2021年6月浙江省高考数学卷05（全解全析）

2021年6月浙江省高考数学仿真模拟卷05

说明：L本卷为高考模拟卷.

2.本卷考查高考全部内容.

3.考试时间120分钟，满分150分.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.已知U=R,A={x|0<x<2},B={X|X2+2X-3>0},则4rl（）

A.0B.1x|O<x<l}C.{x[0<x<2}I）.|x>IBJU<-3}

1.【答案】B

【解析】因为8=卜|%2+2%一3»0},所以令8=卜|%2+2%一3<0}=5|—3<%<1},

所以（药8）={x[O<x<l}.故选B.

2x-y>0,

2.已知实数满足条件x+2yN0,则z=2x+y的最大值是（）

3冗+y<5

y——人一入乙八乙一乙.四心a.

32

4.u--<e<—n是“V5cos2。—”的（）

41222

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.【答案】A

【解析】因为当cos2e—Lsin26N上芭，得8s（2。+工）2工，所以

2262

一三+女万<。4工+A:i(ZeZ),因此“一工"是''gcos2e—Lsin2eN^^''

41241222

的充分不必要条件，故选A.

5.已知直线机和平面a,夕，则下列结论一定成立的是()

A.若，"〃a,allP,则，"〃£B.若，”_La,a_L£,则〃/

C.若m_La,allP,则,"J•尸D.若，”〃a,al。、则”?_L£

5.【答案】C

【解析】选项A中，由条件也可以得到mu/7；选项B中，应该为机，尸；选项D中，也

可以得到机u夕或相〃夕，故可排除A,B,D.故选C.

【解析】当x>0时，f(x)=\nx-x+-,所以/，(尤)=，一1一二=一(，一］)2-2<0,

xxxx24

所以可知函数/(x)在(0,+8)上单调递减，所以排除C,D；因为尸⑴=1—1—1=—1,结合

图形可知排除A.故选B.

2

7.设a,beR,无穷数列｛a“｝满足：q=a,an+i=-an+ban-1,〃eN*,则下列说法不

正确的是()

A.b=l时，对任意实数a,数列｛4｝单调递减

B.6=-1时，存在实数a,使得数列｛a.｝为常数列

C.。=-4时，存在实数a,使得｛《,｝不是单调数列

D.8=0时，对任意实数a,都有4o2o>-220'8

7.【答案】D

【解析】当6=1时，tz„+1=-«；+«„-1,所以a,用—a“=—a；—lW0,所以数列｛a,,｝单

调递减，所以选项A正确；当6=-1时，4用=一片一4,一1.若数列｛q｝为常数项，则

a=-a2-a-i,解得”=一1,满足要求，所以选项B正确：当b=-4时,

a〃+i=—q；—44—1•因为4+i—=—a；—5q)—1,△=25—4>0,所以可知存在实数

。，使得数列｛可｝不是单调数列，所以选项C正确，所以选项D错误，故选D.

22

8.设双曲线4=1(。>8>0)的左右焦点分别为《，居.过左焦点K的直线与双曲线

ab

的左边曲线交于点P,交双曲线的右边曲线于点Q,若满足|帆|=2|。5|=|耳耳|,则该

双曲线的离心率的取值范围是()

A.(1,2)B.(1,V2)C.(A/2,2)D.(0,4W)

8.【答案】B

【解析】因为归周=2|。闾=|耳闾=2c,所以归闾=2c,|QK|=c.由双曲线的定义可知,

\PF^=2c—2a^QF^=2a+c,所以户。=2a+c-2c+2a=4a-c.所以bPQF2中，

|。闾一|。闾<归@<|"|+|。月|，即C<4a-c<3c,解得l<?=e<2.因为

a>b>0,所以片>〃=。2—片，即2a2>。2,所以有e2<2,即e(夜.所以有

\<e<J2.故选B.

x2+4x,x<0,

9.已知函数/.(幻=，1则函数g(x)=/"(x)—5］的零点个数是()

ex——,x>0

.x

A.3B.4C.5D.6

9.【答案】D

【解析】由题可得，令/(x)-5=f,则y=/Q)的零点有三个，分别为4=-44=。及

4e(0,l).所以当/(%)-5=-4,/(x)=l时函数有2个零点；当/(x)—5=0,/(x)=5

时函数有2个零点；当f(x)-5=G，/(X)=5+4w(5,6)时，结合函数/(x)的图象可知

有2个零点，所以复合函数g(x)有6个.故选D.

10.AABC是边长为6的正三角形，。在A8上，且满足而=2丽，现沿着CD将A4CD

折起至Axe。，使得A.在平面BC。上的投影在ABOC内部(包括边界)，则二面角

4—CO—8所成角的余弦值的取值范围是()

A，

10.【答案】c

【解析】由题可得，如图，在AA8C中，过点A作AOJ.CO交CO于点。，交BC于点”.

因为点A在平面BCD上的投影在kBDC内部（包括边界）.所以可知其投影在线段OH上.

过点A'作AM，。“，垂足为M,则有A'Md.平面BOC.所以NAO”为二面角

A—CO-8所成角的平面角.因为A£>=4,AC=6,NC4£>=60°,所以AO=S亘.以

7

8C所在直线的为x轴，8C中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则有

A(0,3A/3),C(3,0),ZX-2,V3),设H(a,0).因为A"，所以加•前=0,即

一5a—3G=0，解得a=—空.所以AH=*—,所以

55

=应史，所以。用€[0,应H].在MOM中

573535

cosZAOH=—=e[0,-].故选C.

AO6扃5

二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.将答案

填写在题中的横线上）

11.设复数z=l—i（i是虚数单位），则|+z=；Fm卜•

11.【答案】2;V5

22

【解析】因为z=l—i,所以一+z=—+l—i=l+i+l—i=2.

z1-i

Izhi—IF—

12.已知(l+mr)(l+x)5=4+4尤+。2]2+・・・+4/.若。？=5，则m=：

q+%+%=.

12.【答案】-1;0

【解析】由题可得，(1+1)5展开式的通项公式为却=G<,所以

a2=Cf+mC\=10+5m=5,解得〃？=-1；令冗=1,则%+4+…+%=0,令x=-1,

则。0—q+%—%+,••+&=0,所以两式相减，得q+%+〃5=0.

1c、几1八口7A+〃+csinA-sinB什1r-

13.设a,Z7,c分别为AA3C的内角A,3,C的对边，---=------------.若。=1,c—V7,

bsinA-sinC

则。=，AABC的面积为.

13.【答案】一;^^

34

,ell.e、io+csinA—sinBci-b,>.?2,2,入〜e—

【解析】因为1-=--------；——=-----，所以有L=。一+廿一"，由余弦定理可知

hsinA-sinCa-c

cosC=—,解得C=—.因为a=l,c=J7,所以〃一人一6=0,解得匕=3,所以

23

_1,.r」iQ下>_3/>

Sc——cibsinC——x1x3x——-----.

2224

I2

14.已知正实数a为满足a+2b=1,则一+―的最小值为_____；2〃+/的最小值为

ab

2

14.【答案】9;-

1r\/।O\。

【解析】因为正实数。/满足。+2b=1,所以一+一二一+一(。+2与=5+-^

ab\ab)b

+笠25+2、咫•丝=9.当且仅当f=2,4=8=」时取到最小值.由柯西不等式可知,

a\baba3

l=a+2b=--y/2a+2b<J-+4-yj2a2+b2,所以有"+/>2.

2V29

15.已知箱子中装有10不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球.现从该箱中有放

回地依次取出3个小球，若变量&为取出3个球中红球的个数,则百的方差D©=.

15.【答案】—

Q3C1O

【解析】由题可得，J的所有可能取值分别为0,1,2,3,且〃(g=0)=a=濡；

2x82xCj_38496238

MJ=1)=；p(J=2)=；PG=3)=m

103100010310001000

83

所以…巫+T+2X』3X所以

1000100010001000-5

*小3、2512八3、238403、296八3、2812

De,(0—)x-----1"(1—)x----1-(2—)x----+(3—)x----=—

5100051000510005100025

16.已知平面向量B不共线，且时=1,ab^l,记B与％+B的夹角是。，则。最

大时，.

16.【答案】V3

【解析】由题可得,设由=XN1,则cos6=**+”

11HI2。+/?

x2-l=r,则上式=Jl—4,'=卜-41，_4x，=也,此时取得

V产+1°"9J/+10+：7162

cos。最小，。最大时的条件为『=3,即x=2.所以3—1=,1—2+4=6.

17.已知。>0,8eR,若辰3—川+国《川+(。+26)/+Z?对任意尤都成立，

则2的取值范围是.

a

V2-1

17.【答案】[年」,”)

【解析】由|ox3-bx2+ar|<bx4+(a+2b)x2+b对任意的xeg,2J恒成立可知，

a(x+-)-b<b(x+—)2+a恒成立.设t=x+—e[2,—],u=—,则问题等价于

xxx2a

卜一产+1在⑵》上恒成立，即一射2一1〈”“〈”2+1在⑵》上恒成立，即

广一1在［2,2］上恒成立.所以只要“之（二L在［2,当上恒成立即可.因为

r-12r+12

/-Im1、1V2-1g*b、血-1

--=—^------------=------z—2--------尸=---------，所以--------

厂+1m~4-2/?t+2,22+2>/22a2

m-\-------1-Z

m

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

18.（本题满分14分）

已知函数/（%）=5皿（以+看卜0{3+（）>>0）的最小正周期为〃，

（1）求函数/（X）的单调递增区间；

（2）在锐角AABC中,若sinAsin。一sir?。=sir?A-sir?一求/仍）的值

解:

⑴/(x)=(^^sinffifx+gcosftirgcosau:V3.11，3.2

------smcox=—coscox——sincox

2)44

11+cos2cox31-cos2(wc1C

=---------------------------------------=—cos2cox——,3分

424224

•••/(x)的最小正周期为万，

2万，

----=兀,69=1,

2co

f(x)=—cos2x--.5分

v724

jr

由2人"+乃<21<2%4+2肛左£2,可得人万+—<x<k7V+7i,kGZ.

所以函数/(x)的单调递增区间为k7T+^,k7l+7l,k&Z.7分

(2)由正弦定理可知sinAsinC—sin2c=sin2A-sin’8可得.一。2=/一/

即/+。2一〃=配,

a2+c2-b2ac1

...cosB=---------------=------=—.10分

2aclac2

.-./(B)=1cos^-i=-i

14分

19.(本大题满分15分)

如图所示，四棱锥S—ABC。中，底面A8CD是矩形,%

SA1底面ABCD,点、E,F分别为AB,SO的中点.

(1)证明：直线EF〃平面SBC；

(2)设SA=A。=2AB,试求直线EF与平面SCD所

成角的正弦值.

解：(1)证明：过点E作EG〃SB交£4于点G.连接

GF.

因为E为A8中点，所以G为SA中点.

所以GE〃AO,

所以GF〃3C,所以GF〃平面SBC3分

同理可得，EG〃平面SBC5分

所以平面GEF//平面SBC6分

所以石尸〃平面SBC.7分

(2)(解法一)连接AE.

因为SA=A£>,所以AFLSD.

因为SAJ•平面ABC。，

所以SALCD.

因为AOCO,

所以CO_L平面SA。，

因为A/u平面SAO,

所以C0_LAF.

所以A/J■平面SCD.11分

所以NAFE为直线E/与平面SC。所成角的余角.12分

因为SA=AD=2AB,令SA=AO=2AB=4,

则AE=1,AF=20,所以EF=3.14分

设直线EF与平面SCD所成的角为。,

则sine=sin(H-ZAFE)=cosNAEE=——15分

2EF3

(解法二)如图，因为，底面ABC。是矩形，SAL底面ABC。

所以可以以A为坐标原点，AB,AD,AS分别为x,y,z轴,

建立空间直角坐标系A-孑.

设SA=AD=2A8=4,

则5(0,0,4),C(2,4,0),D(0,4,0),£(1,0,0),F(0,2,2)

所以乔=(—1,2,2).10分

设平面SCD的一个法向量为a=(x,y,z),

a-SD=4y-4z=0,

所以2=（0』』）.12分

a-DC=2x=0

设直线EF与平面SCD所成的角为。,

\a-EF\

0+2+2_2夜

所以sin0—ir[15分

I4M0x3—3

20.（本大题满分15分）

已知等比数列｛叫的公比4>1,且4+%+4=42,%+9是〃1，%的等差中项.数列低｝

2〃

的通项公式勿=I——I，〃£N..

T+T

（1）求数列｛q｝的通项公式；

(2)证明：(+4+•••+〃,<^2'一一1,neN-.

解：（1）由q+9是〃],%的等差中项得4+。5=24+18，2分

所以4+。3+%=3%+18=42,

解得%=8,4分

Q1

由4+%=34,得—+8^2=34,解得/=4或42=—,

q~4

因为q>l，所以q=2.6分

所以，an=T.7分

2"

(2)由(1)可得--------,〃eN*.

，2"-1+丁2'用一1

2"_2"(抄-1-，2--1)

72"-1+J2"T-1(42"-1+72,,+1-1)(72"-1-12"T-1)

2"（亚口,2向1）=2"（后匚1-也用-1）=_TF3I

11分

2"-1-2叫1一一2"一

所以伪+仇+…+2=(j22_]_j2i_l)+“23_]_j22_l)+...+j2"+i_]_j2"_]

=，2'用_1_1<，2'——1.15分

21.（本大题满分15分）

已知抛物线C:d=4y的焦点为尸.过尸的直线I交抛物线C于A5（B位于第一象限）两

点，且满足忸产|=；l|AF卜

(1)若2=4,求直线/的方程；

(2)若线段A8位于直线y=4的下方，过点A,B分别作直线y=4的垂线，垂足分别为

P,Q.求四边形ABQP的面积的最大值.

解：(1)由题意可得，F(O,1),且直线的斜率存在.

设为k,则/:y=Ax+l.设4%,%),8(々,必).

由4,'化简消元可得/一4日一4=0,

[x2=4y,

所以玉+々=4左,为也=T.2分

因为忸耳=4AF|,所以有/'=；[而，叩入=—强，

所以任上支=%+强+2=一丸―工+2=继1=7左2,4分

XjX2x2A-4

1°

所以2+一=必2+2.

1A

993

因为几=4,所以4廿=乙，即公=二.解得女=土士.6分

4164

因为点3位于第一象限，所以女＞0.

所以直线/的方程为3x—4y+4=0.7分

⑵由题可得，P(N，4),Q(X2,4).

因为线段AB位于直线y=4的下方，

所以一三＜%＜二.8分

44

所以|明=4一%,忸@=4一%，

所以忸0=8—y-必=8-4&+吃)—2=6-4比

|?。|=|工1一%21=\I(X[+切2-4%々-，整r+16.10分

所以四边形ABQP的面积为S=g(|AP|+怛Q|)|PQ|=,16/+16(3-2k2)

=442+1)(3一2公)2.11分

.9

令，=左-e[0,—),

16

则y=«+1)(3-2f)2=4p—8产—3f+9,

y=12/一16r—3,

g2g

因为二)，所以对称轴一>二，所以此时y<0.

16316

9

所以y在[0,二)上单调递减.

16

所以当1=0时，y<9,13分

所以5,3=4囱=6,此时々=0.15分

22.(本大题满分15分)

己知函数f(x)=x2-bx+a\nx(a>0,b&R).

(1)设》=a+2,若/(x)存在两个极值点%,工2，且l-v,~x2\>l)求证：

|/a)-/(W)|>3-41n2；

(2)设g(x)=V(x),g(x)在[l,e]上不单调，且2b+144e恒