2022-2023学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省茂名市高二(2022-2023学年广东省茂名市高二(下)期末数学试卷一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1,己知集合A=(xeN\-l<x<4},B=(xeR\x>3),则图中阴影部分表示的集合为()AxxB.(x|-1<%<3)C.{0,1,2}D.{0,123}2.己知复数z=击，则|z-i|=()A./~5B.2C.y[~2D.53.己知时是△ABC的中线，AB=a,AD=b>则京=()A.j(b+a)B.2b+aC.(fc—a)D.2b-a4.现有上底面半径为2,下底面半径为4,母线长为2广仍的圆台，则其体积为()A.40ttB.567rC.竺座D,竺霁335.甲、乙、丙、丁4名志愿者参加创文巩卫志愿者活动，现有A、B、C三个社区可供选择,每名志愿者只能选择其中一个社区，每个社区至少一名志愿者，则甲不在A社区的概率为()A.|B.|C.\D.\3234nA.；B.四C.+四D.816-1687,己知a=log34,b=log49,c=|,则()A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c8,己知椭圆g+车=l(Q>b>0)的离心率为胃£下顶点为B，点河为C上的任意一点,则|MB|的最大值是()A.峪bB.CbC.y/~3bD.2b二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9.某地区国庆七天每天的最高气温分别是22,21,20,20,22,23,24(单位。C),则()四、解答题(本大题共6四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)则下列各选项正确的是()A.当xG[-2,0)时，/(X)=x2+lB.y=/'(x)的周期为4C./'(2023)=3D.y=/'(x)的图象关于(2,0)对称11.己知抛物线C：y2=4x的焦点为F,准线为I,4为抛物线上任意一点，点P为4在[上的射影，线段PF交y轴于点E,Q为线段AF的中点，贝收)A.AE1PFB.直线AE与抛物线C相切C.点Q的轨迹方程为y2=2x-lD./-QEF可以是直角12.己知={(%＞0，则()A./(x)的极小值为一§B.存在实数q,使[/(x)]2+a/(x)-1=。有4个不相等的实根C.若/'Or)-ax＞。在(0,+8)上恰有2个整数解，则号＜a＜^x三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.己知数列{a“}的前71项和为S”，且Sn=2an-4,则％=.14.圆心在直线y=x+3上，且过点A(2,4),B(l,-3)的圆的标准方程为.15.(2+ax)(l一x)6的展开式中含F的项的系数为150,贝此=.16.如图，在三棱锥V-旭。中，△"8和八ABC都是边长为2的正三角形，二面角/-AB-C为。，当60。＜0＜120。时，三棱锥V-ABC的外接球表面积S的范围为.A.该组数据的极差为4BA.该组数据的极差为4B.该组数据的众数为20C.该组数据的中位数为20D.该组数据的第80百分位数为23(1)(1)证明：BD1PC；(2)点E为线段PC上的动点(不含端点)，当平面POD与平面EBD的夹角为30。时，求俸的值.17.(本小题10.0分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,其面积为S,AD为边BC上的中线.(2)当S=2C，B时，求AD的最小值.已知等差数列{缶J的公差不为0,其前n项和为S“，S$=25,且角，。2,％成等比数列.⑴求{如}的通项公式；(2)设&=就二，记数列{如}的前九项和为若7；＜m+|m对任意nG/V*®成立，求m的取值范围.2023年6月6日是第28个全国“爱眼日”，某市为了了解该市高二同学们的视力情视力情况进行了调查，从中随机抽取了200名学生的体检表，得到如表所示的统计数据.学生人数203070353015(1)估计全市高二学生视力的平均数和中位数(每组数据以区间的中点值为代表，结果精确到(2)视频率为概率，从全市视力不低于4.8的学生中随机抽取3名学生，设这3名学生的视力不低于5.0的人数为X,求X的分布列和数学期望.20.(本小题12.0分)如图，在平面四边形ABCD中，AB//DC,4ABD为边长为2的正三角形，DC=3,点0为AB的21.21.(本小题12.0分)己知双曲线10>0，人>0)的离心率为*,C的右焦点F到其渐近线的距离为1.(1)求该双曲线。的方程；(2)过点S(4,0)的动直线1(存在斜率)与双曲线C的右支交于4、B两点、,x轴上是否存在一个异于点S的定点T,使得\SA\-\TB\=\SB\-\TA\成立.若存在，请写出点T的坐标，若不存在请说22.(本小题12.0分)已知函数/'(x)=aex—ln(x4-2)+Ina—2.(1)当q=1时，求/'(X)在点(0J(0))处的切线方程；(2)若/'(x)有两个零点工1，工2，求实数Q的取值范围，并证明：x1+x2+2>0.4.【答案】B【4.【答案】B【解析】解：由R=4,r=2J=2CU，则圆台的高九=J"一(R_,)2=6,根据圆台体积公式得V=?(R2+户+孙=x(42+22+4X2)X6=56兀.故选：B.2.【答案】A【解析】解：由题意知，z=£；=石尚%=竺华为=1一，答案和解析【解析】解：由集合A=(x6N|-1<x<4}={0,1,2,3},B=(xER\x>3},又由阴影部分表示的集合为ACRCrB)={0,1,2}.故选：C.根据题意求得结合A={0,1,2,3},结合阴影部分表示的集合为ACKCrB),即可求解.本题主要考查了利用，enn图表达集合的关系和运算，属于基础题.所以|z-i|=|1-2i\=J12+(—2)2=y/~5.故选：A.利用复数的除法法则和复数的减法法则，结合复数的模公式即可求解.本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.3.【答案】D【解析】解：因为AD是△ABC的中线，=a^AD=则AC=AB+^C=AB+2^D=AB-^-2(AD-AB)=2AD-AB=2b-a-故选：D.利用向量的线性运算求解.本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.【解析【解析】解：4名志愿者分配到3个社区的方法共有C^Al=36种，其中甲在A社区的方法有两种情况，若A社区分配2名志愿者，则从乙丙丁三人中选择1人连同甲一起去A社区，则有Al=6种情况,若A社区只有甲这1名志愿者，则从乙丙丁中选择2人去BC两个社区其中之一，则共有C拟=6种情况，故甲不在4社区一共有36-6-6=24种，故甲不在4社区的概率为#=岑故选：C.根据分配分组问题，结合排列组合以及分步分类即可求解个数.本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.由R=4fr=2,l=2/旬求得圆台的高九=J"一(R一可=6,再根据圆台体积公式即可求解.本题考查圆台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.【解析】解：因为sin(o-0)cosa—cos(a-p)sina=孑，所以sin[(a—p)-a]=sin(—幻=所以sin。=—孑，所以sin(件+2幻=—cos2B=—(1—2sin2/?)=一：.O故选：D.利用两角差的正弦公式及诱导公式求出sin们再由诱导公式及二倍角公式计算可得.本题主要考查了和差角公式及诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题.7qVc,b=logb=log49>log48=••a<c<b.故选：A.将j分别变形为以3为底的对数及以4为底的对数，利用对数函数的单调性求解.本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题.【解析】解：由椭圆。的离心率e=穿，可得Q=Cb，所以椭圆的方程为马+*=1,33bb设M(x0,y0),则弟+尊=1,可得好=3力2一3诧,可得|MB|2=赠+(%+幻2=3b2-3y§+(y0+b)2=-2(y()+岑,因为一式b,所以|MF|A2,所以|河田皿北=兰必.故选：A.设岷知心)，得到与+耳=1，求得|MF|2=-2(y0--)2+—，结合二次函数的性质，即可求【答案】AD【解析】解：该组数据的极差为：24-20=4,故A正确；将该组数据从小到大的排列为：20,20,21,22,22,23,24,所以该组数据的众数为20,22,故8错误；该组数据的中位数为22,故C错误；由7x80%=5.6,所以该组数据的第80百分位数为从小到大的排列的第6个数据为23,故。正确.故选：AD.利用极差、众数、中位数和第p百分位数的定义即可求解..本题主要考查椭圆的性质，属于中档题.9本题主要考查了极差、本题主要考查了极差、众数、中位数和第P百分位数的定义，属于基础题.11.【答案】ABC【解析】解：设准线与x轴交于点M,由抛物线知原点0为尸河的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知\AP\=\AF\,所以AE1PF,故A正确；由题意知，E为线段PF的中点，从而设人(工,1),工1。0,贝i]f(0，m)，直线AE的方程：y=£"(x+xi),与抛物线方程y2=4x联立可得：尸=法(*+工1)，由倨=4乂1代入左式整理得：y2-2yty4-yf=0,所以4=4yf一4yf=0,所以直线AE与抛物线相切，故8正确；设点Q(Xy)，则点A(2x-l,2y),而A是抛物线C上任意一点，于是得(2y)2=4(2x-l),即y2=2%-1,所以点Q的轨迹方程为/=2x-l,故C正确；【解析】解：F3)是定义在R上的偶函数，设XG[-2,0),则-xe(0,2],/(x)=/(-x)=x2+1,故A正确；由-3)=f(x+1)得，(x+4)=f(x),f(x)的周期为4,故B正确；/(2023)=/(3)=/(-I)=/(I)=2,故C错误；故选：AB.利用/'(幻是定义在R上的偶函数可判断4；利用-3)=f(x+1)得/'(x)的周期可判断BC；利用特殊值可判断D.本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题.由图可知A正确;因点Q的轨迹方程为y2=2x-l,则设Q(乌1,)令E(O,m),有页=(i,-m),页=(号,t-m)，EF•FQ=m2-tm4-=(m-|t)2+^t2+|>0，于是得匕QEF为锐角，故。错误.故选：ABC.分别应用抛物线定义，直线与抛物线位置关系的判定，求轨迹方程的方法，向量法判断垂直进行本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题.12.【答案】ACD【解析】解：当x<0时，f'(x)=xex+ex=ex(x4-1),当xV一1时,f'(x)V0,•••f(x)在(一8,-1)上单调递减；当一lvxv0时，f(x)>0,a/(x)在(一1,0)上单调递增，/'(>)的极小值为/(-I)=同理可得，当x>0时，/'(X)在(0,1)上单调递增；f(x)在(l,+oo)上单调递减,•••的极大值为『⑴=y=/'(x)的图像大致如图所示：设t设t(x)=K—贝肚(x)在(0,+8)上单调递增，又t(|)=y/~e—2<0,t(l)=e—1>0,所以存在xoe(|,l)，使得九'3。)=0,即〃°=土，当x€(Xo，+8)日寸，/i'(x)>0,Zi(x)单调递增，所以此扁=g=Wff=X。•土-X。+X。=1，故。正确.故选：ACD.根据题意，利用导数研究函数/'(x)的性质，即可画出其函数图像，即可判断4换元令t=/(x),由二次函数根的分布列出不等式，即可判断B,列出不等式求解，即可判断C,求导得到函数九。)的极值，即可判断D.本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，数形结合思想，13.【答案12n+1【解析】解：因为Sn=2an-4,所以当n>2时，Sn_!=2an_i-4,两式相减得Sn-=2an-4-(2an_i-4),整理得=即n>2时，an=2an_i，又当n=1时，Si=a】=2代一4,解得a】=4,所以数列0“}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an=4x2n-1=2n+1.ia<--eei，所以无解，故B错误;a>e--由化槌得聂V，故C正确;g(T>0关)>0由x>0,知x+l>0,故答案为：2"故答案为：2"】.根据S“，Q”的关系即可得数列{如}是以4为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项即可求.本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题.14.【答案】("2)2+0-1)2=25【解析】解：直线的斜率为吉:=7,线段的中点为(39，线段的垂直平分线的方程为：y-|=-即y=-；x+；,联立*=一；》+芸解得二之，即圆心坐标为(_乙1),ly=x+3$-1半径r=J(一2-2尸+(1-4)2=5，所以所求圆的标准方程为：(x+2)2+(y-1)2=25.故答案为：(x+2)2+(y-l)2=25.通过求圆心和半径来求得圆的标准方程.本题主要考查了圆的性质及定义在圆的方程求解中的应用，属于基础题.16.【答案】[手，号]【解析】解：根据题意，取AB的中点。，连接，0,C0,因为△和△ABC都是边长为2的正三角形，所以V。LAB,COLAB,所以W0C为二面角V-AB-C的平面角，所以0=Z.VOC,【解析】解：(1一x)6展开式的通项为：Tr+1=Cg(-X)r=(-l)rCgXr,&•.(2+0X)(1一*)6展开式中*4的系数为2(-l)4C*+a(-l)3C|=30-20a=150,a=-6.故答案为：—6.求出(1-x)6的展开式通项，然后利用含『项的系数为150列方程求解.本题考查二项式定理，属于基础题.设△IM设△IM8,LABC的外心分别为F,E,在平面HOC内过点F作V。的垂线，过点E作0C的垂线，交于点G,则G为V-ABC外接球的球心，因为△ABC是边长为2的正三角形，E为△ABC的外心，所以CE=^==,0E=^=,又由GE=OEtanL则砂=CE2+GE2=+||tan2|(30°<f<60。)"故球的表面积S=4nR2E[譬,亨].故答案为：[譬,半].根据题意，取的中点0,连接VO,CO,则匕VOC为二面角V-AB-C的平面角，设△"B,ZkABC的外心分别为F,E,在平面V。。内过点F作，0的垂线，过点E作0C的垂线，交于点G,贝ijG为V-ABC外接球的球心，从而表示出外接球半径，进而可求出球的表面积的范围.本题考查球的表面积计算，注意球与三棱锥的位置关系，属于中档题.17.【答案】解：(1)证明：因为4D为边8C上的中线,所以在△ABC中，Z.ADB+^.ADC=n,所以COSZ.ADB+cosZ-ADC=0,在△以和△旭C中，由余弦定理可得哈料+ad2+cd2-ac2a2AD-CD二0‘又因为BD=CD,所以旭2=|(b24-c2-|a2),所以AD=2(b2+c2)-a2,得证;(2)因为S=Sa\"3，B=：，所以S=；acs"=¥w=2”，所以ac=8,在△ABC中，由余弦定理b2=a24-c2—2accosB,可得b2=a2+cac,又由(1)可得4D=172(b2+c2)—a2=V|a2+4c2—2ac»所以时=所以时=|Va2+4c2-2ac>4ac—2ac=2ac=2,当且仅当q=2c时等号成立，所以4D的最小值为2.【解析】(1)由题意可得^ADB+/.ADC=71,在AADB和中，由余弦定理可得竺甥奈竺！+AD2+CD2-AC2=结合BD=CDt即可证明；2ADCD(2)利用三角形的面积公式可求qc=8,在4ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2-ac,由(1)结论利用基本不等式即可求解AD的最小值.本题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.18.【答案】解：(1)设等差数列{。启的公差为d,且d*0,解得睥m_4n_4n_1r11所以％=b]+奶+力3+…+如_1ri1n-万(2n+l)2*所以Tn<j,因为％<m2+对任意n6N*恒成立，所以m2+|m>p解得m<-1或m2§，所以m的取值范围为(-oo,-l]ug,+8).【解析】(1)设数列{Q“}的公差为d,且d^O,然后由题意列方程组，求出角，d,从而可求出通项公式；(2)由(1)得如=(2咛1)必2"1户然后利用裂项相消法可求出％=f[l一湍乎]，则所以所以中位数在4.4至4.6之间所以中位数在4.4至4.6之间，设中位数为工，则柔=0.5-0.25,解得x〈4.5：(2)由题意，全市视力不低于4.8的学生共有45人，从这些学生中随机抽取1名学生，这名学生取自区间[4.8,5.0)的概率为翌=§,取自区间[5.0,5.2)的概率为圣蓦，则从全市视力不低于4.8的学生中随机抽取3名学生，这3名学生的视力不低于5.0的人数X服从二项故P0=O)=(1_§)3=爵,P(j=l)=clx|x(l-l)2=l|=i,P(X=2)=质x(|)2x(1Y)=亲=§P(x=3)=(§3=寿，故X的分布列为：m2+|m>p从而可求出m的取值范围.本题考查等差数列基本量的运算和裂项相消法求数列的前项和，属于中档题.19.【答案】解：(1)由表中数据，估计全市高二学生视力的平均数为：由表中数据，视力小于4.4的频率为暮=0.25,视力小于4.6的频率为黑=0.6,CUU£UU20.【答案】解：(1)因为为边长为2的正三角形，点。为中点,连接OC交8D于点G,F(X)=3x|=l.【解析】(1)由平均数，中位数的定义，取每组数据的中间值作代表直接计算即可； (2)根据表中数据，在视力不低于4.8的范围内任取一名学生，这么学生来自于区间[4.8,5.0)和区间 [5.0,5.2)的概率，再根据二项分布求出X=S,1,2,3时的概率即得分布列和数学期望.本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题.XP0旦XP0旦4922931因为8Du平面OBCD,所以P。LBD,在底面OBCD中，ADGC〜ABGO,所以器=岩=果，进而BG=*OG所以BDIOC,因为P。，OCc^®POC,P090C=0,所以8D1平面POC,因为PCu平面POC,所以BD1PC.(2)由(1)可知，OB、OD、OP两两垂直，因为AB//DC,DC=3,所以0C=V0D2+DC2=2C，因为PC=C5，所以PC2=PO2+0C2,所以POIOC,又因为P010D,OD,OCu平面OBCD,ODTOC=0,所以以。为原点、，OB,OD,OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,所以P(0,0,l),B(l,0,0),C(3,g0),D(0,C,0)，根据题意可得勿=(1,0,0)为平面POD的一个法向量,设序=APCf所以F(3A所以F(3A,日入,1-A)(0V/IV1),所以肮=(3A一1,/3/t,1一A),DF=(3/1,C/l—/~3,1-A)，设平面的一个法向量为元=(x,y,z),则(订•RE=(3A-l)x++(1-A)z=0'[n~DE=3Ax+(C/l一4-(1-A)z=0’取X=3,则y=z=3；：了，所以元=(3,厂,与孚)，因为平面POD与平面EBD的夹角为30。，所以cos30°=|cos〈海弟＞|=1湍舄I，所以I12|3(3^)2=解得：九=1强(。，1)，所以当平面POD与平面EBD的夹角为30。时，哮=人=£【解析】(1)根据三角形的边角关系可得线线垂直，进而根据线线垂直即可得线面垂直，即可求证.(2)建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角，即可求解.本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题.4/(2)假设存在定点T满足已知条件，故设T(m,0),•.•|SA||TB|=|SB|.|"|,.•制=黑，在&ATS和ABTS中，由正弦定理得：sin3TS—sin乙4S71'sin^BTS—sineBST’.\SA[_sin£g|Sg|_sin匕时S”]TA\一si心ST']TB\—sinzRST*乙AST=n—eBST，:.sinz.AST=sineBST,又.•.期=熠，sin匕刀TS=sin匕8TS，可得匕ATS=:8TS,直线AT与直线B7的倾斜角互补，得岫+kBT=0,221.【21.【答案】解：(1)由己知可得e=a=~解得q=2,b=1,kAT+kBT=kAT+kBT=0,"+~~~=0,2n,+(4-m)(-=0,即8n(m—1)=0,解得m=1,••・存在定点7(1,0),使得|S4|•\TB\=\SB\•\TA\J&立.【解析】(1)根据条件列出关于Q,b,c的方程组，求出。与b的值，则双曲线方程可求；(2)假设存在定点T满足已知条件，故设T(m,0),结合正弦定理得匕MS=匕BTS,则如丁+如丁=0,当直线的斜率为0时，显然不符合题意；当直线[的斜率不为0时,设直线[的方程为x=ny+4,n尹0,与双曲线联立，由直线Z与双曲线C的右支交于A,B两点，求得疽范围，然后结合韦达定理及如丁+kBT=0求解即可.yi+刈=一E’y】％=汪彳又•.•直线[与双曲线。的右支交于4,B两点,当直线/的斜率不为0时，设直线I的方程为x=ny+4,nA0,A(xlty^),5(x2,y2)»x=ny+4联立，