【解析】2023高考一轮复习 第三十七讲 不等式的性质与一元二次不等式

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2023高考一轮复习第三十七讲不等式的性质与一元二次不等式

一、单选题

1．（2023高二下·北京期中）若，，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】不等式比较大小

【解析】【解答】，又，，

所以，所以.

故答案为：C

【分析】采用作差法比较即可.

2．（2023高一下·嘉兴期中）设、、，，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质

【解析】【解答】对于A，由，则，A不符合题意；

对于B，若，则，B不符合题意；

对于C，，

因为，，所以，即，C符合题意；

对于D，，因为，，

所以，所以，即，D不符合题意；

故答案为：C

【分析】利用不等式的性质以及作差法比较大小逐一判断即可.

3．（2023·三明模拟）设全集为，，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式

【解析】【解答】∵，，∴.

故答案为：D.

【分析】解对数不等式得集合A，解一元二次不等式得集合B，再由交集定义计算．

4．（2023高一上·忻州月考）设函数,若对于,恒成立,则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质；一元二次不等式

【解析】【解答】函数,若对于,恒成立，

在恒成立，

，即，

设，

若恒成立，只需，

易知在单调递减，

所以，

故答案为：A

【分析】由题意采用分离参数化为，求在上的最小值即可.

5．（2023高一下·崇礼期中）已知关于的不等式对任意恒成立,则k的取值范围是()

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】当时,不等式可化为,其恒成立

当时,要满足关于的不等式任意恒成立,

只需解得:.

综上所述,的取值范围是.

故答案为：A.

【分析】分别讨论和两种情况下,恒成立的条件,即可求得的取值范围.

6．（2023高一下·元氏期中）如果关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【解析】【解答】关于x的不等式的解集为，

所以-1和2是方程的两实数根，且，

由根与系数的关系得解得，，

所以，，，

所以不等式化为，

即，即，

解得或，

则该不等式的解集为.

故答案为：C.

【分析】根据不等式的解集以及根与系数的关系，求出，，代入，化简得，利用一元二次不等式的解法，即可得解.

7．（2023高一下·元氏期中）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程

【解析】【解答】解：1°当时，成立

2°当时，，∴，∴

综上，实数a的取值范围是

故答案为：C.

【分析】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求.

8．（2023高一下·元氏期中）不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】原不等式可化为：，即，，

所以原不等式解集为．

故答案为：C．

【分析】先化不等式的二次项系数为正，因式分解确定对应方程的根，然后结合二次函数性质写出解集．

9．（2023高一下·元氏期中）若关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】原不等式可化为，

若，则不等式的解是，不等式的解集中不可能有4个正整数；

若，则不等式的解集为空集，不合乎题意；

若，则不等式的解为，所以该不等式的解集中的4个正整数分别是3、4、5、6，所以，.

因此，实数m的取值范围是.

故答案为：A.

【分析】将不等式化为，分、和三种情况讨论，结合题意可求出实数m的取值范围.

10．（2023高一下·邯郸期中）不等式的解集为（）

A．或B．

C．D．或

【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】原式等价于，即，

解得：

所以不等式的解集是.

故答案为：C.

【分析】不等式等价于，再解不等式.

11．（2023高一下·昌吉期中）若，则不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】解：∵0＜a＜1，

∴a＜，

而是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外

∴的解集为{x|}

故答案为：C．

【分析】先根据a的范围确定a与的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集

12．（2023高一下·吉林期中）已知不等式的解集为a，不等式的解集为b，不等式的解集为，则（）

A．1B．0C．-1D．-3

【答案】D

【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法

【解析】【解答】因为，所以，

因为，所以，

因此，于是有，

故答案为：D

【分析】解一元二次不等式求出集合A、B，根据交集的定义求出，结合一元二次方程根与系数进行求解即可.

13．（2023高一下·海林期中）若不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，那么a的值是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】解：不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，

即有﹣7，﹣1是ax2+8ax+21=0（a＞0）的两根，

即有﹣7﹣1=﹣，﹣7×（﹣1）=，

解得a=3，成立．

故答案为：C．

【分析】不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，即有﹣7，﹣1是ax2+8ax+21=0（a＞0）的两根，由韦达定理即可得到a．

14．（2023高一下·大庆期中）若不等式对一切恒成立，则实数a取值的集合（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】解：①时，不等式化为对一切恒成立，因此满足题意；

②时，要使不等式对一切恒成立，则必有解得．

综上①②可知：实数a取值的集合是．

故答案为：C．

【分析】先对二次项的系数分类讨论，进而利用一元二次不等式的解法解出即可．

二、填空题

15．（2023高一下·浙江期中）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围为.

【答案】

【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【解析】【解答】函数，若对于任意，都有成立，

只需满足：即可，

整理得：，

解得，即.

故m的取值范围是.

故答案为：.

【分析】问题转化为，解一元二次不等式组，即可求出结果.

16．（2023高一下·南昌期中）关于的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为

【答案】

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】不等式的解集为，故且，

故可化为即，

它的解为，填.

【分析】不等式的解集为可以确定a的正负以及的关系，从而可得的解.

17．（2023高一下·鸡西期中）已知不等式的解集为，若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是．

【答案】[-1,1]

【知识点】函数的图象；一元二次不等式的解法

【解析】【解答】不等式的解集为，

由韦达定理可得，则，

作出曲线和直线图象，观察可知，

要使两个图象没有公共点，则.

故答案为：.

【分析】由不等式的解集可求得，将曲线与直线绘制在同一坐标系下，通过观察，即可得到b的取值范围

三、解答题

18．（2023高一下·元氏期中）设函数.已知不等式的解集为

（1）求m和n的值.

（2）若对任意恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）解：由不等式的解集为，可知：

和为方程的两根，故：

由韦达定理可知：，.

（2）解：由（1）可知，，则：

若对任意恒成立，等价于：

，对任意恒成立，只需：

，

因为，则，

即：，当且仅当时取得.

故，即.

【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【解析】【分析】（1）由不等式的解集，求得方程的根，根据韦达定理求得参数；（2）等式两边同除以x，分离参数，转化为最值问题.

19．（2023高一下·隆化期中）已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）解：因为，所以.

所以，即，

解得或.

故不等式的解集为.

（2）解：当时，不等式恒成立等价于在上恒成立.

因为，所以，

则.

当且仅当，即时，等号成立.

故的取值范围为.

【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即得结果，（2）先变量分离，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，再根据基本不等式求对应函数最值，即得结果.

20．（2023高二下·济南月考）（1）解关于不等式：.

（2）对于任意的，不等式恒成立，试求的取值范围.

【答案】（1）解：原不等式变为，因为，所以.

所以当，即时，解为；

当时，解集为；

当，即时，解为.

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

（2）解：不妨设，则只要在上恒成立即可.

所以，即，解得.

则的取值范围为.

【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法

【解析】【分析】（1）分解因式，对进行分类讨论。（2）设，则只要在上恒成立即可，用变换主元的思想。

21．（2023高二上·榆林期中）已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若关于x的不等式的解集为，求实数的取值范围．

【答案】（1）解：当时，．

由可得，解可得，或，

故不等式的解集为或

（2）解：不等式的解集为R，所以恒成立，

①时，恒成立，符合题意，

②时，根据二次函数的性质可知，，

解可得，，

综上可得，实数m的取值范围

【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质；一元二次不等式的解法

【解析】【分析】1当时，，根据二次不等式的求法，即可求解；2因为不等式的解集为R，可得恒成立，结合二次函数的性质，即可求解．

22．（2023高一上·双鸭山期中）定义在上的函数对任意的，满足条件：，且当时，.

（1）求的值；

（2）证明：函数是上的单调增函数；

（3）解关于的不等式.

【答案】（1）解：由题意：定义在R上的函数对任意的，

满足条件：,

令，由，解得.

（2）证明：设，，则，

由题意知，，

所以

，

即，

所以函数是R上的单调增函数．

（3）解：由（1）（2）可知函数是R上的单调增函数，且，

不等式，即，

故，解得.

所以不等式的解集为

【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的值；一元二次不等式的解法

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合特殊值代入法求出函数值。

（2）利用增函数的定义，结合已知条件且当时，，从而证出函数是上是增函数。

（3）由（1）（2）可知函数是R上是增函数且，再利用函数的单调性和特殊值代入法结合一元二次不等式求解集的方法，从而解出关于的不等式的解集。

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2023高考一轮复习第三十七讲不等式的性质与一元二次不等式

一、单选题

1．（2023高二下·北京期中）若，，则（）

A．B．C．D．

2．（2023高一下·嘉兴期中）设、、，，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

3．（2023·三明模拟）设全集为，，则等于（）

A．B．C．D．

4．（2023高一上·忻州月考）设函数,若对于,恒成立,则的取值范围为（）

A．B．C．D．

5．（2023高一下·崇礼期中）已知关于的不等式对任意恒成立,则k的取值范围是()

A．B．

C．D．

6．（2023高一下·元氏期中）如果关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

7．（2023高一下·元氏期中）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．

8．（2023高一下·元氏期中）不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

9．（2023高一下·元氏期中）若关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（）

A．B．C．D．

10．（2023高一下·邯郸期中）不等式的解集为（）

A．或B．

C．D．或

11．（2023高一下·昌吉期中）若，则不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

12．（2023高一下·吉林期中）已知不等式的解集为a，不等式的解集为b，不等式的解集为，则（）

A．1B．0C．-1D．-3

13．（2023高一下·海林期中）若不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，那么a的值是（）

A．1B．2C．3D．4

14．（2023高一下·大庆期中）若不等式对一切恒成立，则实数a取值的集合（）

A．B．

C．D．

二、填空题

15．（2023高一下·浙江期中）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围为.

16．（2023高一下·南昌期中）关于的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为

17．（2023高一下·鸡西期中）已知不等式的解集为，若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是．

三、解答题

18．（2023高一下·元氏期中）设函数.已知不等式的解集为

（1）求m和n的值.

（2）若对任意恒成立，求a的取值范围.

19．（2023高一下·隆化期中）已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求m的取值范围.

20．（2023高二下·济南月考）（1）解关于不等式：.

（2）对于任意的，不等式恒成立，试求的取值范围.

21．（2023高二上·榆林期中）已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若关于x的不等式的解集为，求实数的取值范围．

22．（2023高一上·双鸭山期中）定义在上的函数对任意的，满足条件：，且当时，.

（1）求的值；

（2）证明：函数是上的单调增函数；

（3）解关于的不等式.

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】不等式比较大小

【解析】【解答】，又，，

所以，所以.

故答案为：C

【分析】采用作差法比较即可.

2．【答案】C

【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质

【解析】【解答】对于A，由，则，A不符合题意；

对于B，若，则，B不符合题意；

对于C，，

因为，，所以，即，C符合题意；

对于D，，因为，，

所以，所以，即，D不符合题意；

故答案为：C

【分析】利用不等式的性质以及作差法比较大小逐一判断即可.

3．【答案】D

【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式

【解析】【解答】∵，，∴.

故答案为：D.

【分析】解对数不等式得集合A，解一元二次不等式得集合B，再由交集定义计算．

4．【答案】A

【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质；一元二次不等式

【解析】【解答】函数,若对于,恒成立，

在恒成立，

，即，

设，

若恒成立，只需，

易知在单调递减，

所以，

故答案为：A

【分析】由题意采用分离参数化为，求在上的最小值即可.

5．【答案】A

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】当时,不等式可化为,其恒成立

当时,要满足关于的不等式任意恒成立,

只需解得:.

综上所述,的取值范围是.

故答案为：A.

【分析】分别讨论和两种情况下,恒成立的条件,即可求得的取值范围.

6．【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【解析】【解答】关于x的不等式的解集为，

所以-1和2是方程的两实数根，且，

由根与系数的关系得解得，，

所以，，，

所以不等式化为，

即，即，

解得或，

则该不等式的解集为.

故答案为：C.

【分析】根据不等式的解集以及根与系数的关系，求出，，代入，化简得，利用一元二次不等式的解法，即可得解.

7．【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程

【解析】【解答】解：1°当时，成立

2°当时，，∴，∴

综上，实数a的取值范围是

故答案为：C.

【分析】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求.

8．【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】原不等式可化为：，即，，

所以原不等式解集为．

故答案为：C．

【分析】先化不等式的二次项系数为正，因式分解确定对应方程的根，然后结合二次函数性质写出解集．

9．【答案】A

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】原不等式可化为，

若，则不等式的解是，不等式的解集中不可能有4个正整数；

若，则不等式的解集为空集，不合乎题意；

若，则不等式的解为，所以该不等式的解集中的4个正整数分别是3、4、5、6，所以，.

因此，实数m的取值范围是.

故答案为：A.

【分析】将不等式化为，分、和三种情况讨论，结合题意可求出实数m的取值范围.

10．【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】原式等价于，即，

解得：

所以不等式的解集是.

故答案为：C.

【分析】不等式等价于，再解不等式.

11．【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】解：∵0＜a＜1，

∴a＜，

而是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外

∴的解集为{x|}

故答案为：C．

【分析】先根据a的范围确定a与的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集

12．【答案】D

【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法

【解析】【解答】因为，所以，

因为，所以，

因此，于是有，

故答案为：D

【分析】解一元二次不等式求出集合A、B，根据交集的定义求出，结合一元二次方程根与系数进行求解即可.

13．【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】解：不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，

即有﹣7，﹣1是ax2+8ax+21=0（a＞0）的两根，

即有﹣7﹣1=﹣，﹣7×（﹣1）=，

解得a=3，成立．

故答案为：C．

【分析】不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，即有﹣7，﹣1是ax2+8ax+21=0（a＞0）的两根，由韦达定理即可得到a．

14．【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】解：①时，不等式化为对一切恒成立，因此满足题意；

②时，要使不等式对一切恒成立，则必有解得．

综上①②可知：实数a取值的集合是．

故答案为：C．

【分析】先对二次项的系数分类讨论，进而利用一元二次不等式的解法解出即可．

15．【答案】

【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【解析】【解答】函数，若对于任意，都有成立，

只需满足：即可，

整理得：，

解得，即.

故m的取值范围是.

故答案为：.

【分析】问题转化为，解一元二次不等式组，即可求出结果.

16．【答案】

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】不等式的解集为，故且，

故可化为即，

它的解为，填.

【分析】不等式的解集为可以确定a的正负以及的关系，从而可得的解.

17．【答案】[-1,1]

【知识点】函数的图象；一元二次不等式的解法

【解析】【解答】不等式的解集为，

由韦达定理可得，则，

作出曲线和直线图象，观察可知，

要使两个图象没有公共点，则.

故答案为：.

【分析】由不等式的解集可求得，将曲线与直线绘制在同一坐标系下，通过观察，即可得到b的取值范围

18．【答案】（1）解：由不等式的解集为，可知：

和为方程的两根，故：

由韦达定理可知：，.

（2）解：由（1）可知，，则：

若对任意恒成立，等价于：

，对任意恒成立，只需：

，

因为，则，

即：，当且仅当时取得.

故，即.

【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【解析】【分析】（1）由不等式的解集，求得方程的根，根据韦达定理求得参数；（2）等式两边同除以x，分离参数，转化为最值问题.

19．【答案】（1）解：因为，所以.

所以，即，

解得或.

故不等式的解集为.

（2）解：当时，不等式恒