【解析】初中数学苏科版八年级下册 9.3 平行四边形的性质 同步训练

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初中数学苏科版八年级下册9.3平行四边形的性质同步训练

一、单选题

1．（2023八下·海州期末）平行四边形不一定具有的性质是（）

A．对角线互相平分B．对边平行

C．对角线互相垂直D．对边相等

【答案】C

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，

∴平行四边形不一定具有的性质是C选项.

故答案为：C.

【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等进行判断.

2．（2023八下·河池期末）在中，，则的度数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，

∵∠A+∠C=200°，

∴∠A=∠C=100°，

∴∠B=180°-∠A=80°.

故答案为：C.

【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补进行解答即可.

3．（2023八上·黄陂开学考）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定成立的是（）

A．AC=BCB．AO=OCC．D．

【答案】B

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B选项成立；A，C，D选项错误.

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的性质“①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分”即可判断求解.

4．（2023八下·上虞期末）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，已知AE=2，ED=4，则平行四边形ABCD的周长为()

A．16B．18C．20D．22

【答案】C

【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：CE平分∠BCD

∴∠ECD=∠BCE

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AD//BC

∴∠BCE=∠DEC

∴∠ECD=∠DEC

∴CD=DE=4

AD=AE+ED=2+4=6

平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×（6+4）=20；

故答案为：C.

【分析】根据角平分线和平行四边形的性质，可以得出CD=DE=4，AD=AE+ED=6，进而得出平行四边形的周长。

5．（2023八下·无锡期中）如图，在ABCD中，CE⊥AB，E为垂足.如果∠A=120°，∠BCE的度数为()

A．20°B．30°C．40°D．60°

【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，∠A=120°

∴∠B=180°-120°=60°

又∵CE⊥AB

∴∠BCE=90°-∠B=30°

故答案为：B.

【分析】根据题意可得因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠B=180°，由已知易证∠BEC=90°，所以在Rt△BEC中，由三角形的内角和定理知∠BCE=30°.

6．（2023八上·安阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）

A．∠1=∠2B．BF=DEC．AE=CFD．∠AED=∠CFB

【答案】C

【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，

∴AB=CD，

当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，

∴选项A正确；

当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，

∴选项B正确；

当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，

∴选项C不正确；

当∠AED=∠CFB时，由AAS判定△ABE≌△CDF，

∴选项D正确；

故答案为：C.

【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论.

7．（2023八下·重庆期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3.则AD的长是（）

A．3B．4C．5D．2.5

【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义

【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形，

，

BE平分，CE平分，

，

，

，

在中，，

则，

，

故答案为：C.

【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据勾股定理可得BC的长，由此即可得.

8．（2023八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中，，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE若平行四边形ABCD的周长为20cm，则的周长为（）

A．20cmB．40cmC．15cmD．10cm

【答案】D

【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E

∴EC=EA

∴△CDE的周长为CD+DE+EC=CD+DE+EA=CD+AD

∵平行四边形ABCD的周长为20cm，

∴CD+AD=10cm

故答案为：D．

【分析】根据垂直平分线的性质得到EC=EA，然后求得△CDE的周长为CD+AD，从而结合平行四边形的周长求解．

9．（2023八下·滕州期末）如图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是ABCD对角线的交点，若A点坐标为（2，3），则C点坐标为（）

A．（－3，－2）B．（－2，3）

C．（－2，－3）D．（2，－3）

【答案】C

【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；关于原点对称的坐标特征

【解析】【解答】由题可知ABCD关于点O中心对称,

∴点A和点C关于点O中心对称,

∵A（2，3），

∴C（－2，－3）

故答案为：C.

【分析】根据图像,利用中心对称即可解题.

10．（2023八下·西山期末）如图，的对角线交于点平分交于点连接.下列结论：；平分；；，其中正确的有（）

A．个B．个C．个D．个

【答案】D

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的定义

【解析】【解答】解：∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，

∴△CDE是等边三角形，

∴CE＝CD＝AD＝BC，

∴E是BC的中点，

∴DE＝BE，

∴∠BDE＝∠CED＝30°，

∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，

∴SABCD＝CDBD＝ABBD，故①正确；

∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，

∴∠ADB＝30°＝∠BDE，

∴DB平分∠CDE，故②正确；

∵△CDE是等边三角形，

∴DE＝CD＝AB，故③正确；

∵O是BD的中点，E是BC的中点，

∴OE是△CBD的中位线，

∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，

∵OC是△BCD的中线，

∴S△BOC＝S△COD，

∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，

故答案为：D.

【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到SABCD＝ADBD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC.

二、填空题

11．（2023八下·越秀期中）在ABCD中，AB：BC=4：3，周长为28cm，则AD=cm．

【答案】6

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】∵ABCD中，AB：BC=4：3，周长是28cm，

∴设AB=4x，则BC=3x，AB+BC=14cm，

∴7x=14，

解得x=2，

所以AD=BC=6cm；

故答案是6

【分析】根据平行四边形的对边相等，即可求解．

12．（2023八下·大理期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是，，，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有个.

【答案】3

【知识点】点的坐标；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：如图所示，

①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），

②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），

③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），

综上所述，点D的坐标是（7，3），（-3，3），（3，-3）.

故答案为：3.

【分析】作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解.

13．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP交CD于点Q.若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD的周长为.

【答案】15

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：根据题意可知，AQ为∠DAB的平分线，即∠DAQ=∠DQA

∴AD=DQ=3，QC=，

∴四边形ABCD的周长=2（3++3）=15.

故答案为：15。

【分析】根据题意的描述，可知AQ为∠DAB的角平分线，根据平行四边形的性质，即可得到AD=DQ，分别求出四边形两组边的边长，进行周长的求解即可。

14．（2023八上·肇东期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝7，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是．

【答案】24

【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC．

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE．

∵AD∥BC，

∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，

∴CD＝CE＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，

∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）＝2×（7＋5）＝24．

故答案为：24．

【分析】利用平行四边形的性质，可得AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC，由角平分线的定义及平行线的性质得出∠ADE＝∠CDE，∠CED＝∠ADE，由等量代换可得∠CED＝∠CDE，利用等角对等边可得CD＝CE，由于CE＝BC﹣BE＝5，即得CD=5，利用平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）即可求出结论.

15．（2023八下·咸安期末）如图，中，和的平分线分别交于E、F两点，、交与点G，若，，则.

【答案】4

【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，

，，

，，

和的平分线分别交于，两点，

，，

，，

，，

；

在中，，，

，，

，

，和的平分线分别交于E，F两点，

，

，

.

故答案为：4.

【分析】由在中，和的平分线分别交于E，F两点，易得，又由已知条件可求得的长，即可利用勾股定理求得的值.

16．（2023八下·无锡期中）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处.若∠1=∠2=42°，则∠B为°.

【答案】117

【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD

∴AB∥CD，

∴∠1＝∠BAB＝42°

∵将ABCD沿对角线AC折叠

∴∠BAC＝∠BAC＝21°

∴∠B＝180°∠2∠BAC＝117°

故答案为：117°

【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠BAB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠BAC＝21°，即可求解.

17．（2023八下·江阴期中）如图，已知ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为.

【答案】9

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝2与OC交于点M，与x轴交于点F，

直线x＝7与AB交于点N，如图：

∵四边形OABC是平行四边形，

∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，

∵直线x＝2与直线x＝7均垂直于x轴，

∴AM∥CN，

∴四边形ANCM是平行四边形，

∴∠MAN＝∠NCM，

∴∠OAF＝∠BCD，

∵∠OFA＝∠BDC＝90°，

∴∠FOA＝∠DBC，

在△OAF和△BCD中，，

∴△OAF≌△BCD（ASA）.

∴BD＝OF＝2，

∴OE＝7+2＝9，

∴OB＝.

∵OE的长不变，

∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝9.

故答案为：9.

【分析】过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E.则OB＝.由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，即可得出答案.

18．（2023八下·济南期中）如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连结OE.下列结论：

①∠CAD＝30°；②SABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的结论有．(填序号)

【答案】①②④

【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的定义；三角形的中位线定理

【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=BE，

∵AB=BC，

∴AE=BC，

∴∠BAC=90°，

∴∠CAD=30°，故①符合题意；

∵AC⊥AB，

∴SABCD=ABAC，故②符合题意，

∵AB=BC，OB=BD，

∵BD＞BC，

∴AB≠OB，故③不符合题意；

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE=AB，

∴OE=BC，故④符合题意．

故答案为：①②④．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①符合题意；由于AC⊥AB，得到SABCD=ABAC，故②符合题意，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③不符合题意；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④符合题意．

三、解答题

19．（2023八下·大理期末）如图，点E，F为ABCD的对角线BD上的两点，连接AE，CF，∠AEB＝∠CFD.求证：AE＝CF.

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS）.

∴AE＝CF.

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB＝CD，AB∥CD，根据二直线平行∠ABE＝∠CDF，由AAS证明证得△ABE≌△CDF，继而证得结论.

20．（2023八下·湖北期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点.

求证：BE＝DF

【答案】证明：∵ABCD是平行四边形,

∴BO=DO,AO=CO,

∵E、F分别是OA、OC的中点,

∴EO=FO,

又∵∠COD=∠BOE,

∴△BOE≌△DOF(SAS),

∴BE=DF.

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】根据题意可得BO=DO,再由E、F是AO、CO的中点可得EO=FO,即可证全等求出BE=DF.

21．（2023八下·泸县期末）如图，E是ABCD的边AB的中点，连接CE并延长交DA的延长线于F，若BC＝8，求DF的长．

【答案】解：∵E是ABCD的边AB的中点，

∴AE＝BE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB＝8，AD∥CB，

∴∠F＝∠BCE，

在△AEF和△BEC中，，

∴△AEF≌△BEC（AAS），

∴AF＝CB＝8，

∴DF＝AD+AF＝16.

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，AD∥CB，由平行线的性质得出∠F＝∠BCE，由AAS证明△AEF≌△BEC，得出AF＝CB＝8，即可求出DF的长.

22．（2023八下·海州期末）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF.请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.

【答案】解：猜想：BE∥DF，BE＝DF.

证明：如图1

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD，∠1＝∠2，

又∵CE＝AF，

∴△BCE≌△DAF.

∴BE＝DF，∠3＝∠4.

∴BE∥DF.

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】由平行四边形的性质可得对角相等，对边相等，然后利用SAS证明△BCE≌△DAF，则得BE=DF，∠3=∠4，然后根据平行线的判定定理可得BE∥DF.

23．（2023八下·曲阜期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABF＝∠CDE，

在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE（ASA），

∴ED＝BF，

∴BD﹣CF＝BD﹣DE，

∴BE＝DF．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质

【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD然后证明△ABF≌△CDE，进而可得BF＝DE，再利用等式的性质进行计算即可．

24．（2023八下·孝南月考）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.

（1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线）．

（2）求证：△ABE≌△CDF；

【答案】（1）解：①△ABC≌△CDA（SSS）；②△BCE≌△DAF（SAS）；③△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠BAE=∠FCD，

又∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法即可得出：①△ABC≌△CDA（SSS）；②△BCE≌△DAF（SAS）；③△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）根据平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD，AB∥CD，根据二直线平行，内错角星等得出∠BAE=∠FCD，根据垂直的定义得出∠AEB=∠CFD=90°，从而利用AAS判断出△ABE≌△CDF。

25．（2023八下·新蔡期末）如图所示，已知点E，F在ABCD的对角线BD上，且BE=DF.

求证：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）AE∥CF.

【答案】（1）证明：在□ABCD中，AB∥CD且AB=CD，

∴∠ABE=∠CDF，

∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB=∠CFD，

∴∠AEF=∠CFE，

∴AE∥CF.

【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等的性质得到AB∥CD且AB=CD，所以∠ABE=∠CDF，所以两三角形全等；（2）根据全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CFD，所以它们的邻补角相等，根据内错角相等，两直线平行即可得证.

26．（2023八下·重庆期末）如图，ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD＝2∠DBC，AE⊥BD于点E.

（1）若∠ADB＝25°，求∠BAE的度数；

（2）求证：AB＝2OE.

【答案】（1）解：在平行四边形ABCD中，ADBC，

∴∠DBC＝∠ADB，

∵∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝25°，

∴∠ABD＝2×25°＝50°，

∵AE⊥BD，

∴∠BAE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°；

（2）证明：如图，取AB的中点F，连接EF、OF，

∵AE⊥BD，

∴EF＝BF＝AB，

∴∠ABD＝∠BEF，

∵AO＝CO，

∴OF是△ABC的中位线，

∴OFBC，

∴∠DBC＝∠EOF，

根据三角形的外角性质，∠BEF＝∠EFO＋∠EOF，

又∵∠ABD＝2∠DBC，

∴∠EFO＝∠EOF，

∴EF＝OE，

∴OE＝AB，

∴AB＝2OE.

【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可得ADBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC＝∠ADB，然后求出∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠BAE；

（2）取AB的中点F，连接EF、OF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝BF＝AB，根据等边对等角可得∠ABD＝∠BEF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OFBC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC＝∠EOF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFO＝∠EOF，再根据等角对等边可得EF＝OE，从而得证.

27．（2023八下·丽水期末）如图，在中，平分交于点M.

（1）若，求的长；

（2）若是的中点，连结，求证：平分

【答案】（1）解：四边形是平行四边形，

，

，

平分，

，

，

；

（2）解：如图，延长，，交于点E，则，

，

，，

是的中点，

，

，

，

平分，

，

，

，

平分.

【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义

【解析】【分析】（1）依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到；（2）延长，，交于点E，依据，即可得到，再根据，即可得出平分.

28．（2023八下·北镇期末）如图，在中，点O是对角线的交点，过点O且垂直于.

（1）求证：；

（2）若，，求的长.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，OA=OC，

∴∠EAO=∠FCO，

在△AEO和△CFO中，

∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，

∴△AEO≌△CFO（ASA）

∴OE=OF；

（2）解：∵OE=OF，OE=3.5，

∴EF=2OE=7，

又∵EF⊥AD，

∴S□ABCD=AD×EF=63

∴AD=9.

【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和ASA证明△AEO≌△CFO即可解决问题；（2）首先根据OE的长度和求出EF的长度，然后利用S□ABCD=AD×EF即可求解.

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初中数学苏科版八年级下册9.3平行四边形的性质同步训练

一、单选题

1．（2023八下·海州期末）平行四边形不一定具有的性质是（）

A．对角线互相平分B．对边平行

C．对角线互相垂直D．对边相等

2．（2023八下·河池期末）在中，，则的度数是（）

A．B．C．D．

3．（2023八上·黄陂开学考）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定成立的是（）

A．AC=BCB．AO=OCC．D．

4．（2023八下·上虞期末）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，已知AE=2，ED=4，则平行四边形ABCD的周长为()

A．16B．18C．20D．22

5．（2023八下·无锡期中）如图，在ABCD中，CE⊥AB，E为垂足.如果∠A=120°，∠BCE的度数为()

A．20°B．30°C．40°D．60°

6．（2023八上·安阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）

A．∠1=∠2B．BF=DEC．AE=CFD．∠AED=∠CFB

7．（2023八下·重庆期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3.则AD的长是（）

A．3B．4C．5D．2.5

8．（2023八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中，，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE若平行四边形ABCD的周长为20cm，则的周长为（）

A．20cmB．40cmC．15cmD．10cm

9．（2023八下·滕州期末）如图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是ABCD对角线的交点，若A点坐标为（2，3），则C点坐标为（）

A．（－3，－2）B．（－2，3）

C．（－2，－3）D．（2，－3）

10．（2023八下·西山期末）如图，的对角线交于点平分交于点连接.下列结论：；平分；；，其中正确的有（）

A．个B．个C．个D．个

二、填空题

11．（2023八下·越秀期中）在ABCD中，AB：BC=4：3，周长为28cm，则AD=cm．

12．（2023八下·大理期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是，，，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有个.

13．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP交CD于点Q.若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD的周长为.

14．（2023八上·肇东期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝7，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是．

15．（2023八下·咸安期末）如图，中，和的平分线分别交于E、F两点，、交与点G，若，，则.

16．（2023八下·无锡期中）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处.若∠1=∠2=42°，则∠B为°.

17．（2023八下·江阴期中）如图，已知ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为.

18．（2023八下·济南期中）如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连结OE.下列结论：

①∠CAD＝30°；②SABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的结论有．(填序号)

三、解答题

19．（2023八下·大理期末）如图，点E，F为ABCD的对角线BD上的两点，连接AE，CF，∠AEB＝∠CFD.求证：AE＝CF.

20．（2023八下·湖北期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点.

求证：BE＝DF

21．（2023八下·泸县期末）如图，E是ABCD的边AB的中点，连接CE并延长交DA的延长线于F，若BC＝8，求DF的长．

22．（2023八下·海州期末）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF.请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.

23．（2023八下·曲阜期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．

24．（2023八下·孝南月考）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.

（1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线）．

（2）求证：△ABE≌△CDF；

25．（2023八下·新蔡期末）如图所示，已知点E，F在ABCD的对角线BD上，且BE=DF.

求证：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）AE∥CF.

26．（2023八下·重庆期末）如图，ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD＝2∠DBC，AE⊥BD于点E.

（1）若∠ADB＝25°，求∠BAE的度数；

（2）求证：AB＝2OE.

27．（2023八下·丽水期末）如图，在中，平分交于点M.

（1）若，求的长；

（2）若是的中点，连结，求证：平分

28．（2023八下·北镇期末）如图，在中，点O是对角线的交点，过点O且垂直于.

（1）求证：；

（2）若，，求的长.

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，

∴平行四边形不一定具有的性质是C选项.

故答案为：C.

【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等进行判断.

2．【答案】C

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，

∵∠A+∠C=200°，

∴∠A=∠C=100°，

∴∠B=180°-∠A=80°.

故答案为：C.

【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补进行解答即可.

3．【答案】B

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B选项成立；A，C，D选项错误.

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的性质“①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分”即可判断求解.

4．【答案】C

【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：CE平分∠BCD

∴∠ECD=∠BCE

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AD//BC

∴∠BCE=∠DEC

∴∠ECD=∠DEC

∴CD=DE=4

AD=AE+ED=2+4=6

平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×（6+4）=20；

故答案为：C.

【分析】根据角平分线和平行四边形的性质，可以得出CD=DE=4，AD=AE+ED=6，进而得出平行四边形的周长。

5．【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，∠A=120°

∴∠B=180°-120°=60°

又∵CE⊥AB

∴∠BCE=90°-∠B=30°

故答案为：B.

【分析】根据题意可得因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠B=180°，由已知易证∠BEC=90°，所以在Rt△BEC中，由三角形的内角和定理知∠BCE=30°.

6．【答案】C

【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，

∴AB=CD，

当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，

∴选项A正确；

当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，

∴选项B正确；

当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，

∴选项C不正确；

当∠AED=∠CFB时，由AAS判定△ABE≌△CDF，

∴选项D正确；

故答案为：C.

【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论.

7．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义

【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形，

，

BE平分，CE平分，

，

，

，

在中，，

则，

，

故答案为：C.

【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据勾股定理可得BC的长，由此即可得.

8．【答案】D

【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E

∴EC=EA

∴△CDE的周长为CD+DE+EC=CD+DE+EA=CD+AD

∵平行四边形ABCD的周长为20cm，

∴CD+AD=10cm

故答案为：D．

【分析】根据垂直平分线的性质得到EC=EA，然后求得△CDE的周长为CD+AD，从而结合平行四边形的周长求解．

9．【答案】C

【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；关于原点对称的坐标特征

【解析】【解答】由题可知ABCD关于点O中心对称,

∴点A和点C关于点O中心对称,

∵A（2，3），

∴C（－2，－3）

故答案为：C.

【分析】根据图像,利用中心对称即可解题.

10．【答案】D

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的定义

【解析】【解答】解：∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，

∴△CDE是等边三角形，

∴CE＝CD＝AD＝BC，

∴E是BC的中点，

∴DE＝BE，

∴∠BDE＝∠CED＝30°，

∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，

∴SABCD＝CDBD＝ABBD，故①正确；

∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，

∴∠ADB＝30°＝∠BDE，

∴DB平分∠CDE，故②正确；

∵△CDE是等边三角形，

∴DE＝CD＝AB，故③正确；

∵O是BD的中点，E是BC的中点，

∴OE是△CBD的中位线，

∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，

∵OC是△BCD的中线，

∴S△BOC＝S△COD，

∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，

故答案为：D.

【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到SABCD＝ADBD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC.

11．【答案】6

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】∵ABCD中，AB：BC=4：3，周长是28cm，

∴设AB=4x，则BC=3x，AB+BC=14cm，

∴7x=14，

解得x=2，

所以AD=BC=6cm；

故答案是6

【分析】根据平行四边形的对边相等，即可求解．

12．【答案】3

【知识点】点的坐标；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：如图所示，

①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），

②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），

③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），

综上所述，点D的坐标是（7，3），（-3，3），（3，-3）.

故答案为：3.

【分析】作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解.

13．【答案】15

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：根据题意可知，AQ为∠DAB的平分线，即∠DAQ=∠DQA

∴AD=DQ=3，QC=，

∴四边形ABCD的周长=2（3++3）=15.

故答案为：15。

【分析】根据题意的描述，可知AQ为∠DAB的角平分线，根据平行四边形的性质，即可得到AD=DQ，分别求出四边形两组边的边长，进行周长的求解即可。

14．【答案】24

【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC．

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE．

∵AD∥BC，

∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，

∴CD＝CE＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，

∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）＝2×（7＋5）＝24．

故答案为：24．

【分析】利用平行四边形的性质，可得AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC，由角平分线的定义及平行线的性质得出∠ADE＝∠CDE，∠CED＝∠ADE，由等量代换可得∠CED＝∠CDE，利用等角对等边可得CD＝CE，由于CE＝BC﹣BE＝5，即得CD=5，利用平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）即可求出结论.

15．【答案】4

【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，

，，

，，

和的平分线分别交于，两点，

，，

，，

，，

；

在中，，，

，，

，

，和的平分线分别交于E，F两点，

，

，

.

故答案为：4.

【分析】由在中，和的平分线分别交于E，F两点，易得，又由已知条件可求得的长，即可利用勾股定理求得的值.

16．【答案】117

【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD

∴AB∥CD，

∴∠1＝∠BAB＝42°

∵将ABCD沿对角线AC折叠

∴∠BAC＝∠BAC＝21°

∴∠B＝180°∠2∠BAC＝117°

故答案为：117°

【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠BAB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠BAC＝21°，即可求解.

17．【答案】9

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝2与OC交于点M，与x轴交于点F，

直线x＝7与AB交于点N，如图：

∵四边形OABC是平行四边形，

∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，

∵直线x＝2与直线x＝7均垂直于x轴，

∴AM∥CN，

∴四边形ANCM是平行四边形，

∴∠MAN＝∠NCM，

∴∠OAF＝∠BCD，

∵∠OFA＝∠BDC＝90°，

∴∠FOA＝∠DBC，

在△OAF和△BCD中，，

∴△OAF≌△BCD（ASA）.

∴BD＝OF＝2，

∴OE＝7+2＝9，

∴OB＝.

∵OE的长不变，

∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝9.

故答案为：9.

【分析】过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E.则OB＝.由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，即可得出答案.

18．【答案】①②④

【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的定义；三角形的中位线定理

【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=BE，

∵AB=BC，

∴AE=BC，

∴∠BAC=90°，

∴∠CAD=30°，故①符合题意；

∵AC⊥AB，

∴SABCD=ABAC，故②符合题意，

∵AB=BC，OB=BD，

∵BD＞BC，

∴AB≠OB，故③不符合题意；

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE=AB，

∴OE=BC，故④符合题意．

故答案为：①②④．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①符合题意；由于AC⊥AB，得到SABCD=ABAC，故②符合题意，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③不符合题意；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④符合题意．

19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS）.

∴AE＝CF.

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB＝CD，AB∥CD，根据二直线平行∠ABE＝∠CDF，由AAS证明证得△ABE≌△CDF，继而证得结论.

20．【答案】证明：∵ABCD是平行四边形,

∴BO=DO,AO=CO,

∵E、F分别是OA、OC的中点,

∴EO=FO,

又∵∠COD=∠BOE,

∴△BOE≌△DOF(SAS),

∴BE=DF.

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】根据题意可得BO=DO,再由E、F是AO、CO的中点可得EO=FO,即可证全等求出BE=DF.

21．【答案】解：∵E是ABCD的边AB的中点，

∴AE＝BE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB＝8，AD∥CB，

∴∠F＝∠BCE，

在△AEF和△BEC中，，

∴△AEF≌△BEC（AAS），

∴AF＝CB＝8，

∴DF＝AD+AF＝16.

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，AD∥CB，由平行线的性质得出∠F＝∠BCE，由AAS证明△AEF≌△BEC，得出AF＝CB＝8，即可求出DF的长.

22．【答案】解：猜想：BE∥DF，BE＝DF.

证明：如图1

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD，∠1＝∠2，

又∵CE＝AF，

∴△BCE≌△DAF.

∴BE＝DF，∠3＝∠4.

∴BE∥DF.

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】由平行四边形的性质可得对角相等，对边相等，然后利用SAS证明△BCE≌△DAF，则得BE=DF，∠3=∠4，然后根据平行线的判定定理可得BE∥DF.

23．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB