湖北黄岗中高考数二轮复习考点解析6：导数与单调性的综合考查

PAGEPAGE4湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析6：导数与单调性的综合考查一、小题（共10题）1、函数是减函数的区间为()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）2.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数（） A．3B．2 C．1D．03．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，则必有（）A.f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C.f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）4.设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围（）A．B．C．D．5．与直线的平行的抛物线的切线方程是 （） A． B． C． D．6．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，当时，且则不等式的解集是（） A．B． C．D．7．函数f(x)=x(x－1)(x－2)·…·(x－100)在处的导数值为（）A.0B.C.200.100！8．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）（A）（B）（C）（D）小题答案：题号12345678答案DDBBDDDD9．设函数，（、、是两两不等的常数），则当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。6．（湖南卷）设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.；（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以. 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以 而 将代入上式得因此故，，（II）解法一.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（－1，3）上单调递减.所以的取值范围为解法二： 因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线， 所以即解得 所以的取值范围为7.（安徽卷）设函数，已知是奇函数。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间与极值。解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。8．（北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.解析：解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上,在(1,2)上,在上,故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.(Ⅱ)由得解得解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设又所以由,即得,所以.

9．（湖南卷）已知函数. （Ｉ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解（Ⅰ）由题设知.令.当（i）a>0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（ii）当a＜0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即.所以.故.解得－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].10．（全国卷I）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。解:f'(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式△=4a2－12a2+12=12－8a2.(ⅰ)若△=0,即a=±eq\f(\r(6),2),当x∈(－∞,eq\f(a,3)),或x∈(eq\f(a,3),+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数.所以a=±eq\f(\r(6),2).(ⅱ)若△=12－8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数,所以a2>eq\f(3,2),即a∈(－∞,－eq\f(\r(6),2))∪(eq\f(\r(6),2),+∞)(ⅲ)若△12－8a2>0,即－eq\f(\r(6),2)<a<eq\f(\r(6),2),令f'(x)=0,解得x1=eq\f(a－\r(3－2a2),3),x2=eq\f(a+\r(3－2a2),3).当x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥eq\r(3－2a2),解得1≤a<eq\f(\r(6),2)由x2≤1得eq\r(3－2a2)≤3－a,解得－eq\f(\r(6),2)<a<eq\f(\r(6),2),从而a∈[1,eq\f(\r(6),2))综上,a的取值范围为(－∞,－eq\f(\r(6),2)]∪[eq\f(\r(6),2),+∞)∪[1,eq\f(\r(6),2)),即a∈(－∞,－eq\f(\r(6),2)]∪[1,∞).11．（全国II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……5分(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．……9分(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．……12分解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．……3分对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x