自动控制原理资料

1请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。请说明自动控制系统的基本组成部分。解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：被控对象：所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；执行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；比较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。请说明自动控制系统的基本性能要求。解：（1）稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定的，与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。（2） 准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。（3） 快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统的动态性能。系统的快速性主要反映系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。3已知二阶系统的单位阶跃响应为h（t）二10-12.5e-i.2tsin（1.61,53.1），试求系统的超调量a%，峰值时0

间t和调节时间t。ps解：h(t)=10-12a52 sin,l.653.1)=10[1—1.25e-1.21sin(1.61+53.1)]o由上式可知，此二阶系统的放大系数是10,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。1 由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为h(t)二1-e-4ntsin(„；1-C21+…)屮乂2 八C„=1.2n所以有 {1/J1-C2二1.25„■■J1-C2=1.6解上述方程组，得器弓26n所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下超调量<%二e-兀C'・1-匚2x100%e-o沁1兀25 10?0% 9.5%峰值时间t二 二u1.96sp„J1-C2 2x0.8n3.5 3.5调节时间t=巳5二-3?=2.92sC„2x0.6n3-4设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=0.44+1，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。s(s+0.6)解题过程：由题意可得系统得闭环传递函数为G(s) _0.4s+1_„2s+a(s)= = =―n--+G(s) s2+s+1as2+2C„s+„2其中TOC\o"1-5"\h\zdn n其中a=2,„=1,C=C+—n=0.5,z=2.5。这是一个比例一微分控制二阶系统。nd2z比例－微分控制二阶系统的单位阶跃响应为h(t)=,re-Cd„nt sionnz2—2C„+„2 2故显然有 r=dn 亠=故显然有 r=zW 爲耳 d

€小-Q2 J1一：2，…一兀+arctan(— 4)+arctan 4…一1.686Z-C€dnP…arctan兰dd此系统得动态性能指标为…3.155超调量e…3.155超调量e-C/pT-C2”…16.2%11调节时间+ln(z2-2C€+€2)-lnz-ln(1一匚、.… 2 2 d…5134调节时间s C€ •dn3-5已知控制系统的单位阶跃响应为h(t)…1+0.2e-601-1.2e-10t，试确定系统的阻尼比C和自然频率€。n解：系统的单位脉冲响应为k(t)…h(t)…-12e-601+12e-101…12(e-101-e-601)系统的闭环传递函数为①(s)…L[k(t)]…12(-^- —)…s+10s+60 s2+10s+600自然频率€……24.5n70阻尼比C… 70 …1.429x、/6003-6已知系统特征方程为3s4+10s3+5s2+s+2…0，试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。解：先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下s43s310s2s24710s1s115347s02显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在s右半平面有两个闭环极点。因此,该系统不稳定。再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则€二aa一aa二10x5一3x1二47„02 12 03a2aa2a—14a3102x21二200„€2显然，此系统不稳定。3-7设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)= ，试应用劳斯稳定判据确定义(s+2)(s+4)(s2+6s+25)为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。解：由题得，特征方程是s4+12s3+69s2+198s+200+K二0列劳斯表TOC\o"1-5"\h\zs4 1 69 200+Ks3 12 198s2 52.5 200+Ks1 7995-12Ks0 200+K由题意，令s1所在行为零得K=666.25由s2行得52.5s2+200+666.25二0解之得s=±4.062所以振荡角频率为 ①=4.0&ads3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(0.5s+1)

s(s+1)(0.5s2+s+1)，试确定系统稳定时的K值范围。解：由题可知系统的特征方程为D(s)=s4+3s3+4s2+(2+K)s+2K=0列劳斯表如下s41 4s33 2+K10-Ks22K3(10-K)(2+K),6Ks1310-K3s02K精彩文档

由劳斯稳定判据可得由劳斯稳定判据可得'10-K3[(10—K)(2„K)/3]—6K

(10—K)/3解上述方程组可得 0<K<1.7059系统结构如图3-1所示，G(s)= ，定义误差e(t)二r(t)—c(t),s(Ts„1)若希望图a中，系统所有的特征根位于s平面上s=-2的左侧，且阻尼比为0.5,求满足条件的K,T的取值范围。求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。图3-1习题3-9示意图解：(1)闭环传递函数为e(解：(1)闭环传递函数为e(s)二Ts2„s„K1Ks2+s+TTK 1即<— ,2匚<—一,€匚—0.5n<n T nT nD(s)二Ts2„s„K,令s'二s„2，代入上式得,D'(s)—T(s'—2)2„s'—2„K—Ts'2—(4T—1)s'„4T„1/T—2—0列出劳斯表，s2 T 4T+1,'T—2s1 1-4Ts0 4T+1T—2T,0,1—4T,0,4T+1/T—2,0n0<T<1/4或T<0,1—4T<0,4T„1/T—2<0n无解

,0<T<1/4,4<K<€⑵ R(t)二t，系统为I型系统・•・e二1/Kss(3)G'(3)G'(s)=(Kos„1)KKs„K0Ts2„s„K,E,E(s)=R(s)-C(s)=R(s)[1-G'(s)]=丄Ts；„(1…{)Ss2Ts2„s„KTs„1-KK0—s(Ts2„s„K)令ess=令ess=limsE(s)=limst0 st0Ts„1-KK0Ts2„s„K二1…KK0二0nK二1/KK0K并没有改变系统的稳定性。03-10已知单位反馈系统的开环传递函数：100(0.1100(0.1s„1)(s„5)50s(0.1s„1)(s„5)试求输入分别为r(t)=2t和r(t)二2„2t„12时，系统的稳态误差。解：1)1001)100(0.1s„1)(s„5)20(0.1s„1)(0.2s„1)由上式可知，该系统是0型系统且K=20。110型系统在1(t),t,t2信号作用下的稳态误差分别为： ，€,€。根据线性叠加原理有该系统在输2 1„K入为r(t)=2t时的稳态误差为e二2•€=€，该系统在输入为r(t)二2„2t„t2时的稳态误差为ss2e二2•—e=20+2 =€e=20+2 =€ss2 K+€ss2 1„K2)502)50s(0.1s+1)(s+5)10s(0.1s+1)(0.2s+1)由上式可知，该系统是I型系统，且K=10。11I型系统在l(t),t,112信号作用下的稳态误差分别为：0,-,€。根据线性叠加原理有该系统在输入为2K1r(t)二2t时的稳态误差为e二2•—二0.2该系统在输入为r(t)=2+2+21时的稳态误差为ss2 K3-11已知闭环传递函数的一般形式为G(s)„⑶1+G(s)H(s)bsm+bsm-1+

—m m-1 sn+a sn-1€..n-1bs+b 1 0as+a10误差定义为e(t)，r(t)-c(t)。试证,1)系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为2)a—0 sn+asn-1++as+an-1 10系统在斜坡信号输入下,稳态误差为零的充分条件为„(s)，as+a—1 0 sn+asn-1+ + as+an-1 1 O推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件3)(4)求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系解：(1) €•„(s)，a 0sn+asn-1+.

n-1€as€a10…E(s)，R(s)-C(s)，R(s)[1-„(s)]…+as 1——+as+a11sn+asn-…+as 1——+as+a1ssn+a sn-1+_n-1,・・・・+a 1—+as+a10sn-,・・・・+a 1—+as+a10 n1 sn+asn-1+ n-1满足终值定理的条件,e(a)，limsE(s)，limsT0sn+a sn-1+ n1 sTOsn+a sn-1+...n-1…+as 1 +as+a10即证(2)€•„(2)€•„(s)， 1 O sn+a sn-1+ + as+an-1 1 O…E(s)，R(s)-C(s)，R(s)[1-„(s)]+as22s2sn+a sn-1+ + as+aTOC\o"1-5"\h\zn-1 1 0sn-1+asn-2+ +a n-1 2 sn+a sn-1+ + as+an-1 1 0满足终值定理的条件,

TOC\o"1-5"\h\zsn+asn„i+ +ase(a)€limsE(s)=lim — 2 =0s…0 s…0sn+asn„i+ +as+an„1 1 0即证对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为as2+as+a 2 1 0 sn+a sn„i+ + as+an„1 1 0同理可证系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次3-12已知单位反馈系统的开环传递函数为：1)G(s)€50(0.1s+1)(2s+1)Ks1)G(s)€50(0.1s+1)(2s+1)Ks(s2+4s+200)3)G(s)€10(2s+1)(4s+1)s2(s2+2s+10)试求位置误差系数K,速度误差系数K,加速度误差系数K。p v a解：此系统是一个0型系统，且K€20。故查表可得K€K€10,K€0,K€0p v a根据误差系数的定义式可得Kp€ItG(s)H(s)€ s(s2+4s+200)“€lims•G(s)H(s)s…0€lims•s…0 s(s2+4s+200)K200Ka€豐s2G(s)H(s)€豐s2s(s2+4s+200)€03)根据误差系数的定义式可得疋i-r(^/()i-10(2s+1)(4s+1)K€limG(s)H(s)€lim =aP s…0 s…0s2(s2+2s+10)v ]• r(Wj()]• 10(2s+1)(4s+1)K€lims•G(s)H(s)=lims• =aV s…0 s…0 s2(s2+2s+10)K€lims2G(s)H(s)€lims210(2s+1)(4s+1)=1a s…0 s…0 s2(s2+2s+10)4-1已知系统开环零极点分布如图4-1所示，试绘制相应的根轨迹图。解：根轨迹的渐近线条数为n-m€3，渐近线的倾斜角为,€60。,,=180。,,=240。1 2 3()根轨迹的渐近线条数为?-m€0()根轨迹的渐近线条数为?-m€0()根轨迹的渐近线条数为n-m€1,渐近线的倾斜角为,€180。2已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为：(1)G(s)€K((1)G(s)€K(s+1)

s2(s+2)(s+4)Ks(s+1)(s+2)(s+5)(3)G(s)€s(s+4)(s2+4s+20)K„0，画出各系统的根轨迹图解：(1)按下列步骤绘制根轨迹：(4)G(s)€K(s+1)

s(s一1)(s2+4s+16)系统开环有限零点为Z€-1；开环有限极点为p€0,p€-2,p€-41 1,2 3 4实轴上的根轨迹区间为一卩-4]I一2,-1]③根轨迹的渐近线条数为1-m€3，渐近线的倾角为,€60。，,€180。，,€-60。1 2 3渐近线与实轴的交点为

2,p€^zii5CT =-i=1 i=1 =——an€m3系统没有开环有限零点；开环有限极点为p系统没有开环有限零点；开环有限极点为p=0,p=—1,p=—2,p=—51 2 3 4实轴上的根轨迹区间为„—5,-2]„—1,0〕③根轨迹的渐近线条数为n—m=4，渐近线的倾角为e二e二45。，e二135。，12e=—135。，e=—45。34渐近线与实轴的交点为Xp—乙ii渐近线与实轴的交点为Xp—乙iiT=4=1 ——=—2an—m④分离点方程为1+++dd+1d+2d+5解得分离点d=—4.06,d=—0.4012闭环系统根轨迹如下图4-2b所示系统没有开环有限零点；开环有限极点为p，0,p，-4,p ，-2€j41 2 3,4实轴上根轨迹区间为L4,0„根轨迹的渐近线条数为n-m，4，…，-2，Q，45。,135。,225。,315。aa90根轨迹的起始角：复数开环有限极点p，-2€j4处，0，-90,0，903,4 p3 p4分离点方程为1111+++dd+4d+2+j4d+2—j4解得分离点d=-2,d=-2+j61 2,3检查d，-2时，K*，641d，-2土j<6时，K*，1002,3d,d,d皆为闭环系统根轨迹的分离点。123⑥确定根轨迹与虚轴的交点：系统闭环特征方程为D(s)，s4+8s3+36s2+80s+K*，0列写劳斯表s4136K*s3880s226K*80x26—8K*s126s00当K*，260时，劳斯表出现全零行，辅助方程为A(s)€26s2+260€0系统开环有限零点为Z€-1；开环有限极点为P€0，p€1，p=—2，j2\[31 1 2 3,4实轴上根轨迹区间为（-©-1],…）」]2根轨迹的渐近线条数为n-m€3,Q€--,©€60。,180。,-60。a3a分离点方程为11111++^+€ dd—1d+2+j23d+2—j23d+1解得分离点d€-2.26,d€0.4512

3给定系统如图4-2所示，K€0，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。解：(1)作系统的根轨迹。开环传递函数为g+2)—£+3R⑨图4-2习题4-3系统零极点分布图G(s)F(s)，K(s+2)(s+3)s(s+1)开环极点为0和-1，开环零点为-2和-3。所以实轴上的根轨迹区间为-3,-2］和［-1,0］。③分离点方程1111+,+dd+1d+2d+3得分离点d=—2.366,d，-0.63412检查d，-2.366时，K*，- 一，0.0718i (s+2)(s+3)■s，-2.366d，-d，-0.634时,2, s(s+1)(s+2)(s+3)，13.93s，-0.634(2)分析增益对阻尼特性的影响。从根轨迹图可以看出，对于任意K„0，闭环系统都是稳定的，但阻尼状况不同增益较小时(0…K…0.0718)系统过阻尼；增益很大时(K„13.93)，系统过阻尼；增益中等时(0.0718…K…13.93)，系统欠阻尼。

4-4给定控制系统如图4-3所示，K€0，试用系统的根轨迹图确定，速度反馈增益K为何值时能使闭环系统极点阻尼比等于0.7。解：(1)求系统的闭环特征方程并划成标准形式。通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数,10/(s+1) 1, 101+10k/(s+1)ss(s+1+10k)因为可变参数K不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程s(s+1+10k)+10，s2+s+10ks+10，0改写为10ks1+，0

s2+s+10即，上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为G(s)G(s)， ，0,K，10ks2+s+10的系统的闭环特征方程。(2)根据G(s)作出根轨迹图。G'(s)有两个极点-0.5„j3.1225，一个零点0，所以负实轴是根轨迹，而且其上有分离点。将闭环特征方程改写为s2+s+10s由dK/ds=0可以求得s，±、：10，其中s，-/10在根轨迹上，对应增益为K=5.3246…0，故s，-,10是实轴上的分离点。根轨迹如图4-4a所示。

(3)求反馈增益k。首先要确定闭环极点。设途中虚线代表€=0.7,则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点，由€=0.7可得，=arccos€=45.57。设Oss=—€®„j® 1—€21 n n=—0.7®„ 0.51®n n列出该点对应的辐角条件argG'(s)=arg「0.51CO-3.1225(S„0.5„j3.1225)(s„0.5「0.51CO-3.1225V051 „3.1225=arctan—arctan n —arctan ——0.7 —0.7®„0.5 —0.7®„0.5nn=—180P(2k„1)经整理得J051®+3.1225 V0.51®—3.1225arctan n +arctan n =+18CF(2k+1)+arctan—0.7®+0.5 —0.7®+0.5 —0.7nn两边同取正切，整理得1.020刼2-10.2020=0n解得，®=3.1623。所以该闭环极点为s=—2.2136„j2.2583。再由n1=3.4272s=-2.2136„j=3.4272s=-2.2136„j2.2583K=— s得速度反馈增益为k=K/10=0.3427。4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)=Ks(s„1)(0.5s„1)。要求系统的闭环极点有一对共轭复数极点，其阻尼比为g=0.5。试确定开环增益K，并近似分析系统的时域性能。解：根据绘制常规根轨迹的基本法则，作系统的概略根轨迹如图4-5a所示。欲确定K，需先确定共轭复极点。设复极点为s€x土jy1,2根据阻尼比的要求，应保证y€xtg(180°-arccos„)=—1.732x在图上作…二0.5的阻尼线，并得到初始试探点的横坐标x€—0.3，由此求得纵坐标y€0.52。在s=_0.3土j0.5处检查相角条件ZG(s)€—173.6。不满足相角条件;修正x€_0.32，则y€(54，点s=，02也54 处的相角为，177.4；再取x=_0.33，则y€0.572，点s二—0.33土j0.572处的相角为，180。因此共轭复极点s=—0.33土j0.572。由模值条件1,2求得€0.513s€—0.33+j0.572运用综合除法求得另一闭环极点为s€-2.34。共轭复极点的实部与实极点的实部之比为0.14，因此可3视共轭复极点为系统的主导极点，系统的闭环传递函数可近似表示为“⑸“⑸€s2+0.665s+0.436并可近似地用典型二阶系统估算系统的时域性能3.5t€ €10.6s3no%€e-吨/1-„2x100%€16.3%4-7已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(S)€s(s+1)(s+2)K的变化范围是0T，，试画出系统的根轨迹图。解：按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为P€0,p€„1,p€„2123实轴上的根轨迹区间为[-，,„2],[„1,o]根轨迹的渐近线条数为n„m€3，渐近线的倾角为0€60。，0€180。，Q€—60。123渐近线与实轴的交点为为渐近线与实轴的交点为为p-瓦ziiC5" €-i=1 €—1an—m④分离点方程为解得分离点④分离点方程为解得分离点d€—0.42闭环系统根轨迹如下图4-7a所示4-8已知反馈控制系统的开环传递函数为：KG(s) — ,H(s)€1,K>0,a>0s(s+a)试画出—和a同时变化的根轨迹簇。解：(1)列写闭环特征方程。闭环特征方程为s2+as+—€0个开环传递(2)画a€0,—从0到+,的根轨迹。a=0时闭环特征方程为s2+—=0。这相当于个开环传递函数为G(s)H(s)€—1 1 s2的系统。它的根轨迹是与虚轴重合的直线。见图4-8a中由圆圈构成的根轨迹。(3)画K为常数，a从0到+^的根轨迹。给定K，则闭环特征方程为as1+，0s2+K它相当于一个开环传递函数为G(s)H(s),_^的系统，该系统的开环极点为土j丞，开环零点为0。2 2 s2+K图4-8a中不带圆圈的根轨迹是K，1,4,9,16时的根轨迹。1(s+a)4-9已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)，s2(s+1)a的变化范围是［0,+刈，试画出系统的闭环根轨迹。解：系统闭环特征方程为11D(s)，s3+s2+s+a，041a即有1+―4——，0s3+s2+s4K*等效开环传递函数为G(s)， K.1 s(s+)22K*,4a，变化范围为„。,⑴按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数等效系统无开环有限零点；开环有限极点为： p，0,p，p12

实轴上的根轨迹区间为(7,0〕根轨迹有3条渐近线，且„=—…=60,180,300a 3a ° ° 14)根轨迹的分离点：由分离点方程4)根轨迹的分离点：由分离点方程轨⑶=—K*(3s2+2s+1)——=0s2(s+2)4解得d=-2,d2解得d=-2,d2=-65)根轨迹与虚轴的交点：根据闭环特征方程列写劳斯表如下s3s2s11a44当a=1时，劳斯表的si行元素全为零，辅助方程为A(s)=s2+-=04解得s=±j—1,22绘制系统参数根轨迹如图4-9a所示4-10已知反馈控制系统中，其开环传递函数为G(s)= K($ 绘制H(s)=s+1.05 绘制H(s)=s+1.05时的闭环根轨迹概略图；s 比较开环零点变化对根轨迹形状的影响。解：(1)开环传递函数s(s+4)(s+6)(s2+1.4s+1)⑴绘制H(s)=土时的闭环根轨迹概略图；sK(s2€2s€4)

s2(s€6)(s2€1.4s€1)按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为z=，1土jl.732；开环有限极点为p=0,p=—6,p=—0.7土j0.7141,2 1,2 3 4,5实轴上的根轨迹区间为（-©-6]根轨迹的渐近线条数为n-m=3，渐近线的倾角为e=60€，e=180。，©=—60。1 2 3渐近线与实轴的交点为》p—乞ziiC=I i=1—=_1.8an—mr()tt() K(s€1.05)(s2€2s€4)G(s)H(s)=一s2(s€4)(s€6)(s2€1.4s€1)按下列步骤绘制根轨迹：①系统开环有限零点为z=—1.05，z=，1土j1.732；开环有限极点为p=0，p=-4，p=—6,1 2,3 1,2 3 4p=，0.7土j0.7145,6实轴上的根轨迹区间为（-8,—6…和[—4,—1.05…根轨迹的渐近线条数为n-m=3，渐近线的倾角为e=60€，e=180€，e=—60。1 2 3

渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交点为工P-区zii€=-i=1 i=1 =—2.78an一mG(s)=S…",a„0s(2s-a)试作出以a为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分a取何值时闭环系统稳定。解：(1)求系统的闭环特征方程并化成标准的形式。因为可变参数a不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程2s2一as+s+a=0可改写为则开环传递函数为G'(s)G'(s)=—a(s—1)

s(2s+1)K(s-1)

s(2s+1)K=-a<0(2)根据G'(s)作系统的根轨迹oG'(s)中的增益为负值，所以要作系统的补根轨迹开环极点为-0.5和0，开环零点为1。按照补根轨迹的作图规则，实轴上的根轨迹区间为［-0.5,0］和11,…打。在［-0)］区间有会合点，在11,…w］有分离点。为求分离、会合点，将闭环特征方程改写为s(2s+1)(s-1)

由dK/ds€0,得S2-4s-1€0,解得s€2.2247,s=-0.2247,分别对应的增益为K=—9.8990和12K€-0.1010,所以是分离、会合点。可以证明，不在实轴上的根轨迹是一个圆，圆心在(1,0),半径为1.2227。以K€-a为参变量的根轨迹如图4-11a所示，图中箭头表示a从0到他的方向，也即K从0到-…的方向°()求a使闭环系统稳定的取值范围。首先求根轨迹与虚轴的交点。由闭环特征方程2s2+(1„K)s-K€0可知，K€-1时系统处于临界稳定状态，这相当于a€1，所以使闭环系统稳定的范围为0<a<1°4-12实系参数多项式函数为：A(s)€s3+5s2+(6+a)s+a欲使A(s)€0的根均为实数，试确定参数a的范围。解：对A(s)€0作等效变换得a(s+1)s3+5s2+6s等效开环函数为G1G1(s)H1(s)€a(s+1)

s(s+2)(s+3)当a>0时，需绘制常规根轨迹：系统开环有限零点为Z€-1；开环有限极点为p€0，p€-2，p€-31 1 2 3实轴上的根轨迹区间为［-3,-2］和［-1,0］根轨迹有2条渐近线，且g€-2；<€90°,-90°aa

由分离点方程在实轴区间,„3,„2］内用试探法求得d€-2.47。绘制根轨迹图，如图4-12a所示。由分离点方程在实轴区间,„3,„2］内用试探法求得d€-2.47。绘制根轨迹图，如图4-12a所示。当a…0时，需绘制零度根轨迹。实轴上，零度根轨迹区间为(4,-3］,［-2,-1］和［0,+^］。作零度根轨迹图，如图4-12b所示。当多项式有根„2.47时,根据模值条件得d+2d+3€0.419d+1］根据常规根轨迹图，知当0<a<0.419时，多项式的根皆为实数；根据零度根轨迹图，知当a…0时,多项式的根亦全为实数。因此所求参数a的范围为a<0.419。a€■K >D -3 -2 -1-1-2图4-12b零度根轨迹4-13设系统开环传递函数为：G(S)—s(s+1)(s+10)大致画出系统的根轨迹图；用文字说明当K…0时，如何求系统单位阶跃响应的超调量%，峰值时间t及调节时间t。ps解：(1)渐近线：分离点：绘根轨迹图-1-10Q€——€-3.67;申=±60,180a 3 a由丄+-^+ - €0，得d€-0.487dd+1d+10相应的根轨迹增益K€2.377d根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程s3+11s2+10s+K€0列劳斯表s310s2s1s011110-K10K当K€110时，劳斯表出现全零行，由辅助方程11S2+110€0得根轨迹与虚轴交点处为K€110,,€±3.16€0，闭环有两个实主导极点…和…，且…1211<…，因此求得调节时2间如下：4.75€123-ln(1-t€_S ……H…121当2.377„K„100时，闭环系统有一对共轭复极点，则(a<

<D丿3+In兀t€ ，…%€100e-…厶％,t€—pD s…1由于D二,€,J1一匚2,A€,,…€匚,,ln(一)€ln(. )d n n1 n因此…e%l'1100€t…一P①J—C2n%0.84-14设单位负反馈系统的开环传递函数为：K(s+4)

s(s+2)试画出系统根轨迹图，并求出系统具有最小阻尼比时的闭环极点和对应的增益K。解：系统在实轴上的根轨迹区域为［0,„2］和［„4,„<)在这两段区域内，均存在分离点。为了求出分离点，令111+…dd+2d+4d…—4+2迈…—1.172求出1 一d…—4—2迈=—6.8282由根轨迹图知，对于等腰直角三角形，必有由根轨迹图知，对于等腰直角三角形，必有B…45，故最小阻尼比匚…cos卩…0.7070响应的闭环极点s…-2土j21,2由根轨迹模值条件，可求出相应的增益为K…1-2+j2|・|-2+j2+2|…2|—2+j2+4—7绘制下列传递函数的对数幅频渐进特性曲线a.G(s)=(1€0.5s)(1€2s)b.G(s)二(1€°.5s)s2c.s—10s2€6s€10oo-I-oosososo_bo1-24-627221S1394-4-9ms-15z&直留€d．d．G(s)=30(s€8)

s(s€2)(s€4)5-8已知系统开环传递函数Ks(s5+l)(s200+1)试绘制K=10的对数频率特性曲线，并算出截止频率，。c解：由题可得G解：由题可得G(j,)=j,(j,5+1)(j,200+1)

TOC\o"1-5"\h\z. €21G(j€)„10€-1(1+^5)-2(1+€21200?)2€21200?)2„-一arctan一arctan—因此20ln|G(j€因此20ln|G(j€)„20―20ln€―10ln(1+€2詩-10ln(1…€2200?)计算可得€„J50rad/sc9已知系统开环传递函数为：G(G(s)H(s)„50(s—2)s2+11s+10计算截止频率€。c确定对数幅频渐进特性曲线的低频渐进线的斜率。绘制对数幅频特性曲线。解：G(s)H(s)„50(s—2)s2+11s+1050(s—2)(s+1)(s+10)G(j€)H(j€)„50(j€—2)(7€+1)(7€+10),111G(€)H€j，) 50€4+)2(1 +)(€1200丄 _1 -1))201|nGXj)(H,j)20卫唤5054(0-2)(5©)(100))，20ln55)10150(4-)104)10ln,100 )0计算可得€二49rad/sc当€„1时，斜率为0；当1„€„2时，斜率为-20dB/d€；当2„€„10时，斜率为0；当0>10时，斜率为-20dB/d0；绘制对数幅频特性曲线，如图5-9a所示。5-10利用奈氏判据分别判断题5-4，5-5系统的闭环稳定性。解：⑴ 对于题5-4的系统，分t>T和T>1的两种情况来讨论系统的闭环稳定性。当t>T时，系统的开环幅相曲线如图5-4a所示，由图可知，系统的开环幅相曲线不包围(-1,j0)，根据奈奎斯特判据可得N,0又由系统得开环传递函数可知P,0即Z，P-2N，0，闭环系统在s右半平面无极点，t>T时闭环系统稳定。当T>t时，系统的开环幅相曲线如图5-4b所示，由图可知，N，-1又由系统得开环传递函数可知P,0即Z，P-2N，2，闭环系统在s右半平面有2个极点，T>t时闭环系统不稳定。(2)对于题5-5的系统，其开环幅相曲线如图所示，由图5-5a可知当V，1时，N，0，又由系统得开环传递函数可知P，0即Z，P-2N，0，闭环系统在s右半平面无极点，V，1时闭环系统稳定。当V，2,3,4时，N，-1，又由系统得开环传递函数可知P，0即Z，P-2N，2，闭环系统在s右半平面有2个极点，V，2,3,4时闭环系统不稳定。5-11用劳斯判断据验证题5-10的结果。解：(1)对于题5-4的系统，由题得闭环系统特征方程为

Ts3+s2+K€s+K，0列劳斯表s3 TK€s2 1Ks1 T€-KTs0 K则当€>T时，K€„KT>0,即第一列各值为正，即闭环系统稳定；当€<T时，K€„KT…0，即第一列各值不全为正，即闭环系统不稳定。(2)对于题5-5的系统，由题得闭环系统特征方程为sr(s+1)(s+2)+1，0，即Sr+2+3sr+1+2sr+1，0当丫,1时，列劳斯表TOC\o"1-5"\h\zs3 1 2s2 3 1s1 4 0s0 1第一列各值为正，即闭环系统稳定；当r，2时，列劳斯表s4 1 2 1s3 3 0s2 2si -2s0 0第一列各值不全为正，即闭环系统不稳定；当r，3,4时，情况与r，2相同，即闭环系统不稳定。5-12已知三个系统的开环传递函数为K(Ts+1)2 s2(Ts+1)1K(Ts+1)2s2(Ts+1)1K(K(Ts+1)(Ts+1)G(s)， 2 4s3(Ts+1)(Ts+1)13(T>0,T>0,T>0,T>0)1234又知它们的奈奎斯特曲线如图5-2(a)(b)(c)所示。找出各个传递函数分别对应的奈奎斯特曲线，并判断单位反馈下闭环系统的稳定性i1LIlL1iImGTO4/,L-1於T+CQ-4-KWa0 RpOf0He(a)(b)(c)图5-2习题5-12控制系统乃奎斯特曲线图解：三个传递函数对应的奈奎斯特曲线分别为b,c,a对G(s)=K(T2s€D式，P二0，N二0s2(Ts€1)1则Z=P-2N=0，故系统稳定；对G(s)=K(T2s€1)式,P二0，N二0s2(Ts€1)1则Z=P-2N=0，故系统稳定；对G(s)=式，K(Ts对G(s)=式，2 4—s3(Ts€1)(Ts€1)13则Z=P-2N=0，故系统稳定;5-13已知系统开环传递函数KG(s)= — ； K,T>0s(Ts€1)(s€1)试根据奈氏判据，确定其闭环稳定条件：T=2时，K值的范围；—=10时，T值的范围；—，T值的范围。解：由系统的开环传递函数可知，系统的开环曲线图如图5-13a所示由于P€0，故想要闭环系统稳定，必有N€0，即幅相曲线不包围点(-1,j0)。系统的频率特性表达式如下亠.、 K -K,2(T+1)+jK,(T,2-1)G(/，)€ €—j，(Tj，+1)(j，+1) (T+1)2,4+,2(T，2—1)2a、T€2时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有K,(T,2一1) K,(2,2一1) I0(T+1)2,4+,2(T，2一1)2 9,4+,2(2,2一1)2由上式可得，€耳，贝咬点的实轴坐标为一K,2(T+1) 一3K,2 4=„—1(T+1)2,4+,2(T，2—1)2 9，4+,2(2,2—1)23由上式可得 0…K…-2b、K€10时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有K,(T,2—1) _ 10,(T,2—1)(T+1)2,4+,2(T,2—1)2 (T+1)2,4+,2(T,2—1)2由上式可得,由上式可得,€，贝交点的实轴坐标为—K—K,2(T+1)(T+1)2,4+,2(T,2—1)2-10T(T+D(T+1)2 +1(畤-1)21由上式可得0…T…19c、对于开环幅相曲线与实轴的交点有K,(T,2—1)(T+1)2,4+,2(T,2—1)2K,(T,2—1)€0(T+1)2,4+,2(T,2—1)2由上式可得,€，贝交点的实轴坐标为—K,2(T+1)(T+1)2,4+,2(T,2—1)2-K1(T+1)(T+1)2Tr+1(弓-1)2由上式可得0…K…T+1,0…T…1T K—15-14某系统的开环传递函数为

K(Ts€1)2 s2(Ts€1)1要求画出以下4种情况下的奈奎斯特曲线，并判断闭环系统的稳定性：a．0,T,T；210,T=T；210,T,T。12解：a.当Ta.当T=0时,2Q(s)=Ks2(Ts€1)1其开环幅相曲线如图5-14a所示，P=0,N=-1则Z=P-2N=2，故在s平面右半平面有2个闭环极点，闭环系统不稳定;b.当0b.当0,T,T时,21Q(j„)=K(j72„+1)

-„2(1+jT„)K(1€TT„2)€K„(T-T)^-2 2 1—-„2(1€T2„2)1若„=0，则IQ(j0)i,…(0)=-180+++若„=炖，则|Q(j0)|=0,…(0)=-180TOC\o"1-5"\h\z+ + O其开环幅相曲线如图5-14b所示，P=0，N=-1则Z=P-2N=2，故系统不稳定；c.当0,T=T时，Q(s)=—21 s2若„=0，则IQ(j0)i,…(0)=-180+ + + O若„=炖，则|Q(j0)|=0,…(0)=-180++01其开环幅相曲线如图5-14c所示，P=0，N=--2则Z=P-2N=1，故系统不稳定；d.当0d.当0<T,T时,12Q(j„)=K(jT2„+1)

-„2(1+jT„)K(1+TT„2)+K„(T-T)^-2 2 1—-„2(1+T2„2)1由0<T,T可得Re[Q(j„)],0,Im[Q(j„)],012故可得其开环幅相曲线如图5-14d所示，P=0，N=