福建省三明市高砂职业中学高三数学理月考试题含解析

福建省三明市高砂职业中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：一元二次不等式的解法．分析：已知分段函数f（x）求不等式f（x）≥x2的解集，要分类讨论：①当x≤0时；②当x＞0时，分别代入不等式f（x）≥x2，从而求出其解集．解答： 解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；

②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选A．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，在解答的过程中运用的分类讨论的思想，是一道比较基础的题目．2.已知直线与函数的图象恰有三个公共点，其中，则有

(

）A．

B．

C．D．参考答案：B3.如果复数(其中)的实部与虚部互为相反数，则＝（

）A．2 B． C． D．1参考答案：B4.若等式对于一切实数都成立，则(

)A．

B．

C．

D．0

参考答案：B解法一：∵，∴（C为常数），取得，再取得，即得，∴，故选B．解法二：∵，∴∴，故选B．5.（5分）（2015?万州区模拟）已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若=x+y，且2x+10y=5，则△ABC的面积为（）A．24B．C．18或D．24或20参考答案：【考点】：向量在几何中的应用．【专题】：平面向量及应用．【分析】：取AC中点为D，则OD⊥AC，把写为=+，然后用两种方法写出，由数量积相等结合2x+10y=5，需要分类讨论，当x≠0求得cos∠BAC，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形ABC的面积，当x=0时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决解析：取AC的中点，则OD⊥AC，⊥如图所示∵=+，∴?=?+=COS0=5×10=50，∵=x+y，∴?=（x+y）?=x+y=x||||cos∠BAC+y=60x?cos∠BAC+100y，∴60x?cos∠BAC+100y=50∵2x+10y=5，∴60xcos∠BAC=20x，当x≠0时，∴cos∠BAC=，∴sin∠BAC=，∴S△ABC=AB?AC?sin∠BAC=×6×10×=20当x=0时，则y=，∴=0+，∴=，∴点A，0，C共线，∴即点O为AC的中点，∴三角形ABC以B为直角的直角三角形，∴BC===8，∴S△ABC=AB?BC=×6×8=24故选：D【点评】：本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．6.已知命题若，则恒成立；命题等差数列中，是的充分不必要条件（其中）.则下面选项中真命题是（

）A.（）（）

B.（）（）C.（）∧

D.参考答案：D7.已知集合，集合则

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知函数函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A9.已知集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：B10.四边形ABCD中，，则的取值范围是（

）A.[－1,3] B.(－3,－1)C.(－3,1) D.参考答案：C【分析】数形结合分析数量积的取值范围即可.【详解】画出图象,因为,故四点共圆.又,易得..易得当在时取最小值,当在时取最大值.故的取值范围是.故选：C【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,且,则_______________.参考答案：略12.（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点，,，则圆的面积为

．参考答案：13.(选修4—1几何证明选讲）若直角的内切圆与斜边相切于点,且,则的面积为_________.参考答案：214.已知定义在上的函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设若方程无实根，则实数的取值范围是▲

.参考答案：15.已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为

．参考答案：3第一次循环有；第二次循环有；第三次循环有；此时满足条件，输出。16.给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是

．参考答案：（3）（4）【考点】正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sinA=cosB=，A，B∈（0，π），可得A=﹣B，或A+﹣B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，利用余弦函数的值域，可得A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，即可判断出正误．【解答】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sinA=cosB=，∵A，B∈（0，π），∴A=﹣B，或A+﹣B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B﹣C）＞0，∴cosA＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵cos（A﹣B）∈（﹣1，1]，cos（B﹣C）∈（﹣1，1]，cos（C﹣A）∈（﹣1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．【点评】本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为

（结果用反三角函数值表示）。

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)

如图，四棱锥中，，∥，，．（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）线段上是否存在点，使//平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案：（Ⅰ）证明：取中点，连结，．因为，所以．……………2分因为∥，，所以∥，．又因为，所以四边形为矩形，所以．

…………4分

因为，所以平面．

…………6分所以

．

…………7分

（Ⅱ）解：点满足，即为中点时，有//平面．…………8分证明如下：取中点，连接，．

……………9分因为为中点，所以∥，．

因为∥，，所以∥，．所以四边形是平行四边形，所以∥．

……………12分因为平面，平面，

……………13分所以//平面．

………14分19.已知椭圆的左焦点F和上顶点B在直线上，A为椭圆上位于x轴上方的一点，且AF⊥x轴，M，N为椭圆C上不同于A的两点，且∠MAF=∠NAF．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线MN与y轴交于点D（0，d），求实数d的取值范围．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求得直线在坐标轴的交点，可得F，B的坐标，即有b，c，再由a，b，c的关系可得a的值，进而得到椭圆方程；（2）设直线AM的斜率为k，由∠MAF=∠NAF，可得直线AM，AN关于直线AF对称，可得直线AN的斜率为﹣k，求得A的坐标，设出直线AM的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，可得M的横坐标，将k换为﹣k，可得N的横坐标，运用直线的斜率公式可得直线MN的斜率，进而得到直线MN的方程，联立椭圆方程，运用判别式大于0，解方程可得d的范围；再由A在直线MN上，解不等式可得d的范围，求交集，即可得到所求d的范围．【解答】解：（1）由左焦点F和上顶点B在直线上，可得F（﹣1，0），B（0，），即有c=1，b=，a==2，则椭圆的方程为+=1；（2）设直线AM的斜率为k，由∠MAF=∠NAF，可得直线AM，AN关于直线AF对称，可得直线AN的斜率为﹣k，令x=﹣1，可得A（﹣1，），设直线AM的方程为y﹣=k（x+1），联立椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+（12+8k）kx+（4k2+12k﹣3）=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由﹣x1=，即有x1=﹣，将上式中的k换为﹣k，可得x2=﹣．y1=k（x1+1）+，y2=﹣k（x2+1）+，则直线MN的斜率为===﹣，由直线MN与y轴交于点D（0，d），可得直线MN的方程为y=﹣x+d，代入椭圆3x2+4y2=12，可得x2+dx+d2﹣3=0，由△=d2﹣4（d2﹣3）＞0，解得﹣2＜d＜2，由A在直线MN的上方，可得＞﹣×（﹣1）+d，解得d＜1．可得﹣2＜d＜1．则实数d的取值范围为（﹣2，1）．20.已知函数=的图像在点处的切线为求函数的解析式。当时，求证：；若对任意的恒成立，求实数k的取值范围。参考答案：（Ⅰ）f（x）=ex-x2+a，f'（x）=ex-2x．

由已知?，f（x）=ex-x2-1．

（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，φ'（x）=ex-1，由φ'（x）=0，得x=0，

当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；

当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．

∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x2+x．…（8分）

（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立?＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，

令g(x)=，x＞0，

∴g′(x)===．

由（Ⅱ）可知当x∈（0，+∞）时，ex-x-1＞0恒成立，令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．

∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．

∴k＜g（x）min=g（1）=0，∴实数k的取值范围为（-∞，0）略21.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，点E是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直线AE和平面PDB所成的角．参考答案：考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）判断AC⊥面PBD，再运用直线垂直直线，直线垂直平面问题证明．（II）根据题意得出AC⊥面PBD，运用直线与平面所成的角得出∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，AC⊥BD，∵PD∩DB=D，∴AC⊥面PBD，∵PB?面PBD，∴AC⊥PB．（Ⅱ）连接EO，∵点E是棱PB的中点，O为DB中点，∴OE∥PD，∵PD=2∴OE=1∵AC⊥面PBD，∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角∵底面ABCD是正方形，AB=，∴AC=2，AO=1，∴Rt△AEO中∠AEO=45°即直线AE和平面PDB所成的角45°点评：本题考查了棱锥的几何性质，直线与平面角的概念及求解，考查学生的空间思维能力，运用平面问题解决空间问题的能力．22.已知为实数，函数．（1）设，若，使得成立，求实数的取值范围．（2）定义：若函数的图象上存在两点、，设线段的中点为，若在点处的切线与直线平行或重合，则函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”．试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值