(7)=(1_〃)+2〃2=2(〃_［)2+京，所以函数/(X)的图象关于(0,0)中心对称，且关于x=l轴对称，则f(x)的周期为4，

由于;所以E(7)随着P的增大而增大，C错，D正确，

当xe(O,l］时，/(A-)=2|X-2|-3=1-2.V,则函数/(.r)在xe(0,l)上递减,

故选BD.根据对称性可得J'(x)在xe(l,2)单调递增,

10.在AABC中，内角A3,C的对边分别为a,ac,下列说法中正确的是()

再结合周期性可得在(-3,-2)上为减函数，故A正确:

A.若ZM8C为锐角三角形且A>8,则sinA>cos8

“X)在小于0,根据对称性可得/(X)在x

B.若sin2A=sin23,则AABC为等腰三角形小于0,故B正确;

C.若A>8，则sinA>sin8

D.若。=8,c=10,B=60。，则符合条件的AABC有两个/(X)的图象关于x=l轴对称，所以==/(2)=/(0)=0,

答案：AC

所以f(x)不可能在［1,2］上为增函数，故C错误；

解：对于A,因为若AHBC为锐角三角形且A>8,所以4+8>=，

2

“X)的图象关于x=1轴对楸又〃力是奇函数，所以f(x)的图象关于x=-1轴对称，

所以所以sinA>sin(g-B)=cosB,故A正确：

因为/("的周期为4,所以/(x)关于x=3对称，故D正确，

对于B,若sin2A=sin23,则2A=2。或2A=兀一23.综上答案为ABD.

若2A=28,则△A8C为等腰三角形；12.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都

若2A=兀一28,则A+B=四，则△A8C为直角三角形，故B不正确；为1的常数列，在此数列的第，?("©!<)项与第”+1项之间插入首项为2,公比为2,的等比数列

2

对于C,由A>3可得。>/九所以二>与结合正弦定理可得sinA>sin8,故C正确:

的前"项，从而形成新的数列｛4｝,数列｛““｝的前”项和为S*,则()

a5

A-2O2l~2B.0M21=2’

63MAF为半径的圆截x轴所得弦长为.

C.S2O2I=3X2+59D.52O21=2-3

答案：2石

答案：AD

解：设〃2021介于第〃个1与第〃+1个1之间或者为这两个1当中的一个，解：由题意，抛物线.d=-4y,可得焦点户（0,-1）,

则从新数列的第I个1到第〃个1一共有（〃+1）”项,设4天,），0）,根据抛物线的定义，可得|AF|=—%+1=3,解得为二一2,

2

即A到x轴的距离为d=2,

从新数列的第1个1到第〃+1个1一共有（〃+1"-J项,所以圆截x轴所得弦长为2,以2-d?=26-22=2石，

2

故答案为2行.

所以如也v2021V@型刊，解得“63.

22

15.已知xwRywO,则（工+；）2+（工一2y『最小值为

而（63；）63=20]6,所以《回=2’,故A正确，B错误：

答案：4

23623,45

S2O2I=1x63+62x2'+6lx2+60x2+...+Ix2+2'+2+2+2+2解：*+?2+&-2），）2看作两点A（x,x）,B（—%2y）之间距离的平方，

=125+62x2'+61X22+60X23+...+1X262.

」..2

点A在直线y=x上，点B在曲线y=——上，

x

4^7=62X2'+6IX22+60X2-,+...+IX2M,

•1­/=（--）,=4-令马=i,解得x=±c,取点仇-夜,衣）,

•xrx'

H27'=62X22+6IX2-1+60X24+...+1X2M,

所以依一夜二&l=2,即（x+L）2+（x—2y）2最小值为4.

2T-T=-62X2'+22+23+24+...+262+1X2M'7=2"-128，V2y

所以凡回=22-3,故D正确，C错误，16.若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三极柱模型，使其底而在正四面体一个面上，

并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为，体积的最大值为

综上选AD.

答案：半，8立

第n卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

解：如图，正四面体A8C。的内接正一棱柱OE/一。

13.己知向量a=（x-2,3）,》=（4,x-3）,若"〃b且方向相反，则％=

首先D,E,F-：个顶点必在正四面体的：.条棱上，才能使得•:棱柱体积最大,

答案：—1

正四面体A8CO棱长为6,则高为4M=/-住X6）=2遍,

解：•・,向量a=（x一2,3）,Z>=（4,x-3）,且。〃b,

/.（x-2）（x-3）-3x4=0,x=-lBJCX=6,设正三棱柱高为/?,底面边长为。，

又•.,向量a与b方向相反，，i=T,因为平面OEF〃平面88,所以@=迪」，]=渔（2后一/?）,

故答案为一1.62#2

14.已知抛物线C:/=-4y的焦点为F,抛物线C上一点A满足|AF|=3,则以点A为圆心,

S△DEF=§4Q瓜-Q底一

GcsinB-C；c°s；=0转化为百（510^抽。一8§。858）=sinA,

444o

所以-J5cos(B+C)=sin>4.

2

V=S^DErh=—hQ巫-h）=—X2/1X（2>/6-h）x（2卡-h）

816

而A=TC-8—C,所以J5cosA=sinA，即tarv4=\/J，

V*产*0y=8夜，

・.・A为△ABC内角，.-.0<A<7C,.,.A=1.

当且仅当2〃=2后-〃，即/,=亚时等号成立.

3

则所制作的正三棱柱模型的高为半，体积的最大值为80.bc

由正弦定理得:.b=25

sinBsinC

.,.；Z?csinA=；x2&x(遥+>/5)xsin；=3+G,

.•.△ABC的面积为3+

(2)由(0)+6cos28=6,得12sin28=9，

abcJr

在△ABC中，由正弦定理得——=——=——，且4二一,

siMsinBsine3

/.sinBsinC=—,

4

，

四、解答题：本大题共个大题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.o2.(lit1.2r>/5.1

670D=-7C-C,/.sinCsin------C=—snrC+——sinCcosC=—»

3I3J224

17.（10分）在ZkA8c中，内角AB,C的对边分别为力,c,已知Gcsin8=〃+G.

tanR

-(l-cos2C)+—sin2C=->

4、744

（1）若8=汽，c=底+近，求—〃（:的面积：

4n

cos2C=V3sin2C.得tan2c=9，

3

（2）若：（£）+6cos28=6,求角C.

...2Ce(0野).•.2C=S或2C=*

答案：（1）3+J5;（2）C=上或C=〃.

1212

解：在八45。中，由正弦定理得‘一二」一=」,且tan8=^^，

sinAsinBsinCcosB18.（12分）已知各项为正数的数列｛q｝,其前〃项和为S”，8s“=（2凡+1「且％=

（1）求数列｛4｝的通项公式；

tanB

（2）若7；=%N+4Ty+qi3+i+az3T+qT",求7；.

3n+2-6/7-9又因为A8CO为平行四边形，所